8 专题4 教考衔接7 几何体的外接球与内切球（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

教考衔接7　几何体的外接球与内切球　▶ 对应学生用书P74 [教材溯源] 　(湘教版必修第二册P197习题4.5T5)如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的.他的发现是否正确？试说明理由. 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R， 所以V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3， 得＝＝， 又S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2， 所以＝＝. 所以他的发现正确. [真题示例] (2025·新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　　　　cm. 解析：设铁球半径为r cm，若两个铁球的球心连线在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm.当两球球心连线不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则有O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则有(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0，即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)，r2＝2.5.因为2.5＞＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm. 答案：2.5 [方法点评]　本题主要考查空间想象能力，球与圆柱相切有多种情况，确定什么时候球的半径最大是关键.如果无法确定，则可以多种情况进行尝试，比较得出最大情况，提高正确率. [预测训练] 棱长为4的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为(　　 ) A. B. C.2π D.π 解析：选D.如图，由题意知球和正四面体A-BCD的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为R，空隙处的最大球球心为O1，半径为r， 由正四面体结构特征可知G为△BCD的中心，AG⊥面BCD， 设E为CD中点，球O和球O1分别与面ACD相切于F和H. 易得BE＝＝6，BG＝BE＝4，AG＝＝4， 由VA-BCD＝VO-BCD＋VO-ABC＋VO-ACD＋VO-ABD可得R＝， 又VA-BCD＝××4＝16，S△BCD＝S△ABC＝S△ABD＝S△ACD＝×4×6＝12， 故R＝＝，AO1＝AG－GO1＝4－2×－r＝2－r，AO＝AG－GO＝4－＝3， 又由△AO1H和△AOF相似，可得＝，即＝，解得r＝， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为π×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $