5.3.4 频率与概率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，系统梳理随机事件的不确定性、频率稳定性及概率意义，通过问题导思（如抛掷硬币试验数据）、新知构建、自主检测等学习支架，衔接前后知识，为概率应用奠定基础。 该资料特色在于结合计算机模拟试验数据（如不同次数抛掷硬币的频率波动）引导学生观察规律，培养数学抽象素养，通过节水龙头用水量等实例强化应用，提升数学运算与数据意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

5.3.4　频率与概率 知识层面 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．　2.正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．　3.理解概率的意义以及频率与概率的区别． 素养层面 通过频率与概率的学习，培养数学抽象素养；借助概率知识理解现实生活中的实际问题，提升数学运算素养． 问题1.利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示： 学生用书第76页 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 你能计算出A事件的概率吗？分析上面的数据，你有什么发现？ 提示：能，P(A)＝0.5，①试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性． ②从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 问题2.频率和概率可以相等吗？ 提示：可以相等．频率具有随机性，而概率是一个具体的值，随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近；常用频率估计概率． 知识点　频率与概率 1．频率与概率：在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大． 2．概率和频率之间的联系 在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． [微提醒]　用频率估计概率 事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大． 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.不难看出，此时也有0≤P(A)≤1，而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立. 这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率，在实践中人们经常采用这种方法来估计事件发生的概率. 1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则下列说法正确的是(　　) A．事件A出现的概率为0.6 B．事件A出现的频率为0.6 C．事件A出现的频率为6 D．事件A出现的概率为6 答案：B 解析：由频率的定义可知选B. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．任何事件的概率总是在[0，1]之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 答案：AC 解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0，1]之间，故A正确，B、D混淆了频率与概率的概念．C显然正确． 3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为(　　) A．160　　　　　　　　　 B．7 840 C．7 998 D．7 800 答案：B 解析：8 000×(1－2%)＝7 840(件). 4．利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的学生有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，他是戴眼镜的学生的概率为________． 答案：0.64　0.73 解析：500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为＝0.64，所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；500名学生中戴眼镜的学生有365人，即戴眼镜的学生的频率为＝0.73，所以随机抽查一名学生，估计他是戴眼镜的学生的概率为0.73. 学生用书第77页 题型一　频率与概率概念的理解 例1　已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(　　) A．合格产品少于9件 B．合格产品多于9件 C．合格产品正好是9件 D．合格产品可能是9件 [思路点拨]　解题的关键是弄清频率与概率的概念． 答案：D 解析：已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则合格产品约为10×90%＝9件，根据概率的意义，可得合格产品可能是9件．故选D. 1．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． 2．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．　　 对点练1.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A．0.45，0.45　　　　　　 B．0.5，0.5 C．0.5，0.45 D．0.45，0.5 答案：D 解析：出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5.故选D. 题型二　利用频率估计概率 例2　某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图； (2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．) [思路点拨]　(1)利用频数计算出频率，然后根据频率/组距画出频率分布直方图．(2)计算出日用水量小于0.35 m3的频率即可估计概率．(3)先计算出50天未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用了节水龙头的日用水量的平均数，再求出一年能节省的水量即可． 解：(1)如图所示． (2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为 2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3). 学生用书第78页 1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率． 2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．　　 对点练2.从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其质量(单位：克)的频数分布表如下： 分组 [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 频数 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的质量在[90，95)内的频率； (2)用分层抽样的方法从质量在[80，85)内和[95，100]内的苹果中共抽取4个，其中质量在[80，85)内的有几个？ (3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求质量在[80，85)和[95，100]内各有1个的概率． 解：(1)苹果的质量在[90，95)内的频率为0.4. (2)质量在[80，85)内和[95，100]内的苹果共有20个，从中取4个，其中质量在[80，85)内的有×4＝1(个). (3)从质量在[80，85)内中抽取的苹果记为A，从质量在[95，100]内抽取的苹果记为a，b，c.在抽出的4个苹果中，任取2个的所有样本点为(A，a)，(A，b)，(A，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6个．质量在[80，85)和[95，100]内各有1个的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，共3个．故所求概率均为＝. 1．我国西部某地区的年降水量在下列区间的频率如下表所示： 年降水量(mm) [100，150) [150，200) [200，250) [250，300] 频率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率约为(　　) A．0.29　　　　　　　 B．0.41 C．0.25 D．0.63 答案：C 解析：记年降水量在[200，300]范围内的事件为A，它是年降水量在[200，250)范围内的事件B与年降水量在[250，300]范围内的事件C的和，而事件B与C互斥，且P(B)＝0.13，P(C)＝0.12，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.25，所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25.故选C. 2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为(　　) A．1 B． C． D．0 答案：B 解析：由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为，与前4个病人都没治好没有关系． 3．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是(　　) A．0.53　　 B．0.5 C．0.47　　　 D．0.37 答案：A 解析：取到号码为奇数的频率是＝0.53. 4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上．设反面朝上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________． 答案：52　0.52 解析：100次试验中，48次正面朝上，则52次反面朝上，频率＝＝＝0.52. 学科网（北京）股份有限公司 $