课时测评28 平面向量线性运算的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝，则四边形ABCD一定为(　　) A．正方形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 答案：C 解析：因为＝＋，＝＋，且＝，＝，所以＝，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD一定为平行四边形．故选C. 2．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需要增加力F3，则力F3的大小为(　　) A．(3，4) B．(－3，－4) C．5 D．25 答案：C 解析：由题意可知F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)＝－[(1，1)＋(2，3)]＝(－3，－4)，则力F3的大小为＝5.故选C. 3．如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：因为D为AB的中点，所以＋＝2，因为＋＋2＝0，所以＝－，所以O是CD的中点，所以S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC，所以＝4.故选B. 4．速度＝10 m/s，＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是(　　) A．2 m/s B．10 m/s C．12 m/s D．2 m/s 答案：D 解析：根据题意得，＝＝＝＝2 m/s.故选D. 5．河水的流速大小为2 m/s，一艘小船若垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为10 m/s，则小船的静水速度大小为(　　) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 答案：B 解析：建立直角坐标系，如图，设表示河水流速的向量为(2，0)，表示小船实际速度的向量(0，10)，表示小船本身速度的向量为(x，y)，则(2，0)＋(x，y)＝(0，10)，解得x＝－2，y＝10，则小船速度的大小(即速度向量的模)为＝2(m/s). 6．(原创)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________． 答案：1∶2 解析：设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则＋＝2. 又＋＝－2，所以＝－，即O为线段BD的中点，即△AOB与△AOC的面积之比为1∶2. 7．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t＝________． 答案： 解析：因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示． 因为A，M，Q三点共线，所以设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，所以＝＋.又＝－＝－，由已知＝t可得，＋＝t，所以解得t＝. 8．一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________h. 答案：0.5 解析：船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图所示． ＝20 km/h，＝12 km/h.根据勾股定理＝16 km/h，t＝＝0.5(h)，所以所需时间为0.5. 9.(10分)如图，在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，3BN＝BD.求证：M，N，C三点共线． 证明：设＝a，＝b， 所以＝＋＝＋＝a＋(－) ＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝＋， ＝a＋b＝3， 所以∥， 又，有公共点M， 所以M，N，C三点共线． 10．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)、B(0，1)、D(3，1). (1)求以线段AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC的长；(4分) (2)若四边形ABCD为梯形，且AB∥CD，对角线AC与BD互相垂直，求点C的坐标．(6分) 解：(1)因为A(1，0)、B(0，1)、D(3，1)， 所以＝(－1，1)，＝(2，1)， 所以＝＋＝(1，2)，所以＝， 即对角线AC的长为. (2)设C＝(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(x－3，y－1)，由题设知＝(3，0)， 因为∥，⊥， 所以 所以 所以点C的坐标为(1，3). 11.(5分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度沿AD方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3 km/h.则船实际航行的速度大小为(　　) A．2 km/h B． km/h C．4 km/h D．8 km/h 答案：C 解析：如图，表示船速，表示水流速度，则表示船实际航行的速度，又AC⊥AB，＝5，＝3，所以＝ ＝4，即船实际航行的速度大小为4 km/h.故选C. 12．(5分)如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．若g取9.8 N/kg，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(　　) A.2.25 N B．2.45 N C．2.5 N D．2.75 N 答案：B 解析：由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，设每根绳子的拉力为T，则8T cos 60°＝1×9.8，解得T＝2.45 N．故选B. 13．(10分)如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点． 求证：AR＝RT＝TC. 证明：设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b. 由于与共线，所以可设r＝n(a＋b). 因为＝－＝a－b， 与共线，所以可设＝m＝m. 因为＝＋，所以r＝b＋m， 所以n(a＋b)＝b＋m， 即(n－m)a＋b＝0. 由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有 解得 所以＝. 同理＝. 所以AR＝RT＝TC. 14.(5分)如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点．若＝λ1＋λ2，λ1，λ2∈R，则λ1＋λ2的值为________． 答案： 解析：根据题意得，＝＝(－)＝－，＝＋＝＋，＝＋＝－，所以＝λ1＋λ2＝λ1＋λ2(－)＝＋，所以λ1－λ2＝－，λ1＋λ2＝，解得λ1＝－，λ2＝.所以λ1＋λ2＝. 15.(15分)如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE. 证明：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1，1)，B(0，1). 若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1). 又因为∥， 所以x×(－1)－1×(y－1)＝0， 所以x＋y－1＝0.又因为||＝||， 所以x2＋y2－2＝0.由 得或(舍). 即E. 又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得，x′－＝0，得x′＝－2－，所以F(－2－，1)， 所以＝(－1－，0)，＝， 所以||＝＝1＋＝||， 所以AF＝AE. 学科网（北京）股份有限公司 $