微专题02 与二次根式有关的计算解答题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题02 与二次根式有关的计算解答题 题型一 二次根式的乘法运算 1.运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方; 2.当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练运用二次根式的乘除运算法则是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则化简即可； （3）根据二次根式的除法法则化简即可； （4）根据二次根式的乘除法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．计算． （1）32； （2）4； （3）2． 【答案】(1)12． (2)12． (3)135 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （3）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝3×2 ＝6 ＝12． （2）原式＝4×3 ＝12 ＝12． （3）原式＝33 ＝9×15 ＝135 【点睛】本题考查二次根式的乘法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘法运算法则，本题属于基础题型． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)45 (2)15 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． （1）可根据二次根式的乘法法则进行化简； （2）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简； （3）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，再进行分母有理化； （4）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 6．（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （3）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （4）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 8．计算下列各题： （1）•2•（）； （2）﹣5； （3）； （4）（）×（）； 【答案】(1)﹣4；(2)；(3)；(4)60. 【分析】（1）（2）（3）（4）把二次根式外面的数和里面的数分别相乘，再把结果化为最简二次根式即可； 【详解】解：（1））•2•（） ＝2×（） ＝﹣4； （2）﹣5 ＝﹣5 ； （3）） ＝213 ； （4）（）×（） （﹣1）×（） 120 ＝60； 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，在解答此类题目时要注意结果化为最简二次根式． 题型二 二次根式的除法运算 二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）直接根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 6．计算： （1） （2）； （3）． （4）， 【答案】(1)6； (2)； (3)． (4)． 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式． 【详解】解： （1）， ， ， ＝6； （2）原式 ； （3）原式＝（3） ＝2 ＝2 ＝2 ． （4）， ， ， ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握（a≥0，b＞0）是解题关键． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型三 二次根式的乘除混合运算 二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数. 1．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）计算 【答案】 【分析】先化简二次根式，然后再进行乘除运算即可． 本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键．先将除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 4．（25-26八年级上·上海闵行·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 5．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 10．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 题型四 二次根式的加减运算 二次根式加减运算的技巧： 1.将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式. 2.若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并. 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算． 先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案． 【详解】解：原式． 3．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算．根据二次根式的性质进行化简，然后运算即可． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． 先分母有理化，化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，正确化简二次根式是解题的关键． （1）（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（25-26九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减，正确化简是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的减法运算： （1）先计算立方根，算术平方根，最后再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并； （1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 题型五 二次根式的混合运算 1.进行二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． ③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算. 2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把各二次根式化简，然后计算即可； （2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，再把各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和二次根式的运算． （1）式子是两个数的和与这两个数的差的乘积形式，应用平方差公式展开，计算即可求解； （2）将被除数拆分成三个项，分别除以，转化成三个简单的二次根式的除法运算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，并化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除，并将化为，再根据平方差公式进行计算，计算乘方和乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零次幂，绝对值，二次根式的性质，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简二次根式，零次幂，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘除，再化简二次根式即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零次幂，立方根，求一个数的绝对值，二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算零次幂，立方根，求一个数的绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26八年级上·河北承德·期末）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式： （1）先利用二次根式性质化简，再根据二次根式运算法则计算即可； （2）先利用平方差公式，完全平方公式计算，再根据二次根式运算法则计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再计算加减即可； （2）先将各二次根式化简，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，掌握各运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化，利用多项式乘多项式法则展开，然后合并即可； （2）先把括号内各二次根式化简为最简二次根式，然后合并，利用乘方法则计算，然后计算除法，最后算减法即可； （3）先把二次根式化简为最简二次根式，利用二次根式的乘除法法则进行计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先化简二次根式，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型六 分母有理化的综合应用 分母有理化综合应用的核心解题方法包括：常规乘法有理化、因式分解约简法、巧用平方差公式法；其本质是通过构造“有理化因式”消去分母根号，进而服务于化简求值、解方程、比较大小及实际建模等综合任务. 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式分母有理化是解题的关键． （1）分子、分母同乘以即可； （2）分子、分母同乘以即可； （3）分子、分母同乘以即可； （4）分子、分母同乘以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先展开完全平方项，再对分式进行分母有理化，最后合并同类项完成计算． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，以及进行分母有理化，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 4．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化，先化简二次根式，再分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化； （1）分子、分母乘以，将分母有理化，然后再化简即可； （2）仿照例题分别把加数分母有理化，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：                   （2）解：          6．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧． （1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理； （2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可； （3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果． 【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；②34 (3)a的值是，b的值为 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 与二次根式有关的计算解答题 题型一 二次根式的乘法运算 1.运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方; 2.当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算． （1）32； （2）4； （3）2． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 6．（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 8．计算下列各题： （1）•2•（）； （2）﹣5； （3）； （4）（）×（）； 题型二 二次根式的除法运算 二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 6．计算： （1） （2）； （3）． （4）， 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型三 二次根式的乘除混合运算 二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数. 1．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 2．（2026八年级下·全国·专题练习）计算 3．（25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 4．（25-26八年级上·上海闵行·月考）计算：． 5．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）计算： 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 10．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 题型四 二次根式的加减运算 二次根式加减运算的技巧： 1.将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式. 2.若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并. 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 3．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 4．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）计算：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 6．（25-26九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 9．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型五 二次根式的混合运算 1.进行二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． ③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算. 2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）计算： (1)． (2)． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1)； (2) 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2) 7．（25-26八年级上·河北承德·期末）计算题 (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 分母有理化的综合应用 分母有理化综合应用的核心解题方法包括：常规乘法有理化、因式分解约简法、巧用平方差公式法；其本质是通过构造“有理化因式”消去分母根号，进而服务于化简求值、解方程、比较大小及实际建模等综合任务. 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）计算：． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 4．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 5．（25-26八年级上·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 6．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $