微专题03 二次根式的化简求值（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题03 二次根式的化简求值 题型一 利用二次根式的非负性化简求值 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0. 1．若实数x，y满足，求的值． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 3． （25-26八年级上·四川达州·月考）已知实数，满足，求的值． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数满足，求的值． 5．（25-26八年级上·全国·假期作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 6．（25-26八年级下·全国·周测）已知，求的值． 7．（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，求的值． 题型二 利用二次根式的性质 = 化简 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简. 1．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 2．（25-26九年级上·四川巴中·月考）已知x、y为实数，且 ，求的值． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 6． 已知，化简． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 题型三 先化简后直接代入求值 1. 先化简代数式（如分母有理化、合并同类根式）； 2. 代入字母值（确保使原式有意义），计算结果. 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ． 5．（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 8．（2025·甘肃定西·模拟预测）化简求值：，其中， 9．（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值： ，其中． 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 题型四 已知条件式，化简求值 1.先化简条件式（如因式分解、开方），求出字母关系或值； 2.化简待求式，代入条件计算，注意被开方数非负. 1．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 3．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 7．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 题型五 利用二次根式的整数部分和小数部分求值 已知一个二次根式，求它的整数部分、小数部分，再代入代数式求值. 1．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）阅读材料，因为，所以的整数部分是2，小数部分是． (1)填空：的小数部分是_________； (2)已知是的整数部分，是其小数部分，求的值． 2．已知：，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． 3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)[]＝ ，的小数部分为 ； (2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 4．解答题，（1）若实数x，y满足，求2x+y的平方根 （2）已知：x=，若x的整数部分是m，y的小数部分是n． ①求m-nx的值． ②化简求值： 5．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且． （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值． 6．（24-25八年级下·河北邢台·月考）【阅读】∵，即，∴的整数部分为1．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分． 【运用】 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的值； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的值． 8．（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 题型六 二次根式的化简求值的综合应用 1.先化简，再代入：式子能约分、分解、合并，一定要先处理，别直接代数字. 2.分母有根号，先有理化：保证分母没有根号，计算才不会错. 3.遇到共轭根式，先算和、差、积：不用硬算平方，用公式最省事. 1．（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知的算术平方根是4，是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的值． 2．（25-26八年级上·湖南·期末）已知x，则的值． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 4．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 5．（25-26八年级上·广东佛山·月考）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 8．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 9．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 二次根式的化简求值 题型一 利用二次根式的非负性化简求值 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0. 1．若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【详解】（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 5．（25-26八年级上·全国·假期作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二次根式的性质，解二元一次方程组．根据二次根式的性质，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ， ∴，，． 6．（25-26八年级下·全国·周测）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，解不等式组求得的值，将的值代回等式求得的值，继而可得、的正负，最后化简二次根式，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得，， ， ， ，． 故原式 ． 当时，原式． 7．（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求得，易得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将、代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 题型二 利用二次根式的性质 = 化简 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简. 1．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 2．（25-26九年级上·四川巴中·月考）已知x、y为实数，且 ，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 解得：， ∴，     ∴ ． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，绝对值化简，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）将代入所给式子求出三角形的三边长度，再求解三角形的周长即可； （2）根据二次根式有意义的条件以及性质 ，结合绝对值性质化简所给式子，再求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∴； （2）解：根据题意，得且， ∴，则，， ∵， ∴， ∴ ． 6．已知，化简． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简、一元一次不等式组等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系． （1）先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可； （2）由三角形三边关系求得，，，，再利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：（1）因为、都是实数，且满足， 则且，所以，则． 所以 ； （2）因为、、为的三边，所以，，，， 所以 ． 题型三 先化简后直接代入求值 1. 先化简代数式（如分母有理化、合并同类根式）； 2. 代入字母值（确保使原式有意义），计算结果. 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， 当时， 原式 ． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简和求值，分母有理化，利用平方差公式和完全平方公式、分式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当 ， 时， 原式 ． 5．（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据整式的乘法法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解： ， 将代入中得，． 7．（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则和对分子进行因式分解． 先对分子进行因式分解，再约分，合并即可化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 8．（2025·甘肃定西·模拟预测）化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 9．（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值： ，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通过完全平方公式，单项式乘以多项式，分式的运算进行化简，然后通过负整数指数幂，化简绝对值求出的值，最后代入即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 题型四 已知条件式，化简求值 1.先化简条件式（如因式分解、开方），求出字母关系或值； 2.化简待求式，代入条件计算，注意被开方数非负. 1．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 【答案】3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 3．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 题型五 利用二次根式的整数部分和小数部分求值 已知一个二次根式，求它的整数部分、小数部分，再代入代数式求值. 1．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）阅读材料，因为，所以的整数部分是2，小数部分是． (1)填空：的小数部分是_________； (2)已知是的整数部分，是其小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查无理数的估算和实数的运算，通过所给材料得出无理数的整数及小数部分的计算方法是解题的关键． （1）先估算出，据此即可求得的小数部分； （2）先估算出的范围，进而可得出的范围，再求得的整数部分，小数部分，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是8，小数部分是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴． 2．已知：，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可； （2）求出m、n的值，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ， ∴x2+y2+3xy ＝（x+y）2+xy ＝42+1 ＝17 （2）解：∵1＜＜2， ∴0＜2﹣＜1，3＜2+＜4， ∵x的整数部分为m，y的小数部分为n， ∴m＝0，n＝2+﹣3＝﹣1， ∴5m5+（x﹣n）2﹣y ＝5×02+[（2﹣）﹣（﹣1）]2﹣（2+） 【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算的应用，能灵活运用知识点进行计算是解题的关键． 3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)[]＝ ，的小数部分为 ； (2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算化简，再估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分，代入求值即可． 【详解】（1）解： 4， ∵36＜40＜49， ∴67， ∴24＜3， ∴原式的整数部分是2，小数部分为， 故答案为：2，； （2）解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的大小的估计，正确进行无理数的大小的估计是解题的关键． 4．解答题，（1）若实数x，y满足，求2x+y的平方根 （2）已知：x=，若x的整数部分是m，y的小数部分是n． ①求m-nx的值． ②化简求值： 【答案】（1）；（2）①3；②2． 【分析】（1）先根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0求出x的值，再将x的值代入可得y的值，然后根据平方根的定义即可得； （2）①先将x、y分母有理数，再根据无理数的估算求出m、n的值，然后代入即可得； ②根据二次根式的加减乘除法则、乘法公式即可得． 【详解】（1）由题意得：，解得， 将代入得：， 则， 因为24的平方根为， 所以的平方根为； （2）①， ， ，即， x的整数部分是m，y的小数部分是n， ， 则， ， ； ②， ， ， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式有意义的条件、二次根式的加减乘除运算、乘法公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 5．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且． （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】无理数的整数部分及小数部分主要是取决于无理数在哪两个连续的整数之间，然后依次得出根式的整数及小数部分． 【详解】解：（1）∵3<<4 ∴的整数部分为：3，小数部分为：-3； 故答案为：3，-3． （2）依题意得，    原式= 【点睛】本题的考察重点在于理解实数的运算，属于无理数的估算问题，解题的关键在于找出无理数在哪两个连续的整数之间． 6．（24-25八年级下·河北邢台·月考）【阅读】∵，即，∴的整数部分为1．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分． 【运用】 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的值； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】此题考查了无理数的估算和二次根式运算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题中的方法进行解答即可； （2）求出的整数部分，的小数部分，代入进行计算即可； （3）求出的整数部分和小数部分，代入进行计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分是3，的小数部分是； 故答案为：3，； （2）∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为4， 的小数部分， ∴； （3）∵， ∴的整数部分为4， ∴的整数部分，小数部分为， ∴． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)19 【分析】本题考查的是无理数的估算，确定无理数整数部分及小数部分， （1）根据求出，再根据求出，代入求出结论即可； （2）先求出的整数部分是1，小数部分是，再求出，代入计算即可 ． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是3，小数部分为， ，即， 的整数部分是， ； （2）解：，即， 的整数部分是1，小数部分是， ，其中x是整数，且， ， ． 8．（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． （1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可； （3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：∵，， 的整数部分是，的小数部分是， ∵，， ∴， ∴ （3）解： ． 题型六 二次根式的化简求值的综合应用 1.先化简，再代入：式子能约分、分解、合并，一定要先处理，别直接代数字. 2.分母有根号，先有理化：保证分母没有根号，计算才不会错. 3.遇到共轭根式，先算和、差、积：不用硬算平方，用公式最省事. 1．（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知的算术平方根是4，是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）先对每个二次根式分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根为4，是8的立方根， ；， ；； （2）解：；， 原式 ． 2．（25-26八年级上·湖南·期末）已知x，则的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据分母有理化计算，再对代数式降次计算，即可求解． 【详解】解： ， ． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 4．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 【详解】（1）解：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2）解：把代入①，得， ∴． 则 ． 5．（25-26八年级上·广东佛山·月考）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【详解】（1）①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． （2） （3）∵， ∴ （4）将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原式 ． （2）解：， ， ，即， ， ． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2022 (3)3 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得. 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 9．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)① ② ③ (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式及完全平方公式的应用，关键是灵活应用知识点解题； （1）①直接根据平方差公式计算即可； ②先通分，再展开，然后将的结果代入即可； ③先提出，再仿照②解答； （2）由已知得，再将待求式整理为含，的式子，然后分两种情况讨论最小值即可． 【详解】（1）①解：由题意得：． 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴原式； ③解：原式 ； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 即： 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式最小，最小值为：， 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式的值最小，最小值为； 综上所述，的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $