6.1 分类加法计数原理与分步加法计数原理 第2课时 综合应用（分层作业，6基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 综合应用 题型一 占位模型中标准的选择 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 2．（2026高三·全国·专题练习）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 3．（24-25高二下·广东汕尾·期末）某班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点（景点人数不限），则这3名学生的旅游安排方式共有（    ）． A．6种 B．24种 C．64种 D．81种 4．（24-25高二下·北京顺义·期末）“万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有（   ） A．12种 B．18种 C．19种 D．24种 5．(1)有8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？ (2)4位旅客到3个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 题型二 组数问题 1．（24-25高二下·吉林·期末）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东枣庄·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 3．（24-25高二下·广东梅州·期末）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 4．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________． 5.用0,1,2,3,4五个数字． (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 6．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？ 题型三 排队模型‘ 1．（25-26高二上·全国·课后作业）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 2（24-25高二下·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 3．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 题型四 涂色问题 1．（25-26高二上·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 2．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 4．(24-25高二下·海南海口·期末)如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为(    ) A．24 B．48 C．72 D．120 5.(2025高二·全国·专题练习)如图，将条线段的个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色.现有种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有(    )种. A． B． C． D． 6.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答) 题型五 种植问题 1.（2025·高二·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 2.(24-25高二下·黑龙江大庆·期中)春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 3．　从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法． 题型六 几何中的计数问题 1．（2006·上海·高考真题）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 2．（2002·江苏·高考真题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）. A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 3．（25-26高二上·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）乘积展开后共有（    ）项. A．10 B．24 C．30 D．45 2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有(　　) A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 3.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　) A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 4．（2025·高二·江苏淮安·阶段练习）现有印有数字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每种卡片均相同且有若干张．若从中任选几张卡片并摆成一排，则数字20220126的摆放方式共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．28种 5．（25-26高二上·福建厦门·开学考试)有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受.我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作(   ) A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 6．（24-25高二下·四川资阳·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 7．(多选)（25-26高二上·江苏淮安·期末）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 8．（2025·高三·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 9．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 10.(24-25高二下·陕西铜川·期末)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域(A，B，C，D，E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 11.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）现有来自高一4个班的学生34人，其中7人、8人、9人、10人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组． (1)从来自同一班的学生中各选1名组长，共有多少种不同的选法？ (2)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法？ 13．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 14．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 1.（2025·高二·上海·假期作业）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.(2026·江西九江·模拟预测)五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如火与水相克可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有(    )    A． B． C． D． 3.(24-25高三上·上海金山·期末)已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面(含棱)上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有(   )个． A．3 B．6 C．7 D．10 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 综合应用 题型一 占位模型中标准的选择 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】D 【解析】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 2．（2026高三·全国·专题练习）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】D 【解析】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择， 所以不同的报名方法种数是. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东汕尾·期末）某班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点（景点人数不限），则这3名学生的旅游安排方式共有（    ）． A．6种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】C 【解析】班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点， 则这3名学生的旅游安排方式共有种. 故选：C. 4．（24-25高二下·北京顺义·期末）“万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有（   ） A．12种 B．18种 C．19种 D．24种 【答案】C 【解析】由题可知：至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有种. 故选：C 5．(1)有8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？ (2)4位旅客到3个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 【解析】(1)分三步：每位同学取1本书，第1,2,3位同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理知，不同的分法共有8×7×6＝336(种)． (2)每位旅客都有3种不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有3×3×3×3＝81(种)． 题型二 组数问题 1．（24-25高二下·吉林·期末）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 2．（24-25高二下·山东枣庄·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】A 【解析】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 3．（24-25高二下·广东梅州·期末）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【解析】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有，故总共有个， 故选：B 4．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________． 【答案】81 【解析】每个信号显示窗都有3种可能，故有3×3×3×3＝34＝81(种)不同信号． 5.用0,1,2,3,4五个数字． (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【解析】(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 6．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？ 【解析】完成这件事可分为三类： 第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法； 第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法； 第三步，选取十位上的数字，有3种选法． 由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48. 第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法； 第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法； 第三步，选取十位上的数字，有3种选法． 由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36. 第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类． 对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个)． 题型三 排队模型‘ 1．（25-26高二上·全国·课后作业）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解析】由题意所有排列的方法种数为， 2（24-25高二下·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【解析】“word”一共有个不同的字母， 这个字母排成一排有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 故选：B 3．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【答案】72 【解析】先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法,再在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法.由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 题型四 涂色问题 1．（25-26高二上·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【解析】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择， 若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择， 综上，不同的着色方法共有种. 故选：B 2．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【解析】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 4．(24-25高二下·海南海口·期末)如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为(    ) A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【解析】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择， 当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择； 所以不同的着色方法的种数为.故选：C 5..(2025高二·全国·专题练习)如图，将条线段的个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色.现有种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有(    )种. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】按照涂色，根据分步乘法计数原理，有种涂法.故选：C. 6.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答) 【答案】750 【解析】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法． 题型五 种植问题 1.（2025·高二·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 【答案】C 【解析】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类； 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻， 分别有种选择，所以共计种； 第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法． 故选：C. 2.(24-25高二下·黑龙江大庆·期中)春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】如下图所示：区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为.故选：A. 3．　从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法． 【解析】方法一　(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法． 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法． 故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 方法二　(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)． 题型六 几何中的计数问题 1．（2006·上海·高考真题）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 2．（2002·江苏·高考真题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）. A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】C 【解析】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个 共有组，每组中包含两条棱，故有 故选： 3．（25-26高二上·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法 【答案】12 【解析】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）乘积展开后共有（    ）项. A．10 B．24 C．30 D．45 【答案】D 【解析】由于每一项互不相同，展开后共有项. 故选：D. 2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有(　　) A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 【答案】D 【解析】按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况． 3.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　) A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 【答案】D 【解析】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线． 4．（2025·高二·江苏淮安·阶段练习）现有印有数字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每种卡片均相同且有若干张．若从中任选几张卡片并摆成一排，则数字20220126的摆放方式共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．28种 【答案】B 【解析】依题意， 摆放20的方式有：2，0或20两种方式； 摆放220的方式有：2，2，0或22，0或2，20三种方式； 摆放126的方式有：1，2，6或12，6或1，26三种方式； 由分步计数原理知，数字20220126的摆放方式共有：种方式. 故选：B 5．（25-26高二上·福建厦门·开学考试)有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受.我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作(   ) A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【解析】已知“数字对称”牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的， 设这个五位数为(均为0到9的整数)， 首先确定第一位数字，因为牌照只以8或9开头， 所以有两种选择方法，即或； 其次确定第二位数字，可以从0到9这10个数字中任选一个， 所以有10种选择方法； 最后确定第三位数字，同样可以从0到9这10个数字中任选一个， 所以有10种选择方法； 所以根据分步乘法计数原理可知最多可制作的拍照数量为个.故选：A 6．（24-25高二下·四川资阳·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 【答案】A 【解析】由题意，可得，，分别有4，3，2种方法， （1）当与相同时，有1种方法，此时有2种， ①若与相同有有1种方法，同时有3种方法， ②若与不同，此时有2种方法， 共有：种方法； （2）当与相同时，有1种方法，此时讨论的3种方法， 共有种方法； （3）当既不同于又不同于时，有1种方法， 共有种方法， 由分类计数原理，可得共有种方法． 故选：A． 7．(多选)（25-26高二上·江苏淮安·期末）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】ABC 【解析】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 选项A：如果社区A必须有同学选择， 则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项C：如果三名同学选择的社区各不相同， 则不同的安排方法共有（种）.判断正确； 选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况， 则不同的安排方法共有（种）.判断错误. 故选：ABC 8．（2025·高三·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【答案】 【解析】根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 故答案为：． 9．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 【答案】2 880 【解析】分两步安排这8名运动员． 第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24(种)方法； 第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)方法． 所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)． 10.(24-25高二下·陕西铜川·期末)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域(A，B，C，D，E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 【答案】4410 【解析】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、，若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种.故答案为：. 11.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． 【答案】42 【解析】分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. (1)若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法． (2)若第三块田放a： a b a 第四块有b或c 2种方法， ①若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法； ②若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c，共1种方法． 综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）现有来自高一4个班的学生34人，其中7人、8人、9人、10人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组． (1)从来自同一班的学生中各选1名组长，共有多少种不同的选法？ (2)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法？ 【解析】（1）分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选1名组长． 所以，共有（种）不同的选法． （2）分六类，每一类又分两步： 从一、二班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从一、三班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从一、四班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从二、三班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从二、四班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从三、四班的学生中各选1人，有（种）不同的选法． 所以，共有（种）不同的选法． 13．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【解析】（1）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （2）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 14．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【解析】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 1.（2025·高二·上海·假期作业）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】函数解析式为，值域为， 当时，；当时，， 则定义域为，，，， ，，，，， 因此，“同族函数”共有9个， 故选：C． 2.(2026·江西九江·模拟预测)五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如火与水相克可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色(例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色)， 五行相克可以用同一种颜色(例如火与水相克可以用同一种颜色)， 不妨设四种颜色分别为、、、， 先填涂区域“火”，有种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为， 接下来填涂区域“土”，有种选择，分别为、、， 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、； 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、； 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、. 综上所述，区域“金”填涂、、、的方案种数分别为、、、种， 接下来考虑区域“水”的填涂方案： 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、. 则区域“水”填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种， 填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种. 从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关， 当区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、. 所以，当区域“火”填涂颜色时，填涂方案种数为种. 因此，不同的涂色方法种数有种.故选：D. 3.(24-25高三上·上海金山·期末)已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面(含棱)上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有(   )个． A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】D 【解析】设，情况如下： ①到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且， 由具有对称性，不妨讨论，， 满足题意的应同时在线段的中垂线面和三棱锥表面上， 即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，如图两点， 同理，，和，也各有2个满足题意的点，故共6个； ②到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且， 若到的距离一样，即，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图和(舍)； 若到和中的两个距离一样，由具有对称性， 不妨讨论，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图， 同理，和也各有1个满足题意的点，共4个； 综上，共有10个满足题意的点.故选：D 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $