6.1 分类加法计数原理与分步加法计数原理 第1课时 简单应用（分层作业，4基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 简单应用 题型一 对两个计数原理的理解 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 2．(多选)（25-26高二上·江西南昌·月考）下列说法正确的是（      ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 3．（24-25高二下·全国·课前预习）对于组数问题，一般 由谁占领分类，分类中再按 的方法分步完成;如果正面分类较多，可采用 从反面求解. 题型二 分类加法计数原理 1．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 2．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 3．（25-26高二上·江西·期末）某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．11种 D．9种 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市，已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中，“K”字开头的车次有7个，“D”字开头的车次有2个，“C”字开头的车次有1个，“G”字开头的车次有20个，“T”字开头的车次有2个，“Z”字开头的车次有7个，则小张当日车次的选择共有 种． 题型三 分步乘法计数原理 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 2．（25-26高二上·河南·月考）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．（2025高二·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（    ） 种. A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期末）食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有 种． 5．（2026高三·全国·专题练习）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给 个程序模块命名． 题型四 两个计数原理的综合、、 1．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 3．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 4．（24-25高二下·天津·月考）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（   ） A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 2.(2025辽宁鞍山一中高二下月考)某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门,每个部门至少1个名额,那么不同的名额分配方案总数为(　　) A.6 B.10 C.15 D.21 3．（25-26高二上·广东江门·月考）集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 4．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．可表示3个不同的圆 B．可表示6个不同的椭圆 C．可表示3个不同的双曲线 D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 5．（多选）（24-25高二下·陕西安康·月考）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 6．（多选）（23-24高二下·广东中山·月考）以下结论正确的是（    ） A．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B．从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 C．60有12个不同的正因数 D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 7．(2025北京一零一中学高二下期末)540的不同约数共有　　　　个.  8．（2025高二·全国·专题练习）某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分别是元、元、元、元.某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品（至少购买一款，且每款只购一只），因信用卡出现故障，他身上只剩元现金，则他买玩具样品的方案有 种. 9.(2025山东东营高三上联考)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值? 10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 1．(24-25高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有(    )    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 2．(多选)（21-22高二下·江苏淮安·期末）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 3．(2025高二·全国·专题练习)某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方形(边长为个单位长度)的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走几个单位长度，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向走i个单位长度，一直循环下去.此人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到起点A处的不同走法共有 种. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 简单应用 题型一 对两个计数原理的理解 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 【答案】B 【解析】由于每一种方法都能独立完成从A地到B地，故应选用分类加法计数原理求解. 2．(多选)（25-26高二上·江西南昌·月考）下列说法正确的是（      ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 【答案】AD 【解析】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，完成这件事需要分两步：第一步取1本数学书，有若干种取法；第二步取1本语文书，故应是分步计数问题，故A正确； 对于B，分步乘法计数原理要求每一步都完成，才能说任务完成，故B错误； 对于C，任务“从甲地经丙地到乙地”，分为从甲地到丙地，再从丙地到乙地两步完成，是分步计数问题，故C错误； 对于D，分类加法计数原理中的每一类方法都能一次性地完成任务，故可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，即D正确. 故选：AD. 3．（24-25高二下·全国·课前预习）对于组数问题，一般 由谁占领分类，分类中再按 的方法分步完成;如果正面分类较多，可采用 从反面求解. 【答案】 按特殊位置(一般是末位和首位) 特殊位置(或者特殊元素)优先 间接法 题型二 分类加法计数原理 1．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 2．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【解析】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 3．（25-26高二上·江西·期末）某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．11种 D．9种 【答案】C 【解析】解析：分类加法计数原理，种． 故选：C． 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市，已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中，“K”字开头的车次有7个，“D”字开头的车次有2个，“C”字开头的车次有1个，“G”字开头的车次有20个，“T”字开头的车次有2个，“Z”字开头的车次有7个，则小张当日车次的选择共有 种． 【答案】39 【解析】由分类加法计数原理可得小张当日车次的选择共有种． 题型三 分步乘法计数原理 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 【答案】B 【解析】由题意可知所求不同的路线有条. 故选：B 2．（25-26高二上·河南·月考）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 3．（2025高二·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（    ） 种. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（1）甲先拿，有种拿法； （2）再让写那张被甲拿到的卡片的人去拿，有种拿法； （3）剩余两人只有种拿法，根据分步乘法计数原理知共有种拿法， 故选：A. 4．（25-26高二上·上海·期末）食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有 种． 【答案】 【解析】第一步从食堂个门中一个门进，有种办法； 第二步，从另一个门出，有种办法；所以共有种不同的走法. 5．（2026高三·全国·专题练习）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给 个程序模块命名． 【答案】 【解析】首字符要求用字母A～G或U～Z，共种可能， 后两个字符要求用数字1～9，所以后两个字符中每个各有种可能， ，所以最多可以给个程序模块命名． 题型四 两个计数原理的综合、、 1．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由分步乘法计数原理可知：从甲地经过丙地到乙地共有种走法； 又从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走， 所以根据分类加法计数原理可得：从甲地到乙地的走法种数为. 故选：D. 2.（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类， 第一类：，第二类：，共27种. 故选：B． 3．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法． (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法． (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法． 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法． 4．（24-25高二下·天津·月考）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 【解析】（1）选其中1人担任数理化小组组长，可以来自数学或物理或化学， 所以共有种选法； （2）分三步完成，第一步数学选1人，6种，第二步物理选1人，5种，第三步化学选1人，4种， 所以共有种； （3）来自数学、物理共有， 来自数学化学共有， 来自物理化学共有， 所以总共由种选法； 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（   ） A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 【答案】A 【解析】第一步，从四层书架中选一层空着，有4种方法； 第二步，将3本不同的书放入剩下的3层书架中，每层一本，有种方法； 则不同的放法总数有种. 故选：A. 2.(2025辽宁鞍山一中高二下月考)某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门,每个部门至少1个名额,那么不同的名额分配方案总数为(　　) A.6 B.10 C.15 D.21 【答案】A 【解析】5个名额分给3个部门,每个部门至少1个名额,存在两类分配方式,即2,2,1和3,1,1. 若分配方式为2,2,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可,有3种可能; 若分配方式为3,1,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可,有3种可能. 综上,共有3+3=6种方案. 3．（25-26高二上·广东江门·月考）集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【解析】个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 这两类中重复的有数字，故所有样本点的个数为. 故选：B 4．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．可表示3个不同的圆 B．可表示6个不同的椭圆 C．可表示3个不同的双曲线 D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 【答案】ABD 【解析】当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C错误． 5．（多选）（24-25高二下·陕西安康·月考）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 【答案】BD 【解析】A选项：取2个球，红、黄各1，有种选法，该选项错误. B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有种选法，该选项正确. C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况： 若取1红1黄，有种选法； 若取1红1绿，有种选法； 若取1黄1绿，有种选法； 因此共有种选法，该选项错误. D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有种选法，该选项正确. 故选：BD. 6．（多选）（23-24高二下·广东中山·月考）以下结论正确的是（    ） A．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B．从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 C．60有12个不同的正因数 D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 【答案】AC 【解析】A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理， 不同选法的种数是，A选项正确. B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本， 根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，B选项错误. C选项，，所以正因数有个，C选项正确. D选项，从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减， 得到的差有，共个不相等的差，D选项错误. 故选：AC 7．(2025北京一零一中学高二下期末)540的不同约数共有　　　　个.  【答案】24 【解析】将540进行质因数分解为540=22×33×5,对于因数2,可以不选或选1次或选2次,对于因数3,可以不选或选1次或选2次或选3次,对于因数5,可以不选或选1次, 因此,540的不同约数共有3×4×2=24个. 8．（2025高二·全国·专题练习）某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分别是元、元、元、元.某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品（至少购买一款，且每款只购一只），因信用卡出现故障，他身上只剩元现金，则他买玩具样品的方案有 种. 【答案】 【解析】按照玩具的种类分成种情况. （1）只购买一款玩具样品，共种方案. （2）购买两款玩具样品：买元和元的各一只；买元和元的各一只； 买元和元的各一只；买元和元的各一只；买元和元的各一只； 买元和元的各一只.共种方案. （3）购买三款玩具样品：买元、元和元的各一只；买元、元和元的各一只； 买元、元和元的各一只.共种方案. 综上，购买玩具的方案共有种， 9.(2025山东东营高三上联考)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值? 【解析】第一步,取底数,有8种取法; 第二步,取真数,有7种取法. 根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56个对数. 但在这些对数中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以可以得到56-4=52个不同的对数值. 10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 【解析】分两类完成： 第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条； 第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成： 第一步，确定A的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法； 第二步，确定B的值，共有3种不同的方法． 由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线． 由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)． 1．(24-25高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有(    )    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有种.故选：C. 2．(2025高二·全国·专题练习)某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方形(边长为个单位长度)的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走几个单位长度，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向走i个单位长度，一直循环下去.此人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到起点A处的不同走法共有 种. 【答案】 【解析】正方形的周长为，故抛掷三次骰子的点数之和为或. (1)点数之和为的情况有种：，，，，， 其中，，都含有个相同数字，各有种走法；而，由个不同的数字组成，各有种走法. 所以共有种走法. (2)点数之和为的情况有种：，，共有种走法. 因此，由分类加法计数原理可知共有种不同的走法，故答案为：. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $