6.2.2 排列数 第1课时 简单应用（分层作业，6基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2 排列数 第1课时 简单应用 题型一 排列数的计算 1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南信阳·期末）（   ） A．0 B．4 C．12 D．24 3．设m∈N*，且m<15，则A等于(　　) A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m) B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m) C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m) D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m) 4．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 题型二 解排列数方程或不等式 1．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2.不等式A<6A的解集为(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2)已知，求 题型三 证明排列数恒等式 1．（25-26高二·全国·课后作业）求证：（、为大于1的自然数）． 2．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 题型四 全排列问题 1．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 2．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有（    ） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 3．（2024·广西河池·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．（24-25高三·上海·课堂例题）10名学生排成两排照相，第一排6人，第二排4人，共有 种不同的排列方式． 5（24-25高三·上海·课堂例题）将5位外籍球员分配到、、、四个甲级队中，每个队至少被分配到一位球员，且全部分配完，则甲、乙两位球员分在同一个队的分配方案有 种． 题型五 无限制条件的排列问题 1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 2．（24-25高三上·河南周口·期中）从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有 种.（结果用数字作答） 4．（24-25高三·上海·课堂例题）5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 种． 5．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 题型六 有限制条件的排列问题 1．（25-26高三上·福建·月考）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 2．（24-25高二下·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 3．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·全国·课后作业）一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（    ） A．24 B．20 C．18 D．12 3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有(　　) A．A种 B．A种 C．AA种 D．2A种 4．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　) A．20 B.16 C．10 D．6 5．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 6．（2025·河南鹤壁·二模）某同学忘记单词“”的字母顺序，但是记得前两个字母为“”，后两个字母为“”，则该同学能写对的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下·陕西西安·期末）下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有种 C．个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手次 D．老师手里有张相同的游园门票分给人中的人，则分法有种 8．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 9．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 10．（2025高一·全国·专题练习）甲、乙两位同学解“不等式的解集为 ”的过程如下： 甲同学：由排列数公式得 化简得.解得. 因为，所以. 答案： 乙同学：得 化简得， 解得.（1） 又且 所以.（2） 由（1）（2）及得. 答案： 试分析甲、乙两位同学的解题过程是否正确，原因何在？ 11．（2025高三·全国·专题练习）（1）化简：． （2）设，且，证明：． 12．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 1．（24-25高二下·江苏连云港·月考）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 2．（20-21高二·江苏·课后作业）证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 排列数 第1课时 简单应用 题型一 排列数的计算 1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南信阳·期末）（   ） A．0 B．4 C．12 D．24 【答案】D 【解析】由． 故选：D 3．设m∈N*，且m<15，则A等于(　　) A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m) B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m) C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m) D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m) 【答案】C 【解析】A是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m)． 4．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 【答案】24 【解析】， 故答案为：24 题型二 解排列数方程或不等式 1．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 2.不等式A<6A的解集为(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 【答案】D 【解析】由A<6A，得<6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 又所以2≤x≤8，② 由①②及x∈N*，得x＝8. 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2)已知，求 【解析】（1）； （2）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 题型三 证明排列数恒等式 1．（25-26高二·全国·课后作业）求证：（、为大于1的自然数）． 【解析】 2．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. 【解析】（1）； （2），. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 题型四 全排列问题 1．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解析】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 2．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有（    ） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】D 【解析】由题意可得不同的采访顺序有种． 故选：D 3．（2024·广西河池·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【解析】甲、乙、丙共3名航天员分别到天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱3个舱开展实验，每个舱安排一个人， 不同的安排方法共有（种）. 故选：D. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）10名学生排成两排照相，第一排6人，第二排4人，共有 种不同的排列方式． 【答案】3628800 【解析】由题意，相当于把10人作全排列，则有. 故答案为：3628800. 5（24-25高三·上海·课堂例题）将5位外籍球员分配到、、、四个甲级队中，每个队至少被分配到一位球员，且全部分配完，则甲、乙两位球员分在同一个队的分配方案有 种． 【答案】24 【解析】甲、乙两位球员分在同一个队的分配方案，如下， 先将甲乙捆绑看作一个人，再把4人作全排，有种. 题型五 无限制条件的排列问题 1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【解析】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 2．（24-25高三上·河南周口·期中）从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题知，不同的排法共有， 故选：D. 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有 种.（结果用数字作答） 【答案】 【解析】从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有种. 故答案为：. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 种． 【答案】120 【解析】分步计数：第一位同学有5种选择，第二位同学有4种选择，第三位同学有3种选择，第四位同学有2种选择，故. 排列数：5本读物任取4种分给4个人，则有. 故答案为：120. 5．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 【答案】1 560 【解析】根据题意，得A＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言． 题型六 有限制条件的排列问题 1．（25-26高三上·福建·月考）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【解析】个位数字可以是，可得， 故选：A. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【解析】“word”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 故选：B 3．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【答案】72 【解析】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 【答案】144 【解析】依题意可分两步完成： 第一步，将四个数在奇数位上全排，有种方法， 第二步，将三个数在偶数位上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理，共有这样的七位数个． 故答案为：144. 1．（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中总共有个数连乘，故． 故选：A 2．（21-22高二上·全国·课后作业）一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（    ） A．24 B．20 C．18 D．12 【答案】A 【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于， 因此只能是四位数字的不同排列，故有种. 故选：A 3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有(　　) A．A种 B．A种 C．AA种 D．2A种 【答案】C 【解析】司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法． 4．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　) A．20 B.16 C．10 D．6 【答案】B 【解析】不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法． 5．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【答案】D 【解析】六个互不相同的数的全排列共有个， 为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720. 故选：D. 6．（2025·河南鹤壁·二模）某同学忘记单词“”的字母顺序，但是记得前两个字母为“”，后两个字母为“”，则该同学能写对的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为单词中间三个字母的排列有种排法， 所以该同学能写对的概率为. 故选：C. 7．（多选）（24-25高二下·陕西西安·期末）下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有种 C．个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手次 D．老师手里有张相同的游园门票分给人中的人，则分法有种 【答案】BC 【解析】对于A选项，可表示为，A错； 对于B选项，若把英文“”的字母顺序写错，所有的顺序中只有一种顺序是对的， 则可能出现的错误共有种，B对； 对于C选项，个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手的次数为次，C对； 对于D选项，老师手里有张相同的游园门票分给人中的人，则分法有种，D错. 故选：BC. 8．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 【答案】6 【解析】文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法． 9．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 【答案】36 【解析】文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法． 10．（2025高一·全国·专题练习）甲、乙两位同学解“不等式的解集为 ”的过程如下： 甲同学：由排列数公式得 化简得.解得. 因为，所以. 答案： 乙同学：得 化简得， 解得.（1） 又且 所以.（2） 由（1）（2）及得. 答案： 试分析甲、乙两位同学的解题过程是否正确，原因何在？ 【解析】甲同学错误，乙同学正确. 甲同学错误的原因在于没有正确理解排列数隐含条件， 从而忽视了且，导致结果错误. 乙同学的解法正确，因为他不仅解出了不等式，还正确考虑了排列数定义所要求的定义域限制，并求了两者的交集. 解决此类题首先要认真审题，明确题设条件，特别是隐含条件. 11．（2025高三·全国·专题练习）（1）化简：． （2）设，且，证明：． 【解析】（1）原式． （2）因为， 所以，左边， 故原不等式成立． 12．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 【解析】由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，所以A－A＝62， 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62， 所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31， 因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*， 所以 解得m＝2，n＝15， 故原有15个车站，现有17个车站． 1．（24-25高二下·江苏连云港·月考）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 【答案】A 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法； ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况， 则有种不同的分配方法； 故选：A. 2．（20-21高二·江苏·课后作业）证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【解析】（1）解：证明：由可得， 则. 所以 （2）解：因为， 所以. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $