精品解析：山西省朔州市怀仁市云洲职业中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

绝密★启用前 怀仁市云洲职业中学2025-2026学年度上学期第四次月考 高二数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “是实数，”这一事件是（　　） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 2. 如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 不能确定 3. （高教版）一组数据76、77、88、、85、94的平均数为85，则此组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 4. 从1， 3， 5， 6中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 108种 D. 120种 7. ，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 从三个数中任选两个数：①做加法；②做减法；③一个做指数的底数，一个做指数的幂指数；④一个做被开方数，一个做根指数.上述问题是排列问题的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 9. 将数字2，4，6进行排列组合，可以组成（ ）个没有重复数字的三位数. A. 6 B. 5 C. 9 D. 27 10. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成（ ）个四位数字号码. A. 180 B. 600 C. 6000 D. 36 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 样本的标准差是________ 12. 甲乙丙丁4人参加接力比赛，其中甲不跑第一棒的概率为________. 13. 9把钥匙中有2把能打开门，现在从9把钥匙中任取1把，求能打开门的概率________. 14. 用3，4，5，6，7可以组成_______个没有重复数字的四位奇数. 15. 用四个数字可以组成_______个没有重复数字的三位数. 16. 平面内8个点可以确定的线段共有_________条. 17. _______. 18. 某铁路段上有12个车站，共需要准备普通客票______种. 19. ______. 三、解答题（本大题共6小题，共38分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 某工厂某日生产了一种型号的轴共200件.为了检验这批轴的直径是否符合设计要求，要从中抽取20件在同一条件下测量.如何采用抽签法抽取样本? 21. 已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除标号外，其他完全相同）. （1）若一次性取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； （2）若不放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号相同的概率. 22. 有3名男生和4名女生，按下列要求排列，求不同的排列方法种数. （1）排成前后两排，前排4人，后排3人； （2）全体排成一排，女生必须相邻； 23. 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 24. 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，在相同条件下两人各射击100次，组委会从两人成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分）见下表： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 （1）已知甲运动员6次射击成绩的平均数为9，求常数; （2）求乙运动员6次射击成绩的平均数与方差，并判断哪名运动成绩更好. 25. 计算： （1） （2）（结果用数字表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 怀仁市云洲职业中学2025-2026学年度上学期第四次月考 高二数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “是实数，”这一事件是（　　） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件，不确定事件，不可能事件，随机事件的概念判断. 【详解】若是实数，则必有， ∴“是实数，”这一事件是必然事件， 故选：A． 2. 如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由相互独立事件确定概率即可. 【详解】因为每次抛掷硬币出现正反面的概率是相等的，且均为， 由于每次抛掷硬币是相互独立的， 故第98次出现反面朝上的概率是. 故选：C. 3. （高教版）一组数据76、77、88、、85、94的平均数为85，则此组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据均值和方差的公式可求解. 【详解】由题可得：，解得， ， 故选：C 4. 从1， 3， 5， 6中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由组合数和古典概型即可得解. 【详解】从1， 3， 5， 6中任取两个数，共有种， 满足两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的有 ，共4种， 所以其概率为. 故选：A. 5. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质列方程即可求解. 【详解】由组合数的性质可得， 又，所以； 再由可得，所以或. 故选：D. 6. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 108种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】按照1，3是否同色进行分类讨论，再根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有种涂色法；若1，3同色，有种涂色法. 根据分类加法计数原理可知，共有种涂色法. 故选：B. 7. ，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的公式求解即可. 【详解】根据排列数公式将展开可得： ， 两边同时约去，得到： ， 展开可得： ， 移项化为一元二次方程标准形式： 因式分解： 解得或. 因为在排列数中且，所以舍去. 综上，. 故选：C. 8. 从三个数中任选两个数：①做加法；②做减法；③一个做指数的底数，一个做指数的幂指数；④一个做被开方数，一个做根指数.上述问题是排列问题的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的概念逐项分析即可. 【详解】已知从三个数中任选两个数， 若做加法不需要排序，故①不是排列问题， 若做减法需要排序，②是排列问题， 一个做指数的底数，一个做指数的幂指数需要排序，③是排列问题， 一个做被开方数，一个做根指数需要排序，④是排列问题， 所以是排列问题的有②③④， 故选：B. 9. 将数字2，4，6进行排列组合，可以组成（ ）个没有重复数字的三位数. A. 6 B. 5 C. 9 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可求解. 【详解】第一步，排百位，共有3种排法； 第二步，排十位，共有2种排法； 第三步，排个位，共有1种排法， 根据分步计数原理，可以组成没有重复数字的三位数的个数为：. 故选：A 10. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成（ ）个四位数字号码. A. 180 B. 600 C. 6000 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】运用分步乘法计数原理求解. 【详解】第一步，确定第一个拨号盘的数字，因为每个拨号盘上有共个数字，所以有种方法， 第二步，确定第二个拨号盘的数字，同理也有种方法， 第三步，确定第三个拨号盘的数字，同样有种方法， 第四步，确定第四个拨号盘的数字，由于最后一个拨号盘出现故障，只能在这个数字中拨号，所以有种方法， 根据分步乘法计数原理，这个拨号盘可组成的四位数字号码个数为： （个）. 故选：C. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 样本的标准差是________ 【答案】（人教版）;（高教版）. 【解析】 【分析】首先求出样本的均值，再求出标准差即可. 【详解】样本的均值为. （人教版）方差为， 进而标准差为. （高教版）方差为， 进而标准差为. 故答案为：（人教版）;（高教版）. 12. 甲乙丙丁4人参加接力比赛，其中甲不跑第一棒的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用排列数求出全排列和甲跑第一棒的情况，再利用排除法求出甲不跑第一棒的概率. 【详解】4人参加接力比赛，共有种情况， 其中甲跑第一棒，剩下的人全排列共有种情况， 甲跑第一棒的概率为， 则甲不跑第一棒的概率为. 故答案为：. 13. 9把钥匙中有2把能打开门，现在从9把钥匙中任取1把，求能打开门的概率________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式可求解. 【详解】设“从9把钥匙中任取1把，能打开门”为事件，则 从9把钥匙中任取1把，共有9种不同的方式，而事件共包含2个基本事件， 所以. 故答案为： 14. 用3，4，5，6，7可以组成_______个没有重复数字的四位奇数. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列的概念，即可解得. 【详解】先确定个位数，有3种选择（3，5，7）， 个位确定后，剩下4个数字，从中选3个进行排列到前三位， 则有种， 所以可以组成没有重复的四位奇数有个. 故答案为：. 15. 用四个数字可以组成_______个没有重复数字的三位数. 【答案】 【解析】 【分析】首先考虑首位不能为0，再运用分步计数原理计算即可. 【详解】已知四个数字中，0不能为百位， 所以百位有种选择，去除百位的数字，十位有种选择，个位有2种选择， 所以可以组成个没有重复数字的三位数， 故答案为：. 16. 平面内8个点可以确定的线段共有_________条. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合计数原理可求解. 【详解】因为平面内任意2个点可以确定一条线段， 所以平面内8个点可以确定的线段共有：（条）. 故答案为：. 17. _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列与组合的计算公式，计算即可. 【详解】，， 所以. 故答案为：. 18. 某铁路段上有12个车站，共需要准备普通客票______种. 【答案】132 【解析】 【分析】利用分步计数原理即可得解. 【详解】依题意，解决这个问题可以分成两个步骤： 第1步任选1站为起点，有12种选择； 第2步任选1站为终点，有11种选择﹒ 根据分步计数原理，共需要准备普通客票（种）. 故答案为：132. 19. ______. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算组合数、排列数、阶乘，然后进行求和即可求解. 【详解】根据组合数、排列数和阶乘的定义可得： ，，，， 将各项代入原式计算可得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共38分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 某工厂某日生产了一种型号的轴共200件.为了检验这批轴的直径是否符合设计要求，要从中抽取20件在同一条件下测量.如何采用抽签法抽取样本? 【答案】答案见详解 【解析】 【分析】根据抽签法的步骤设计方案即可． 【详解】（1）编号：将200件轴分别编号为1，2，…，200； （2）做签：做200个大小、形状相同的号签，分别写上这200个数； （3）抽签：将这些号签放在一起，均匀摇动，接着不放回地逐个抽取20个号签； （4）取样：与这20个号签号码相同的轴的直径即所要抽取的样本． 21. 已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除标号外，其他完全相同）. （1）若一次性取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； （2）若不放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数公式计数，根据古典概型的概率公式求出概率. （2）利用排列数公式计数，根据古典概型的概率公式求出概率. 【小问1详解】 设“取出的3个小球上标号均不相同”为事件， 则一次性取出3个小球共有个基本事件， 而事件包含的基本事件的个数为：， 所以； 【小问2详解】 设“取出的2个小球上标号相同”为事件， 则不放回地先后取出2个小球，共有个基本事件， 而事件包含的基本事件的个数为：， 所以. 22. 有3名男生和4名女生，按下列要求排列，求不同的排列方法种数. （1）排成前后两排，前排4人，后排3人； （2）全体排成一排，女生必须相邻； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列知识，分别求出先排前排，再排后排的方法数，再根据分步计数原理可求解； （2）采用“捆绑法”，即先对女生进行排列，再把女生看成一个整体和3个男生进行全排列，最后根据分步计数原理可求解； 【小问1详解】 第一步，排前排4人，共有种方法；第二步，排后排3人，共有种方法； 根据分步计数原理，不同的排列方法种数为：（种）. 【小问2详解】 先对女生进行排列，再把女生看成一个整体和3个男生进行全排列，根据分步计数原理，则 不同的排列方法共有（种）. 23. 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）15种. （2）120种. （3）74种. 【解析】 【分析】（）根据题意结合分类计数原理即可得解. （）根据题意结合分步计数原理即可得解. （）根据题意结合分类计数原理及分步计数原理即可得解. 【小问1详解】 高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成， 选其中1人为学生会主席，选法有（种）． 【小问2详解】 每年级选1人为校学生会常委，选法有（种）． 【小问3详解】 选出不同年级的两人参加市里组织的活动， 选法有（种）． 24. 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，在相同条件下两人各射击100次，组委会从两人成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分）见下表： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 （1）已知甲运动员6次射击成绩的平均数为9，求常数; （2）求乙运动员6次射击成绩的平均数与方差，并判断哪名运动成绩更好. 【答案】（1） （2）乙的平均数为9，（对应人教版）方差为2；（对应高教版）方差为，甲运动员的成绩更好 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式可求解； （2）利用平均数和方差的计算公式求平均数和方差，根据平均数和方差的意义判断成绩的好坏. 【小问1详解】 由题可得， ，解得； 【小问2详解】 乙运动员6次射击成绩的平均数：； （对应人教版）： 乙运动员6次射击成绩的方差： ； 甲运动员6次射击成绩的平均数为9，方差为： ； （对应高教版）： 乙运动员6次射击成绩的方差： ； 甲运动员6次射击成绩的平均数为9，方差为： ； 因为甲、乙的平均数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，所以甲运动员的成绩更好. 25. 计算： （1） （2）（结果用数字表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，将原式化简后，再根据排列数公式可求解； （2）将用替换后，根据组合数的性质及组合数计算可求解. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $