6.2.2 第3课时 利用导数解决与函数相关的问题（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 [当堂达标] 3.已知函数f(x)=一x2-2x十3在[a,2]上的最大 1.下列结论正确的是 ) 值为5，则a= A.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极大值一定是 [a,b]上的最大值 4.已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a). B.若f(x)在[a,b]上有极小值，则极小值一定是 (1)求导数(x): [a,b]上的最小值 (2)若f(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值 C.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极小值一定是x 和最小值. =a和x=b时取得 D.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上存在 最大值和最小值 2.函数f(x)=2x3-6.x2-18x-7在[1,4]上的最小 值为 A.-64 B.-51 C.-56 D.-61 第3课时 利用导数解决与函数相关的问题 课程标准 素养解读 1.体会导数与单调性、最大（小）值的关系 在运用导数解决函数问题过程中达成逻辑推 2.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 理、数学运算的核心素养。 课堂。互动学案 题型一 利用导数证明不等式问题 ⊙[变式训练] 1.已知x>0,证明：1+2x<e2z」 [例1]已知>1，证明：lmx+是>1. 题型二 不等式的恒成立问题 [例2] 设函数f(x)=tx2+2t2x十t-1(x∈R,t>0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)<-2t十m对t∈(0,2)恒成立，求实数 m的取值范围. 汇思路点拨了“()利用配方法，即可求出二次函 规律方法 数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t) 利用导数法证明不等式的思路 一(-2t十m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小 (1)若证明f(x)>a成立，只需证明f(x)mm>a 于零即可求得m的取值范围。 即可， (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立，基本 方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根 据函数h(x)的单调性证明h(x)ma>0. ·62· 第六章导数及其应用 [母题探究] 题型利用亭数研究函数的零点方程的根)问题 1.(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]， [例3]给定函数f(x)=(x+1)e. 使h(t)<一2t十m成立”，则实数m的取值范围如 (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； 何求解？ (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 2.(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,2 ∈(0,2)，都有h(t1)<-2t2十m”,求实数m的取 值范围. 规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g'(x)易求，g'(x)=0可 解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利 用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定 义区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出 g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的 个数. (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在 规律方法 某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 调性、极值（最值）及区间端点值符号，进而判 分离参数转化为f)≥a恒成立， 断函数在该区间上零点的个数. 即fx)≥a;或f(x)≤a恒成立， 即fxm≤a ◇[变式训练] <求最值 求x)n或fx) 3已知西效)=n一讨论f)的单调， 并证明f(x)有且仅有两个零点. 结论 写出参数的取值范围 ◇[变式训练] 2.已知函数f(x)=x3-3x2-9x十c,当x∈[-2,6] 时，f(x)<2c恒成立，求c的取值范围. ·63· 数学B版·选择性必修第三册 [当堂达标] 3设函数f(x)=d-号-2z+5,若对任意x 1.已知函数f(x)的定义域为[一1,4]，部分对应值如 下表： [-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围 是 4.已知函数f(x)=x-lnx(k>0). f(x) (1)若=1，求f(x)的单调区间； f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.当1<a (2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数 <2时，函数y=f(x)一a的零点的个数为() 的值. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)=x2-2lnx,若在定义域内存在 x。,使得不等式f(x)一m≤0（成立，则实数m的 最小值是 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.3 利用导数解决实际问题 课程标准 素养解读 1.理解实际生活中的最优化问题. 在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升 2.会利用导数解决实际生活中的最优化问题. 数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养， ● 课前。预习学案 [知识梳理] ?思考解决生活中优化问题应注意什么？ [知识点一]优化问题 生活中经常遇到求 等问题，这些问题通常称为优化问题. [知识点二] 用导数解决优化问题的基本思路 优化问题 用 表示数学问题 个 优化问题的答案 用 解决数学问题 课堂。互动学案 题型一 平面九何中的最值问题 切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 [例1]请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是 AE=FB=x(cm). 边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示 的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 60 得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成 个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上，是被 。64·数学B版·选择性必修第三册 当堂达标 1.D[函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值，最值也 不一定是极值，极值一定不会在端，点处取得，而在[α，b] 上一定存在最大值和最小值.] 2.D[f(x)=6x2-12x-18,令f(x)=0,解得x1=-1, x2=3,f(3)=-61,f(1)=-29,f(4)=-47.所以所求 的最小值为一61.] 3.解析：当a一1时，最大值为4，不合题意；当一1<a<2 时，f(x)在[a,2]上是减函数，此时f(a)最大，所以一a2 -2a十3=只，解得a=-2或a=-是（合去）. 答案：-日 4.解：(1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, .f'(x)=3x2-2ax-4. (2)由f(-1)=0,得a=,此时有f(x)=(2-4) (-）fx)=3x2-x-4. 由f)=0得x=号我x=-1又f(学)=器-1D =号，f(-2)=0,f(2)=0,fx)在[-2,2]上的最大 值为号最小值为一职 第3课时利用导数解决与函数相关的问题 课堂互动学案 [例1证明令f)=nx+上(x>1,f(x)=士 x>1,f(x)>0, f()=lnx+1在(1，十∞)上单调递增，f(x)>f (1)=1n1+1=1. 从而hx十上>1，命题得运 变式训练 1.证明设f(x)=1+2x-e2x,则f(x)=2-2e2x=2(1- e2x),当x>0时，2x>0,2x>e0=1,.f(x)=2(1-e2x) <0,.函数f(x)=1十2x-e2x在(0，十o∞)上是减函数. 函数f(x)=1十2x-e2x是连续函数，.当x>0时，f (x)f(0)=0,.当x>0时，1+2x-e2x<0,即1+2x<e2x. [例2][解](1)f(x)=t(x+t)2-t十t-1(x∈R,t> 0),∴.当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g (t)=-3t2十3=0，得t=1或t=-1(不合题意，舍去). 当t变化时，g'(t),g(t)的变化情况如下表： (0,1) 1 (1,2) g'(t) 0 g(t) 极大值1一m ∴.g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m. h(t)<-2t十m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内 恒成立，即等价于1一m<0.m的取值范围为(1，十o). 。9 母题探究 1.[解]令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t+3t-1-m,由 g'(t)=-32+3=0,得t=1或t=-1(不合题意，舍去). 当t变化时，g'(t),g(t)的变化情况如下表： 0 (0,1) 1 (1,2) 2 g'(t) 0 g(t) -1-m 极大值1一m -3-m .g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈[0， 2],使h(t)<-2t十m成立，等价于g(t)的最小值g(2) <0. ∴.-3一m<0,.m>-3,所以实数m的取值范围为 (-3,十∞). 2.[解]，h(t)=-t3+t-1,t∈(0,2) .'(t)=-32+1 由0=0得：-停或1-得（会） 31 又当0<5时，()>0，当5<<2时，()<0. 3 3 4当-9时609+9-129 9 令p(t)=-2t+m,t∈(0,2)，.p(t)min>m-4. 由题意可知25-9≤m-4,即m≥25+3=25。十2☑ 9 9 9 ÷实数m的取值范国为[2十27十）】 变式训练 2.解：f(x)=x3-3x2-9x十c,f(x)=3x2-6.x-9. 当x变化时，∫(x),f(x)随x的变化如下表： x(-∞，-1) -1 (-1,3 3 (3,十00) f(x》 0 0 f() 递增 极大值c十递减极小值c一27 递增 而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,.当x∈[-2,6]时，f (x)的最大值为c十54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c十 54<2c|即可，当c≥0时，c+54<2c,.c>54;当c<0 时，c+54<-2c,∴.c<-18. .c∈(-o∞，-18)U(54,+o∞)，此即为参数c的取值 范围 [例3]解：(1)函数的定义域为x∈R. 因为f(x)=(x+1)'ex+(x十1)(er)'=ex+(x十1)ex= (x+2)e'. 令f(x)'=0,解得：x=-2. 当x变化时，f(x)'、f(x)的变化情况如表所示 (-∞，-2) -2 (一2，十∞) 0 + y 单调递减 单调递增 所以，f(x)在区间（一∞，一2）上单调递减，在区间（一2， 十∞)上单调递增. 当x=一2时，f(x)有极小值f(一2)= 1 e2 (2)令f(x)=0,解得：x=一1. 当x<-1时，f(x)<0;当x>一1时，f(x)>0. 所以f)的图象经过特殊点A(一2，一， B(-1,0),C(0,1). 当x→一∞时，与一次函数相比，指数函数y=ex呈爆炸 性增长，从而y=十0；当十0时，f()十0，f (x)→十∞，根据以上信息，我们画出的大致图象如图 所示 fx)=(x+1)e -2-1/ 2 0 1龙 -1 (3)方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的 图象与直线y=a的交点个数。 由(1)及图可得，当x=一2时，有最小值f(-2)=一 e2 所以，方程f(x)=a的解的个数有如下结论； 当aK-是时，解为0个， 当a=己或a≥0时，解为1个， 1 当一3<a<0时，解为2个. 变式训练 3.解：f(x)的定义域为(0,1)U(1,十∞). 周为了)=士+a品)>≥0，所以)在0.1)小 十∞)上单调递增. 周为fe=1-<0,fe)=2-}二子>0， e2-1e2-1 所以f(x)在(1，十o∞)上有唯一零点x1(e<x1<e2),即 f(x1)=0. 又01，(）-h+身-f)=0, 1 (x)在(0,1)上有唯一零点1 x1 综上，f(x)有且仅有两个零点. 当堂达标 1.D[根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y= f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1<a<2, 所以y=f(x)一a的零点个数为4. -5-4-3-2-1012345 3 -3 -4 ·9 参考答案 2.C[函数f(x)的定义域为(0，+c∞)，f(x)=2x-2 令f(x)=0,得x=1或x=-1(舍). 当x∈0时，f(x)<0;当x∈(1，十∞)时，f(x)>0. 所以当x=1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值 为1. 因为存在x0,使得不等式f(xo)一m≤0成立， 所以m≥1，所以实数m的最小值为1，故选C.] 3.解析：由了()=3x2-x-2=0,得x=1,-子又f( 1D=5号，f(号)=5器f1)=3f2)=1,m< 32 答案：（∞，3合）】 4.解：(1)若k=1,则f(x)=x-lnx,定义域为(0，+∞)，则 f)=1-,由(x)>0得x>1:由f(x)<0,得0 <x<1,.f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间 为(1，+∞). (2)法一：由题意知，方程kx一lnx=0仅有一个实根，由 z-1nc=0,得k=h工(c>0). 令ge)=>0,则g)-1三，当0<x<c x 时，g(x)>0;当x>e时，g√(x)<0. ·g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减，g (a)s=ge)=日 当x→十∞时，g(x)→0. 又：>0，要使f(x)仅有一个零点，则k= e 法二：f(x)=kx-1nx,f()=k-1=红-1(x>0,k> xx 0) 当0<x<名时，fx)<0:当x>时，f>0. ∴fx)在(0，)上单调递减，在（房，+∞）上单调递 增fxm=f(货）=1-ln名，“f)有且只有-个 零点1-h合-0，即=日 法三：>0，∴函数f(x)有且只有一个零点等价于直线 y=kx与曲线y=lnx相切，设切点为(xo,yo),由y=ln k=1 x,得y=1, =0,六质名实教是的债 yo=In zo, 为