6.2.2 第2课时导数与函数的最值（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 [当堂达标] 3.若函数f()-在x=a处有极小值，则实数a等 1.(多选题)下列四个函数中，能在x=0处取得极值 的函数是 ) 于 A.y=x B.y=x2+1 4.求函数y=x十的极值. C.y=xl D.y=2 2.设函数f(x)=xe,则 A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=一1为f(x)的极大值点 D.x=一1为f(x)的极小值点 第2课时导数与函数的最值 课程标准 素养解读 1.在求函数最值的过程中达成逻辑推理、数学 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最 运算的核心素养 大值、最小值， 2.在研究导数、单调性、最值的关系中提升数学 2.体会导数与单调性、最大（小）值的关系 抽象和逻辑推理的核心素养， 课前。预习学案 [情境引入] [知识点三]求函数y=f(x)在闭区间[α，b]上最值 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局 的步骤 部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 说，如果x。是函数y=f(x)的极大（小）值，点，那么在 x=x。附近找不到比f(x,)更大的值，但是，在解决 (2)将函数y=f(x)的 与端点处的函数值 实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在 进行比较，其中最大的一个是 ,最 某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，为此我们这节 小的一个是 课就来学习函数的最值问题 [预习自测] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“×” (1)闭区间上的连续函数一定有最值. [知识梳理] [知识点一]函数f(x)在区间[a,b]上的最值 (2)开区间上的单调连续函数无最值， 1.取得最值的条件：在区间[a,b]上函数y=f(x)的 (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端 图象是一条 的曲线。 点处取得， () 2.结论：函数y=f(x)必有最大值和最小值，函数的 (4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也 最值在 或 取得， 一定是极小值 ?思考函数的极值与最值的区别是什么？ 2.函数f(x)=2 x-cos x在（一∞，十∞）上( A.无最值 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 3.函数y一三在[0,2]上的最大值为 60· 第六章导数及其应用 课堂。互动学案 题型一“求函数在闭区间上的最值 规律方法 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间 [例1]求下列函数的最值： 上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解 (1)f(x)=x3-3x2-9x+5,x∈[-2,4]； 决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并 (2)f(x)=ex-e,x∈[0，a],a为正常数. 结合不等式的知识进行求解. ⊙[变式训练] 2.已知a是实数，函数f(x)=x2(x一a),求f(x)在 区间[0,2]上的最大值. 规律方法 导数法求函数最值要注意的问题 (1)求f(x),令f(x)=0,求出在(a,b)内使导数 为0的点，同时还要找出导数不存在的点. (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导 题型三 已知函数的最值求参数 数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者 [例3]已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2] 便是f(x)在[a,b]上的最大值，最小者便是 的最大值为3，最小值为一29，求a,b的值. f(x)在[a,b]上的最小值 ◇[变式训练] 1.(1)函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小 值为 ) A.72 B.36 C.12 D.0 (2)函数f(x)=lnx-x在区间(0，e]上的最大值为 ( A.1-e B.-1 C.-e D.0 题型二 含参数的函数最值 [例2]a为常数，求函数f(x)=-x3+3a.x(0≤x≤ 1)的最大值. 规律方法…。 已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是 求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数 研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已 知最值列方程（不等式）解决问题.其中注意分类 讨论思想的应用。 ⊙[变式训练] 3.若函数f)千。a>0)在[1，+∞)上的最大 值为写则。的值为 ·61· 数学B版·选择性必修第三册 [当堂达标] 3.已知函数f(x)=一x2-2x十3在[a,2]上的最大 1.下列结论正确的是 ) 值为5，则a= A.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极大值一定是 [a,b]上的最大值 4.已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a). B.若f(x)在[a,b]上有极小值，则极小值一定是 (1)求导数(x): [a,b]上的最小值 (2)若f(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值 C.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极小值一定是x 和最小值. =a和x=b时取得 D.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上存在 最大值和最小值 2.函数f(x)=2x3-6.x2-18x-7在[1,4]上的最小 值为 A.-64 B.-51 C.-56 D.-61 第3课时 利用导数解决与函数相关的问题 课程标准 素养解读 1.体会导数与单调性、最大（小）值的关系 在运用导数解决函数问题过程中达成逻辑推 2.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 理、数学运算的核心素养。 课堂。互动学案 题型一 利用导数证明不等式问题 ⊙[变式训练] 1.已知x>0,证明：1+2x<e2z」 [例1]已知>1，证明：lmx+是>1. 题型二 不等式的恒成立问题 [例2] 设函数f(x)=tx2+2t2x十t-1(x∈R,t>0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)<-2t十m对t∈(0,2)恒成立，求实数 m的取值范围. 汇思路点拨了“()利用配方法，即可求出二次函 规律方法 数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t) 利用导数法证明不等式的思路 一(-2t十m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小 (1)若证明f(x)>a成立，只需证明f(x)mm>a 于零即可求得m的取值范围。 即可， (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立，基本 方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根 据函数h(x)的单调性证明h(x)ma>0. ·62·数学B版·选择性必修第三册 [例3](1)解析：f(x)=3.x2+2ax+b, 依题意得f(1)=10,。 即1a2+a+6=9, 1f(1)=0,12a+b=-3, 解得8=4，或a=3 {6=-11,{b=3. 但由于当a=-3,b=3时，f(x)=3x2-6x+3= 3(x一1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x=1 处取得数位，所以{公3不培合题意，应合去 而当∫a=4, 6=-11 时，经检验知符合题意，故a,b的值分别为 4,-11. 答案：4，-11 (2)解：f(x)=x2-(m十3)x+m +6. 因为函数f(x)在(1，十∞)内有两个 极值点， 0 所以f(x)=x2-(m十3)x十m十6 在(1，十∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示. 4=(m+3)2-4(m+6)>0, 所以f(1)=1-(m+3)+m+6>0, m>1. 解得m>3.故实数m的取值范围是(3，十c∞). 变式训练 3.[解]：f(x)=(x-m)(3x-m),且f(2)=0, .(m-2)(m-6)=0,即m=2或m=6. (1)当m=2时，f(x)=(x-2)(3x-2), 由f(>0得x<号或>2：由f)<0得号<<2. .x=2是f(x)的极小值点，不合题意，故m=2舍去. (2)当m=6时，f(x)=(x-6)(3x-6), 由f(x)>0得x2或x>6;由f(x)<0得2<x<6. x=2是f(x)的极大值，∴.f(2)=2×(2-6)2=32. 即函数f(x)的极大值为32. [例4幻[解]令f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0, 解得x1=-1,x2=1.当x<-1时，f(x)>0;当-1<x <1时，f(x)<0; 当x>1时，f(x)>0.所以当x=一1时，f(x)有极大值 f(-1)=2+a; 当x=1时，f(x)有极小值f(1)=-2十a. 因为方程f(x)=0有三个不同实根， 所以y=f(x)的图象与x轴有 三个交点，如图 由已知应有2+a>0, {-2+a<0, 解得一2<a<2,故实数a的取 值范围是(-2,2). 变式训练 4.解：(1)因为f(x)=-x3十ax2十b,所以∫(x)=-3x2 +2ax=-3xc-学. ·9 当a=0时，f(x)=一3x2≤0，函数f(x)没有单调递增区间； 当a>0时，令f(x)>0,即-3x(x-2号)>0，解得0<x 3 < 故函数f)的单润道增区间为(0，号)， 当a<0时，令fx)>0,即-3xx-学)>0，解得号<x <0, 故画数f()的单调递增区同为（号，0）。 (2)由(1)知，a∈[3,4]时，函数f(x)的单调递增区间为 单洞递减区间为（一0,0）和（号，十）. 所以faa=f学)=答+b,f道=f0)6 4a3 由于对任意a∈[3,4幻，函数f(x)在R上都有三个零，点， .,()大值>0，即∫27干0”解得一b≤0. (f(x)极小值<0， (b<0, 因为对任意a∈[3，幻，6>-号饭成立，所以6>（一 m=-4 所以实数b的取值范围为（一4,0） 当堂达标 1.BC[AD为单调函数，不存在极值.] 2.D[令f'(x)=e2十x·er=(1十x)e2=0,得x=-1. 当x<-1时，f'(x)<0;当x>-1时，f'(x)>0.故当x =一1时，f(x)取得极小值.] 3.解析：函数f(x)=g二在工=a处有极小值得x=a是极值 点，所以f(a)=0,由f(x)=z二ec,代入a,解得a =1. 答案：1 4解=1-学合y=0,解得=士1而原画数 的定义域为{xx≠0}，.当x变化时，y,y的变化情况如 下表： x-∞，-1 -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,十∞) 0 0 y单调递增极大值单调递减单调递减极小值 单调递增 所以当x=一1时，y板大位=一2，当x=1时，y板小值=2. 第2课时导数与函数的最值 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.连续不断2.极值点区间端点 [思考] [提示]函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值 得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数 的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取 得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未 必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是 极值 知识点二、(1)极值(2)各极值f(a),f(b)最大值最小值 预习自测 1.(1)/(2)/(3)/(4)× 2.A[f(x)=2十sinx>0恒成立，所以f(x)在(-o∞，十o∞) 上单调递增，无极值，也无最值] 3解折y--号令=0，得=1G00 (e)2 f)=日f0)=0,f2)=是.fx)s=f1) =8 答案：日 课堂互动学案 [例1]解：(1)f(x)=x3-3x2-9x+5,x∈[-2,4]， ∴.f'(x)=3x2-6.x-9=3(x+1)(x-3). 令f(x)=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时， ∫(x)、f(x)的变化情况如下表： x -2(-2,-1) -1 (-1,3)》 3 (3,4) 4 F(x) 0 0 极大 极小值 f(x)3 -15 值10 -22 由表格可以看出：函数y=f(x)的最大值为f(一1)=10，最 小值为f(3)=-22. 2r)-(传}-ey=- -e=-1+e2 ex 当x∈[0，a]时，f(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减 函数. 故当x=a时，f(x)有最小值f(a)=ea一e; 当x=0时，f(x)有最大值f(0)=e0-e°=0. 变式训练 1.(1)D[因为y=x4-4x+3,所以y=4x3-4,令y=0, 解得x=1.当x<1时，y<0,函数单调递减；当x>1时， y>0,函数单调递增，所以函数y=x4一4x十3在x=1 处取得极小值0.而当x=一2时，y=27,当x=3时，y= 72,所以当x=1时，函数y=x4一4x十3在[-2,3]上取 得最小值0.] (2②B[fx)=是-1，令fx)=0,得x=1.当x0. 1)时，f(x)>0,当x∈(1，e)时，f(x)<0,∴.当x=1时， f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)=一1.] [例2][解]f(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0，则f(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x=0 时，有最大值f(0)=0.若a>0,则令f'(x)=0,解得x= 士√a. ,x∈[0,1]，则只考虑x=√a的情况. ①若0<a<1,即0<a<1, 则当x=√a时，f(x)有最大值f(Wa)=2aa.(如下表所示) ·9 参考答案 0 (0,√a) a (a,1) f(x) + f(x) 0 2ava 3a-1 ②若√a≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f(x)≥0，函数 f(x)在[0,1]上单调递增，当x=1时，f(x)有最大值f (1)=3a-1. 综上可知，当a≤0，x=0时，f(x)有最大值0； 当0<a<1,x=√a时，f(x)有最大值2aa; 当a≥1，x=1时，f(x)有最大值3a-1. 变式训练 2.解：f()=32-2a.令f)=0,解得1=0，= ①当号≤0，即a<0时，f()在[0,2]上单调递增，从而f (x)max=f(2)=8-4a. ②当号≥2，即a≥3时，f()在[0,2]上单调道减，从而f (x)max=f(0)=0. ③当0<号<2，即0<a<3时，fx)在[0，号]上单调 递减， _8-4a(0<a≤2)， 在[号2]上单调适增，从而九2m-{02a, 蜂上所老0m-侣么2 [例3][解]由题设知a≠0，否则f(x)=b为常函数，与 题设矛盾。 求导得f(x)=3ax2-12ax=3ax(x一4)， 令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). (1)当a>0,且x变化时，(x),f(x)的变化情况如下表： -1 (-1,0) (0,2) 2 f'(x) 0 一 f(x) -7a+b -16a+b 由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b,也就是函数在 [-1,2]上的最大值， .f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴.f(2)=-16a十3=-29，解得a=2. (2)当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值b, 也就是函数在[一1,2]上的最小值，∴.f(0)=b=一29.又 f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1),∴.f(2)=-16a-29=3,解 得a=-2. 综上可得，a=2,b=3或a=一2，b=-29. 变式训练 3.解析：(x)=2+a-2x2 2十2一a22”当x>a时， (x)<0,f(x)单调递减，当-√a<x<√a时，f(x)>0,f *网遥，当r=a时，f-8-9后-9<1. 1=3 不合题意.心fx)max=f1)=1十a-3,a=3-1. 答案√3-1 数学B版·选择性必修第三册 当堂达标 1.D[函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值，最值也 不一定是极值，极值一定不会在端，点处取得，而在[α，b] 上一定存在最大值和最小值.] 2.D[f(x)=6x2-12x-18,令f(x)=0,解得x1=-1, x2=3,f(3)=-61,f(1)=-29,f(4)=-47.所以所求 的最小值为一61.] 3.解析：当a一1时，最大值为4，不合题意；当一1<a<2 时，f(x)在[a,2]上是减函数，此时f(a)最大，所以一a2 -2a十3=只，解得a=-2或a=-是（合去）. 答案：-日 4.解：(1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, .f'(x)=3x2-2ax-4. (2)由f(-1)=0,得a=,此时有f(x)=(2-4) (-）fx)=3x2-x-4. 由f)=0得x=号我x=-1又f(学)=器-1D =号，f(-2)=0,f(2)=0,fx)在[-2,2]上的最大 值为号最小值为一职 第3课时利用导数解决与函数相关的问题 课堂互动学案 [例1证明令f)=nx+上(x>1,f(x)=士 x>1,f(x)>0, f()=lnx+1在(1，十∞)上单调递增，f(x)>f (1)=1n1+1=1. 从而hx十上>1，命题得运 变式训练 1.证明设f(x)=1+2x-e2x,则f(x)=2-2e2x=2(1- e2x),当x>0时，2x>0,2x>e0=1,.f(x)=2(1-e2x) <0,.函数f(x)=1十2x-e2x在(0，十o∞)上是减函数. 函数f(x)=1十2x-e2x是连续函数，.当x>0时，f (x)f(0)=0,.当x>0时，1+2x-e2x<0,即1+2x<e2x. [例2][解](1)f(x)=t(x+t)2-t十t-1(x∈R,t> 0),∴.当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g (t)=-3t2十3=0，得t=1或t=-1(不合题意，舍去). 当t变化时，g'(t),g(t)的变化情况如下表： (0,1) 1 (1,2) g'(t) 0 g(t) 极大值1一m ∴.g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m. h(t)<-2t十m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内 恒成立，即等价于1一m<0.m的取值范围为(1，十o). 。9 母题探究 1.[解]令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t+3t-1-m,由 g'(t)=-32+3=0,得t=1或t=-1(不合题意，舍去). 当t变化时，g'(t),g(t)的变化情况如下表： 0 (0,1) 1 (1,2) 2 g'(t) 0 g(t) -1-m 极大值1一m -3-m .g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈[0， 2],使h(t)<-2t十m成立，等价于g(t)的最小值g(2) <0. ∴.-3一m<0,.m>-3,所以实数m的取值范围为 (-3,十∞). 2.[解]，h(t)=-t3+t-1,t∈(0,2) .'(t)=-32+1 由0=0得：-停或1-得（会） 31 又当0<5时，()>0，当5<<2时，()<0. 3 3 4当-9时609+9-129 9 令p(t)=-2t+m,t∈(0,2)，.p(t)min>m-4. 由题意可知25-9≤m-4,即m≥25+3=25。十2☑ 9 9 9 ÷实数m的取值范国为[2十27十）】 变式训练 2.解：f(x)=x3-3x2-9x十c,f(x)=3x2-6.x-9. 当x变化时，∫(x),f(x)随x的变化如下表： x(-∞，-1) -1 (-1,3 3 (3,十00) f(x》 0 0 f() 递增 极大值c十递减极小值c一27 递增 而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,.当x∈[-2,6]时，f (x)的最大值为c十54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c十 54<2c|即可，当c≥0时，c+54<2c,.c>54;当c<0 时，c+54<-2c,∴.c<-18. .c∈(-o∞，-18)U(54,+o∞)，此即为参数c的取值 范围 [例3]解：(1)函数的定义域为x∈R. 因为f(x)=(x+1)'ex+(x十1)(er)'=ex+(x十1)ex= (x+2)e'. 令f(x)'=0,解得：x=-2. 当x变化时，f(x)'、f(x)的变化情况如表所示 (-∞，-2) -2 (一2，十∞) 0 + y 单调递减 单调递增 所以，f(x)在区间（一∞，一2）上单调递减，在区间（一2， 十∞)上单调递增. 当x=一2时，f(x)有极小值f(一2)= 1 e2