5.3.1 第1课时 等比数列的概念（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 5.3等比数列 5.3.1等比数列 第1课时 等比数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中， 意义 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心 2.体会等比数列与指数函数的关系， 素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二] 等比数列的通项公式 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下 1.等比数列的通项公式 面的数列： 以a1为首项，g为公比的等比数列{an}的通项公式 9,92,93,…,910 ① an= 2.等比数列与指数函数的关系 100,1002,1003,…,10010② 5,52,53,…,510 ③ 等比数列的通项公式可整理为a,=2·g,而y= 9 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世 不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那 a·g(g≠1)是一个不为0的常数与指数函数 么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 g的乘积，从图象上看，表示数列(·q》中的各 9 11111 2’4’816'32… ④ 项的点是函数y=2·g的图象上的 点 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从 第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2思考2.除了课本上采用的不完全归纳法，还能用 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 什么方法求数列的通项公式 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算 发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [预习自测] [知识点一]等比数列的概念 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 等比数列概念 打“√”，错误的打“X”. 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项 (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常 与它的 一项的 都等于 数，则该数列为等比数列. ( ) 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做 (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.( 等比数列的 ,通常用字母q表示(q≠0). (3)常数列一定为等比数列. ( ) (4)任何两个数都有等比中项， ?思考1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理 2.在等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于（) 解为“每相邻两项的比”吗？ A.4 B.8 C.16 D.32 3.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3=3a1十 2a2,则公比q= 19 数学B版·选择性必修第三册 课堂。互动学案 题型一等比数列的通项公式及应用 规律方法 [例1]在等比数列{an}中 等比数列中的设项方法与技巧 (1)已知a1=4,q=一2，求a5; (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a,aq, (2)已知a2=10,a5=80,求an ag或号aag (2)若四个数成等比数列，可设为a,aq,aq,aq; 若日个数均为正（负）数，可议为。，日，ag: ag ⊙[变式训练] 2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成 规律方法 等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第 1.等比数列的通项公式涉及4个量a1,am,n,q,只 二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这 四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要 求出这两个基本量，问题便迎刃而解 2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1,q的方程组，求出 a1,q后再求am,这是常规方法。 (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再 求a1,最后求am,这种方法带有一定的技巧 题型 等比数列的判断与证明 性，能简化运算。 [例3]已知数列的前n项和为S.=2+a,试判断 ◇[变式训练] {an}是否是等比数列. 1.在等比数列{an}中， [思路点拔了”"①如何由求和公式得通项公式？ (1)已知a1=4,q=-2,求a5; ②a1是否适合an=Sn一Sn-1(n≥2)？需要检验吗？ (2)已知a3=10,a5=80,求am 题型二 等比、等差数列的简单综合 [例2]数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三 [母题变式] 项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的 1.(变条件)将例题中的条件“Sn=2”十a”变为“Sn=2 和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个 一an”.求证数列{an}是等比数列. 数列. ·20· 第五章数列 2.(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn=2”十a”变 ⊙[变式训练] 为“a1=1,am+1=2an+1”证明数列{an+1}是等比 3.在数列{an}中，若a>0,且am+1=2an十3(n∈N). 数列，并求出数列{a}的通项公式 证明：数列{an十3}是等比数列. [当堂达标] 1.(多选)下列说法错误的是 A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是（一∞，十∞） C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比 为1 D.若b=ac,则a,b,c成等比数列 2.已知数列aa(1一a),a(1-a)2,…是等比数列，则 实数a的取值范围是 A.a≠1 B.a≠0且a≠1 C.a≠0 D.a≠0或a≠1 规律方法 3.已知a是1,2的等差中项，一1，b,一16成等比数 判断一个数列{an}是等比数列的方法 列，则ab等于 (1)定义法：若数列{a}满足2+1=q(g为常数且 4.已知数列{an}是首项为2，公差为一1的等差数列， a 令b.=（2) 1) ,求证数列{bn}是等比数列，并求其 不为零)或0”=q(n≥2,9为常数且不为零)，则 an-1 通项公式 数列{an}是等比数列. (2)等比中项法：对于数列{an},若a+1=an· am+2且an≠0，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an= a9(a1≠0，g≠0)，则数列{a}是等比数列. 第2课时等比数列的性质及应用 课程标准 素养解读 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应 逻辑推理的核心素养。 的问题， 2.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 算的核心素养。 ● 课前。预习学案 [知识梳理] ?思考1.当G=ab时，G一定是a,b的等比中 [知识点一]等比中项 项吗？ (1)条件：如果a,G,b成等比数列 (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项 (3)满足的关系式是 ·21·数学B版·选择性必修第三册 5.3等比数列 5.3.1等比数列 第1课时等比数到的概念 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.2前比同一公比 [思考] 1.[提示]不能 知识点二、l.aq”-12.孤立 [思考] 2.[提示]还可以用累乘法. 当心2时，2=q,21=q,…,2=q an-1 an-2 ∴.an=a1 .2.a32=1.0=a1q-1、 al a2 an-2 an-1 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2C[由于a4=af4=a1…2,a=2a2=ag= .1 X2=1a=ag=2×25=16∴aa6=1x16=16, 3.解析：因为a3=3a1十2a2,所以a1q2=3a1十2a1g.又a1≠0，所 以q2-2g-3=0.又q>0,解得q=3. 答案：3 课堂互动学案 [例1][解](1)由等比数列的通项公式得，a5=4×(-2)5-1 =64. (②)设等比数列的公比为g,那么219=10， (a1g=80, 解得9=2， la1=5. 所以an=a1gd-1=5X2m-1. 变式训练 1.[解](1)由等比数列的通项公式得，a5=4×(-2)5-1=64. (2)设等比数列的公比为g,那么419=10， 解得∫9=2， (a1g=80," (a1=5. 所以an=a1q”-1=5X2m-1. [例2][解]设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则 数列的各项依次为80,80 80,80+d,80+2d,于是得 80+(80+d)=136, 2 80 解方程组，得9=2，或9=3， +(80+2d)=132 d=16,d=-64, 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，一48. 变式训练 2.解法1：设这四个数依次为a-d,a,a十d,a十+d)2 a 于是得 a-d+a=16,解方程组，得 a (a+a+d=12, 8=4或0=9， 1d=4,{d=-6. 所以当a=4,d=4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a=9,d=一6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. ·7 解法2：设这四个数依次为2-。 a g a,- ,a,a9,于是得 2a-a+ag=16 ,a=3, 9 解方程组，得0=8”或01 a+a=12, 1g=2,19=31 所以当a=8,9=2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a=3,9=号时，所求的四个数为15,93,1 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. [例3][解]am=Sm-Sn-1=2m+a-2m-1-a=2m-1(n ≥2).当n≥2时n+1=2” am2n-7=2; 当n=1时，0m+1=2=2 an al 2+a 故当a=一1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比 为2；当a≠一1时，数列{an}不是等比数列. 母题变式 1.[证明]Sn=2-an,.Sn+1=2-an+1, .am+1=Sn+1-Sn=(2-am+1)-(2-an)=an-an+1, 1 六am+1=2a:又S1=2-a1, 1 a1=1≠0.又由am+1=2am知an≠0， 82=号a}是等地数列. an 2.[解]因为am+1=2am+1,所以am+1十1=2(am十1). 由a1=1,知a1十1≠0，从而am十1≠0. 所以+1+1=2(n∈N),所以数列(an十1}是等比 an+1 数列. 所以{an十1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比 数列， 所以an+1=2·2m-1=2",即am=2m-1. 变式训练 3.证明方法一定义法：an>0,∴.am十3>0. 又a+1=2an+3,.0m+1+3_2an+3+3_2(a,+3) am十3 an+3 an+3 =2 ∴数列{an十3}是首项为a1十3，公比为2的等比数列. 方法二等比中项法am>0,.am十3>0. 又an+1=2am十3，an+2=4an+9. .(am+2十3)(an十3)=(4an十12)(an十3)=(2an十6)2= (am+1+3)2. 即an十3，an+1十3，an+2十3成等比数列， .数列{an十3}是等比数列. 当堂达标 1.ABD[根据等比数列的定义可知，AB显然是错误的；对 于D,当b=a=0,c≠0时，虽有b2=ac,但a,b,c不成等 比数列，D错误；对于C,根据等比数列的定义可知正确.] 2.B[由a1≠0，q≠0，得，1-a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3解折：由题意a=1生2-号，乌-6=士46 ±6. 答案：士6 4.[解]依题意am=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是bn () 1 (合) -n “数列，是首项为子，公比为2的等北数列，通项公式 为bn=2m-3. 第2课时等比数列的性质及应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一、2.G=ab [思考] 1.[提示]不一定，如数列0,0,5就不是等比数列. 知识点二、a1g”-1an·q-m 知识点三、等比数列a+1q等比数列a% [思考] 2.[提示]由=0·g- ama1·gn-g-m∴a,=am‘g-m 知识点四、ap·ag积 知识点五、等比数列 [思考] 3.「提示]由定义可判断出(1)(3)(4)正确. 预习自测 1.(1)√(2)×(3)/ 2C[aas=a好=ag4aa=.] 3.解析：[设衰分比例为，则甲、乙、丙各分得28石，28石，28g 石28+28+284=98∴9=2或2又09<1,9=合.] 9 答案日 课堂互动学案 [例1](1)128[a3a5=a=4,又an>0,所以a4=2, a1a2a3a4a5a6a?=(a1·a7）·(a2·a6）·(a3·a5)·a4=af· a·af·a4=a=2=128.] (2)解析：在等比数列{an}中，由a4a7=一512得a3ag= 512,又a3十ag=124,解得a3=-4,ag=128或a3=-128,a8 =4,因为公比g为整数，所以g一√ag=√4 =-2,故am =-4×(-2)m-3=-(-2)”-1. 答案：-（一2）n-1 变式训练 1.B[由等比数列的性质可知，a12,a18,a24,a30,a36成等比数 列，且218=2=g5,故a36=a18‘q8=8×23=64.] a12 2.D[{an}为等比数列，∴a1a2ag,a4a5a6,azagag也成等比 数列，∴.(a4a5a6)2=(a1a2a3）·(a7agag)=5X10,又{an}各项 均为正数，.a4a5a6=5√瓦.] [例2][解](1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设 为：a1,a2a3,,an,由题意，得a1=10,a2=10×(1-10%), ·7 参考答案 a3=10(1一10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比 数列，首项a1=10, 公比q=1-10%=0.9,所以an=a1·q-1=10X0.9”-1.所 以第n年车的价值为am=10×0.9-1万元. (2)当他用满3年时，车的价值为a4=10×0.94-1=7.29(万 元) 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元. 变式训练 3.解析：记该糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,au,….则 依题意可得a1=5,a1=1,2(m≥2且n∈N*),从而a,=5 an-1 ×1.21-1,这里an=30,故1.2m-1=6,即n-1=1og1.26= 品品合得0版故1=11即从2021年开始，篷指厂年 制糖量开始超过30万吨. [例3][解](1)因为Sn=2am十n-4,所以当n=1时，S1= 2a1十1-4，解得a1=3. (2)证明：因为Sn=2an十n-4,所以当n≥2时，Sn-1=2an-1 +(n-1)-4,Sn-Sm-1=(2an+n-4)-(2au-1+n-5),即 an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以 bn=2b-1,且b1=a1-1=2≠0，所以数列{6n}是以b1=2为 首项，2为公比的等比数列 母题变式 [证明]an+2=Sn+2-S+1=4am+1+2-4an一2 =4an+1-4am bn+1_am+2-2an+1_（4am+1-4am)-2an+1_2an+1-4am an+1-2an an+1-2an an+1-2an =2. 所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2一2a1. 因为S2=a1十a2=4a1十2，所以a2=5,所以b1=a2-2a1 =3. 所以bn=3·2n-1. 变式训练 4.[解]由已知得a品+1-a,n+1-2a品=0，所以(an+1-2an) (an+1十an)=0. 所以an+1-2an=0或an+1十an=0, (1)当a4+1-2an=0时，0+1=2.又a1=1,所以数列{an}是 an 首项为1，公比为2的等比数列.所以an=2n-1 (2)当a+1十a.=0时，%2=-1，又a1=1,所以教列{a}是 an 首项为1，公比为一1的等比数列， 所以a=1X(-1y1=(-1)”1.综上n=21或a,=(-1y1. 当堂达标 1.AC[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an-an+1}不 是等比数列；当=0时，数列{kan}不是等比数列，而{anI} 和1}一定是等比数列] lan 2.B[设经过第n轮传染，感染人数为an,经过第一轮感 染后，a1=1十3=4，经过第二轮感染后，a2=4十4X3= 16,于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比 数列，所以经过第n轮传染，感染人数为an=4",当an≥