第十章 课时分层评价50 古典概型-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价50　古典概型 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是3的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：可能出现的点数有1，2，3，4，5，6，共6种，则出现的点数是3的概率为.故选D. 2.有3个兴趣小组，甲、乙两人各自只参加其中一个，每位同学参加各小组的可能性相同，则这两位同学不在同一兴趣小组的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设小组的编号为1，2，3，甲、乙两人各自只参加其中一个，可能结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种，其中两位同学不在同一兴趣小组的为(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共6种，所以两位同学不在同一兴趣小组的概率为＝.故选B. 3.从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则它们过正六边形中心的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF共3条，所以连线过正六边形中心的概率为＝.故选D. 4.从2，3，5，7这四个数中任取三个数，组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意可知，这个数可能为235，237，253，257，273，275，325，327，352，357，372，375，523，527，532，537，572，573，723，725，732，735，752，753，共24种情况，其中奇数有18种情况，故这个三位数是奇数的概率为.故选C. 5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：不超过12的素数有2，3，5，7，11，共5个，从中随机选取两个共有10个样本点：(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(5，7)，(5，11)，(7，11)，其中和为奇数的为(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，共4个样本点，所以和为奇数的概率为＝.故选B. 6.(多选)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b＝7时的概率为 B.≥2时的概率为 C.ab＝6时的概率为 D.a＋b是6的倍数的概率是 答案：CD 解析：先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足a＋b＝7的情形有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，故P＝＝，故A错误；满足≥2的情形有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，故P＝＝，故B错误；满足ab＝6的情形有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，故P＝＝，故C正确；满足a＋b是6的倍数的情形有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，故a＋b是6的倍数的概率是，故D正确.故选CD. 7.从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为　　　　. 答案： 解析：将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，则样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共包含10个样本点.记事件A为“至少有1名女性志愿者参加”，则A＝{(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，事件A包含的样本点个数为7，所以P(A)＝. 8.从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数b，则向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)垂直的概率为　　　　. 答案： 解析：依题意，向量m＝(b，a)的不同结果有(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，0)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(6，0)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共12个.由m·n＝－b＋2a＝0，得b＝2a，则m⊥n包含的结果有(4，2)，(6，3)，共2个，所以向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)垂直的概率P＝＝. 9.从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　　　　，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　　　　. 答案：　 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个.因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率为.从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率为. 10.(13分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如表所示： 类别 A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78 m以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率. 解：(1)由题意知，从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，这一试验E的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型. 设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78 m以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，所以P(M)＝＝. (2)从该小组同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型. 设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.故选C. 12.(多选)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则(　　) A.甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种 B.甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为 C.甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为 D.甲、乙两人在不同的车站下车的概率为 答案：ABD 解析：对于A，甲下车的情况有第2号站，第3号站，第4号站，共3种，同理可得，乙下车的情况也是3种，由题意，甲、乙两人下车共有3×3＝9种结果，故A正确；对于B，甲、乙两人同时在第2号站下车的情况数为1，由题意，下车的情况发生是等可能的，则概率为，故B正确；对于C，甲、乙两人同时在第4号站下车的情况数为1，由题意，下车的情况发生是等可能的，则概率为，故C错误；对于D，甲、乙两人在相同车站下车的情况数为3，则在不同车站下车的情况数为9－3＝6，即概率为＝，故D正确.故选ABD. 13.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0，1，2，3这四个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是　　　　. 答案： 解析：因为关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有解，所以Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2.由题知a是从0，1，2，3中任取的一个数，b是从0，1，2中任取的一个数，故总共有12个样本点.当a＝0，b＝0；a＝1，b＝0，1；a＝2，b＝0，1，2；a＝3，b＝0，1，2时满足a2≥b2，所以方程有实数根的情况有9种，故方程有实数根的概率为＝. 14.(15分)有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上.现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座. (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率. 解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来. 由图可知，所有的等可能样本点共有24个. (1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M只包含1个样本点， 所以P＝. (2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N只包含9个样本点，所以P＝＝. (3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”，则事件S只包含8个样本点，所以P＝＝. 15.(5分)某生物的一种遗传病受A/a，B/b两对等位基因的影响，每种基因出现的可能性相同，即AABB，aABB，…，aabb共16种情况出现的概率相等，只有当A，B同时出现时不会患该遗传病，则该病的患病率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题可知，每种基因出现的情况符合古典概型，共有AABB，aABB，AaBB，aaBB，AABb，aABb，AaBb，aaBb，AAbB，aAbB，AabB，aabB，AAbb，aAbb，Aabb，aabb，16种情况，患病即A，B不同时出现，符合的情况有aaBB，aaBb，aabB，AAbb，aAbb，Aabb，aabb，共7种，故该病的患病率为.故选A. 16.(17分)已知关于x的二次函数f＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组(a，b). (1)列举出数组(a，b)对应的样本空间，并求函数y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率. 解：(1)样本空间Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共15个样本点. 函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0， 满足条件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点. 所以y＝f(x)有零点的概率P1＝＝. (2)因为a＞0，函数y＝f(x)图象对称轴为直线x＝，由函数在区间[1，＋∞)上单调递增，有≤1， 满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13个样本点. 所以y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率P2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $