8.2 一元线性回归模型及其应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 5.解：由题意知，利用计算工具可得z=品×(120+108+ 117+104+103+110+104+105+99+108)=107.8, y=0×(84+64+84+68+69+68+69+46+57+71) =68, 4=16584,好=47384,2，=73796 所以样本相关系数 73796-10×107.8×68 ≈0.7506. √116584-10×107.82/47384-10×682 |r>0.75,故我们可以认为y与x之间具有较强的线性 相关关系 即这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关， 8.2一元线性回恤模型及其应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一 因变量响应变量解释随机误差 [思考] 1.提示：不能 知识点二 2.bx+a3.(2)b>0(3)增大6 [思考] 2提示：表示x每增加1个单位时，y的变化量，即x每增 加1个单位时，心相应地平均增加个单位 3.提示：当>0时，y与x正相关，反之也成立，同理<0 是y与x负相关的充要条件. 预习自测 1.提示：(1)×经验回归方程一定过点（元，y),可能过样本 点中的某个或某些点，也可能不过样本中的任意一个，点 (2)×选取一组数据中的部分，点得到的经验回归方程 与由整组数据得到的经验回归方程不一定是同一个 方程. (3)/ (4)×在画两个变量的散，点图时，解释变量在x轴上， 响应变量在y轴上。 2.C[y=0.8×10+2+e:=10+e:, 因为e:|<0.5,所以9.5<y<10.5] ·15 数学·选择性必修第三册 3.解析：把x=80代入经验回归方程可得其预测值y=5X 80+250=650(kg). 答案：650 课堂互动学案 [例1]解：(1)散点图如图所示 ty 50 40 30 20 020406080100120x (2)从散，点图中，我们可以看出y与x的样本，点分布在一 条直线附近，因而求经验回归直线方程有意义， =品×5+10+15+…+120-0， y=×(6+10+10+…+46)-2普， 111 2x:=5×6+10X10+15×10+…+120X46 13910, z2=52+102+152+…+1202=3675 所以6=名：一11y 13910-11X510×214 1111 36750-11× 5102 11 ≈0.304 a=y-6a=2-0.304×0-5.36. 11 故腐蚀深度与腐蚀时间之间的经验回归方程为y= 0.304x+5.36. (3)根据(2)中求得的经验回归方程，当腐蚀时间为100s 时，y=5.36+0.304×100=35.76(m),即腐蚀时间为 100s时腐蚀深度为35.764m. 变式训练 1.解：(1)在坐标系中描出点(2,7)，(3,8)，(5,9)，(6,12)，散 点图如图 ty 12 10 987 6 4 1 012345678910x 参考答案 (2z=2+3+5+6-=4,y=7+8+9+12=9, 4 4 含x8:=14+24+45+72=155, 2导=4+9+25+36=74， :6=155-144=1.1,a=9-1.1×4=4.6, 74-64 ∴.要求的经验回归方程为y=1.1x十4.6. (3)当x=9时，y=1.1×9+4.6=14.5. 故当销售为9吨时，估计销售收入为14.5万元. [例2]ABC[当x=170时，y=0.85×170-85.71= 58.79,体重的估计值为58.79kg,故D错误，ABC均 正确.] 变式训练 2.(1)C[代入方程计算可判断①②④正确.] (2)B[·点(，y)在回归直线上， 计算得工=0+1+3+4=2， 4 y=2.2+4.3+4.8+6.7=4.5, 4 ∴.4.5=0.95×2+a,.a=2.6.] [例3]解：(1)作出该运动员训练次数x与成绩Y的散点 图，如图所示.由散点图可知，它们之间具有相关关系. Y 60 50 40 30 20 10 0102030405060x (2)x=39.25,y=40.875,2x号=12656， 含x9=13180, 所以68z ≈1.0415， 24-8r2 a=y-ix=-0.003875, 所以经验回归方程为y=1.0415x-0.003875. (3)残差分析：下面的表格列出了运动员训练次数和成绩 的原始数据以及相应的残差数据. ·15 五维课堂型 e 30 30 -1.2411 33 34 -0.3656 35 37 0.5514 37 39 0.4684 39 42 1.3854 44 46 0.1779 46 48 0.0949 50 51 -1.0711 作残差图如图所示 1残差 1.5 1 0.5 2 0 -0.5 46 810编号 -1-。- -1.5 由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，说 明选择的模型比较合适」 (4)计算R2≈0.9855，说明了该运动员的训练次数对成 绩的影响占98.55%. 变式训练 3.解：(1)散点图如图. Y 12 086 2 05101520253035元 1×(5+10+15+20+25+30)=17.5, x= y=日×.25+8.12+8.95+9.90+10.9+1.8) ≈9.487，计算得i≈0.183，a≈6.285. 故所求经验回归方程为y=6.285十0.183x. (2)列出残差表为 y:-y: 0.05 0.005 -0.08-0.0450.04 0.025 y:-y-2.237 -1.367-0.5370.4131.4132.313 所以2(0y-)2≈0.01318,2(：-)2=14.6783. i=1 =1 世五维课堂 所以R3=1一20,991，日归模型的报合发果 较好 (3)由残差表中的数值可以看出第3个样本，点的残差比 较大，需要确认在采集这个样本，点的时候是否有人为的 错误，如果有的话，需要纠正，重新建立回归模型；由表中 数据可以看出残差点比较均匀地落在狭窄的水平带状区 域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析 可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系. [例4幻解：(1)由散点图可以判断，y=c十a反适宜作为年 销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. (2)令w=√，先建立y关于心的线性经验回归方程.由 于 2=含w-)09-”108.3=68,=y-aw=563 含u,-02 1.6 68×6.8=100.6, 所以y关于的线性经验回归方程为y=100.6十68， 因此y关于x的经验回归方程为y=100.6十68√：. (3)①由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值 y=100.6+68√49=576.6， 年利润之的预报值之=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知，年利润之的预报值之=0.2×(100. 6+68√x)一x=一x+13.6×√x+20.12.所以当√x= 13,6=6.8,即r=46.24时，2取得最大值 2 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大 变式训练 4.解：(1)y=alnx十c更适合刻画x,y之间的关系.理由： 由题表中的数据可知，x的值每增加1，函数值y的增加 量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，符合对数函数模 型的增长规律，与一元线性回归模型的均匀增长存在较 大差异，故y=dlnx十c更适合刻画x,y之间的关系. (2)令之=1nx,由题意得y=5+12+16+19+21 5 814.6所以a二1一9-5x0.96X 5 好-5 6.2-5×0.962 =10,c=y-a·z≈14.6-10X0.96=5,所以y关于x 的回归方程为y=10lnx十5. 当x=6时，日销售额为10ln6+5≈23（万元）. ·15 数学·选择性必修第三册 当堂达标 1.A[因为y与x负相关，所以排除B,D,又因为C项中，x> 0时，y<0不合题意，所以C错.] 2.C[残差，点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合 精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R2的值 越大.门 3D[由散点图可以看出，随着温度x的增加，发芽率y增 加到一定程度后，变化率越来越慢，符合对数型函数的图 象特征.] 4.解析：当y=7.675时，x≈9.262， 所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 7.675×100%≈82.9%. 9.262 答案：82.9% 5.解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图. ↑y(能耗：吨标准煤) 4.5 2.5 0 3456x(产量：吨) (2)由对照数据，计算得：2x=86, x=3+4+5+6-=4.5,y=2.5+3+4+4.5=3.5, 4 4 已知2xy:=66.5, 所以，由最小二乘法确定的经验回归方程的系数为 g-含xy1—4xy66.5-4×4.5×35=0.7 x-4x2 86-4×4.52 a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35. 因此，所求的经验回归方程为y=0.7x十0.35. (3)由(2)的经验回归方程及技改前生产100吨甲产品的 生产能耗，得降低的生产能耗为90一(0.7×100+0.35) =19.65(吨标准煤). 8.3列联表与独立性检验 课前预习学案 知识梳理 知识点二 2.P(Y-0)-atc P(X-1)=c+d P(X-=1,Y=0)=斤P(X=1IY=0)-a千e 2世五维课堂 数学·选择性必修第三册 8.2一元线性回归模型及其应用 课程标准 素养解读 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模1.通过一元线性回归模型的分析， 型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性 培养数学抽象，逻辑推理素养。 回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统2.通过求经验回归方程、残差和决 计软件。 定系数，提升数学运算，数据分析 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 素养. 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]最小二乘法与经验回归方程 如果刑警在案发现场提取 1.最小二乘法 到罪犯的脚印，那将获得一条 y=bx十a称为y关于x的经验回归方程， 重要的破案线索，你能说明一 也称经验回归函数或经验回归公式，其图形 下其中的原因吗？ 称为经验回归直线.这种求经验回归方程的 [知识梳理] 方法叫做最小二乘法，求得的，a叫做b,a [知识点一]一元线性回归模型 的最小二乘估计. 一元线性回归模型的完整表达式为 2.经验回归方程的系数计算公式 Y=bx+a十e, 经验回 a的计 其中Y称为 E(e)=0,D(e)=o, 的计算公式 归方程 算公式 或 ,x称为自变量或 b= .-0- 变量；a,b为模型的未知参数，e是Y与 bx十a之间的 y 含x- a=y-bx 2思考1.具有相关关系的两个变量，其样本 x:一ny =1 点散布在某一条直线y=bx十a的附近，可 以用一次函数y=bx十a来描述这两个变 量之间的关系吗？ 3.经验回归方程的性质 (1)经验回归方程一定过点(x,y); (2)一次函数y=x十a的单调性由的符号 决定，函数递增的充要条件是 (3)石的实际意义：当x增大一个单位时，y 个单位. ·92· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂兰 ?思考2.经验回归方程y=a十ix中6的实 [预习自测] 际意义是什么？ 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）。 (1)经验回归方程一定过样本中的某一个点. () (2)选取一组数据中的部分点得到的经验回 归方程与由整组数据得到的经验回归方程 3.y与x正负相关的充要条件分别是什么？ 是同一个方程. () (3)在经验回归模型中，R2越接近于1，表示 解释变量和响应变量的线性相关性越强 ( (4)在画两个变量的散点图时，响应变量在 x轴上，解释变量在y轴上 ( ) 2.若某地财政收入x与支出y满足经验回归 方程y=x+a+e:(单位：亿元)(i=1,2, …),其中=0.8，a=2,|e1|<0.5,如果今 [知识点三]残差 年该地区财政收入10亿元，年支出预计不 1.残差：对于响应变量Y,通过观测得到的数 会超过 () 据称为观测值，通过经验回归方程得到的y B.9亿元 称为预测值，观测值减去预测值称为残差. A.10亿元 C.10.5亿元 D.9.5亿元 2.决定系数：R2=1 越接近1，表 3.若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的经验 (y-) 回归方程为y=5x+250,当施肥量为80kg =1 示回归的效果越好 时，预计水稻产量约为 kg. 课堂。互动学案 题型 求经验回归方程 汇思路点拨]根据求经验回归方程的方法 [例1]在某种产品表面进行腐蚀刻线试验， 求解 得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组 观察值如下表， x(s) 5 1015 20304050607090120 y(um) 610101316171923252946 (1)画出散点图； (2)求y与x之间的经验回归方程； (3)利用经验回归方程预测时间为100s时 腐蚀深度为多少 ·93· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 题型三】 经验回归方程的性质及应用 1.求经验回归方程前应注意的问题 [例2]（多选）设某大学的女生体重y(单位： 对于性质不明确的两组数据，要先作散点 kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系， 图，从图中看它们有无线性相关关系，有 根据一组样本数据(x:,y)(i=1,2,…,n), 相关关系的求出的经验回归方程才有实 用最小二乘法建立的经验回归方程为y= 际意义. 0.85x一85.71，则下列结论中正确的是 2.求经验回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(x:,y:)(i=1,2, …,n) A.y与x具有线性相关关系，且二者正相关 (2)作出散点图，确定x,y具有线性相关 B.回归直线过样本点中心(x,y) 关系 C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体 重约增加0.85kg (4)代入公式计算，a, D.若该大学某女生身高为170cm,则可断 定其体重必为58.79kg 2t-ni3 = 汇思路点拨了“根据经验回归直线方程的性 公式为 2x2-n2 质逐一判断. a=y-bx. 规律方法 (5)写出经验回归方程y=x十a. 1.相关关系的正、负相关类同于函数的增、 ⊙[变式训练] 1.下表是某种产品销售收入与销售量之间的 减性，与其斜率有关，必要时可画散点图 组数据： 以增强直观性， 2.由经验回归方程得出的函数值不一定是 销售量x(吨) 2 3 5 6 准确值，只是个估计值. 销售收人y(万元) 7 8 9 12 ◇[变式训练] (1)画出散点图； 2.(1)工人月工资y(单位：元)关于劳动生产 (2)求出经验回归方程； 率x(单位：千元)的经验回归方程为y=650 (3)根据经验回归方程估计销售量为9吨时 的销售收入 十80x,下列说法中正确的个数是() ①劳动生产率为1000元时，工资约为 730元； ②劳动生产率提高1000元，则工资约提高 80元； ③劳动生产率提高1000元，则工资约提高 730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为 2000元. A.1 B.2 C.3 D.4 ·94· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂兰 (2)已知x,y的取值如下表： 规律方法 x 0 1 3 41 “R2、残差图”在回归分析中的作用 2 2.2 4.3 4.8 6.7 1.R是用来刻画回归效果的，由R2=1 若从散点图可以看出y与x线性相关，且经验 2- 可知R越大，意味着残差平 回归方程为y=0.95.x十a,则a等于( 含- A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0 方和越小，也就是说模型的拟合效果就 题型三 线性检验回归分析 越好 [例3]某运动员训练次数与训练成绩之间 2.残差图也是用来刻画回归效果的，判断依 的数据关系如表： 据是：残差点比较均匀地分布在水平带状 次数(x) 30 33 35 37 39 44 46 50 区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精 成绩(y) 30 34 37 39 42 46 48 51 度越高，回归方程预报精度越高。 (1)作出散点图： ⊙[变式训练] (2)求出经验回归方程； 3.为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位： (3)作出残差图； cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测 (4)计算R,并说明运动员的训练次数对成 量，数据如表所示： 绩的影响占百分之几： 5 10 15 20 25 30 [思路点拨]依据概念先求经验回归方 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 程，再依据公式求决定系数R. (1)作出散点图并求经验回归方程； (2)求出R并说明回归模型拟合的程度； (3)进行残差分析. ·95· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型四】 非线性经验回归问题 ①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的 [例4幻某公司为确定下一年度投人某种产品的 预报值是多少？ 宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销 ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值 售量y(单位：t)和年利润x(单位：千元)的影 最大？ 响，对近8年的年宣传费x:和年销售量y,(i= 附：对于一组数据(u1,01),(u2,02),…,(un, 1,2,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的 vn),其回归直线=a十Bu的斜率和截距的 散点图及一些统计量的值. 最小二乘估计分别为： y B之，Cu:）Cu:四 620 ;a-v-Bu. 600 580 含u-w 560 汇思路点拨] 540 520 500 由样本点画 找出拟合 转化为线性回 03638404244464850525456x 出散点图 函数曲线 归模型解题 年宣传费/千元 46.6 y 563 U 6.8 含 289.8 喜(w-w 1.6 2xg少 1469 规律方法 (-)(y:-y) 108.8 1.非线性回归问题的处理方法 (1)指数型函数y=e+a类 ①函数y=ec+a的图象，如图1. (1)根据散点图判断：y=a+bx与y=c十 a√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣 传费x的回归方程类型？（给出判断即可， 不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 图1 关于x的回归方程； ②处理方法：两边取对数得lny=lne+a， (3)已知这种产品的年利润之与x、y的关系 即lny=bx十a.令之=lny,把原始数据 为文=0.2y一x.根据(2)的结果回答下列 (x,y)转化为(x,之)，再根据求解线性回 问题； 归模型的方法求出a,b. ·96· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂型 (2)对数型函数y=lnx十a类 ®[变式训练] ①函数y=blnx十a的图象，如图2. 4.某工厂每日生产一种产品x(x≥1)吨，每日 生产的该产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量的变化而有所变 化，经过一段时间的产销，得到了x,y的一 组统计数据，如下表： 图2 ②处理方法：设x'=lnx,原方程可化为 日产量x(吨) 1 2 3 5 y=bx十a,再根据求解线性回归模型的 日销售额 5 12 16 19 21 方法求出a,b. y(万元) (3)函数y=bx2+a类 (1)请判断y=bx十a与y=alnx十c中哪 处理方法：设x'=x2,原方程可化为y= 个模型更适合刻画x,y之间的关系，并从函 bx'十a,再根据求解线性回归模型的方 数增长趋势方面给出简单的理由； 法求出a,b. (2)根据你的判断及下面的公式和数据，求 2.解非线性回归分析问题的一般步骤 出y关于x的回归方程，并估计当日产量为 有些非线性回归分析问题并不给出函 6吨时，日销售额是多少.（结果保留整数） 数，这时我们可以根据已知数据画出 参数公式：经验回归方程y=ix十a中， 散点图，与学过的各种函数（暴函数、 指数函数、对数函数等)的图象进行比 6之cy:一x ,a=y-6x. 较，挑选一种跟这些散点拟合得最好 的函数，用适当的变量进行变换，把问 题转化为线性回归分析问题，使之得 到解决 一般步骤为： 画散 点图 根据原始数据(x,)画出散点图 选拟 合函数 根据散点图，选择恰当的拟合函数 变 进行恰当的变换， 转化成线性函数 求解 求经验回归方程 变 通过相应的变换，即可得非线性 还原 回归方程 说明：由于涉及的数据比较多，考虑到 可操作性，考试时往往会给出散点图， 或将画散点图这一步骤省略，只需要选 一些数据，画一下草图，作出判断即可， 并且相关数据都会直接给出， ·97· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 [当堂达标] 5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 1.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件) 甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的 负相关，则其经验回归方程可能是( 生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. A.y=-10x+200 B.y=10x+200 3 4 5 6 C.y=-10x-200 D.y=10x-200 y 2.5 3 4 4.5 2.关于残差图的描述错误的是 () A.残差图的横坐标可以是样本编号 (1)请画出上表数据的散点图； B.残差图的横坐标也可以是解释变量或预 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法 报变量 求出y关于x的经验回归方程y=x十a; C.残差点分布的带状区域的宽度越窄相关 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能 指数越小 耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的经验回 归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗 D.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差 平方和越小 比技改前降低多少吨标准煤？ 3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子 (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5 的发芽率y和温度x（单位：℃)的关系，在 =66.5) 20个不同的温度条件下进行种子发芽实 验，由实验数据(x:,y:)(i=1,2,…,20)得到 散点图如图所示， 100% 80% 菩60% 440% 20% 0 0 10 20 30 40温度/℃ 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个 回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温 度x的回归方程类型的是 () A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+be D.y=a+bln x 4.某人对一地区人均工资x(千元)与该地区 人均消费y(千元)进行统计调查，发现y与 x有相关关系，并得到经验回归方程y= 0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为 7.675千元，则估计该地区的人均消费额占 C温蓉提今 人均工资收入的百分比约为 .(精 学习至此，请完成配套训练 确到0.1%) ·98·