8.1 成对数据的统计相关性（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 所以5(X0=0Xg+2X号+4×号-智=号， Dx0=(0-)x言+(2-)x号+(4-)‘× 是-盟-子，乙同学第1题得分y可能的取住为：05， P,-0-t840-1'-音PY-5》-得-吉 C 乙同学第12题得分Y2可能的取值为：0,2，P(Y2=0)= 股-号宁，P0-0-得-号-安2月华的两题 得分Y可能的取值为：0,2,5,7， PY=0)=PY=0·PY,=0)=号x-最 PY=2)=PY,=o·PY,=)=吾×7-0： PY=5)=PY,=5·PY,=0)=言×号-z PY=)=P=)·PY=2》=日×号-2 所以Y的分布列为： 0 2 5 7 5 1 12 121212 所以B0=0×+2+5×+7×是-10++ 12 -器- 答案：1日 (2)D(X)-子，EY)-号 6 [例5]C[依题意可知=100，o=10,记本次数学测试成 绩为随机变量X,由于P(μ一2a<X≤μ十2a)≈0.9545， 所以P(80<X120)≈0.9545，因此本次数学测试成绩 在120分以上的学生约有20000×1-0.，9545-455（人）.] 2 变式训练 4.D[由题意，可知μ=60.5，o=2,故P(58.5<x≤62.5) =P(μ一σ<X≤μ十σ)≈68.3%，从而属于正常情况的人 数是1000×68.3%=683.] ·14 数学·选择性必修第三册 第八章成对数据的统计分折 8.1成对数据的统计相吴性 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.确定精确地决定2.直角坐标系3.增加的趋势减 少的趋势4.一条直线 [思考] 1.提示：相关关系与函数关系辨析 分类 函数关系 相关关系 变量之间确实有一 变量之间的关 定的关系，但没有达 系具有确定性， 到可以互相决定的 特征 当一个变量确 程度，它们之间的关 定后，另一个变 系带有一定的随 量就确定了 机性 2.提示：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而 言的 知识点二 1.线性相关程度的强弱2.(1)r>0r<0(2)弱强 (3)一条确定的直线 [思考] 3.提示：r越小，两个变量之间的线性相关性越弱；|r|越 大，两个变量之间的线性相关性越强， 预习自测 1.提示：(1)×两个变量的相关关系不是一种确定的关 系，是一种随机关系 (2)×相关系数越接近1，线性相关程度越强；越 接近0，线性相关程度越弱。 (3)×存在相关关系的两个变量，当一个变量增加时， 另一个变量的相应值呈减少的趋势，则称这两个变量负 相关. (4) 2.C[判断两个变量是否有线性相关关系时，应先画出散 点图.若这些点大体分布在一条直线附近则具有线性相 关关系.] 8 参考答案 3.A[相关系数r<0时，成对数据负相关，且x越大，两 个变量之间的线性相关程度越强.] 课堂互动学案 [例1]（1)解析：在①中，扇形的半径与面积之间的关系是 函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严 格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系； 在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系。 答案：②④ (2)解：①散点图如图 水稻产量 500 ●●● 400 ● 300 200 100 05101520253035404550施化肥量 ②从图中可以发现当施化肥量由小到大变化时，水稻产 量由小变大，图中的散，点大致分布在一条直线的附近，因 此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系.结合实际 可知，水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加 而增长。 变式训练 1.(1)C[①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关 关系.] (2)解：①图略.②由散点图可知，变量x和y之间有线 性相关关系 ③不赞成.父亲的身高与儿子的身高是相关关系，不是确 定关系 [例2]解：(1)散点图如图所示： 1右手长度(cm) 24 23 22 20 19 0168170172174176178180182身高(cm) 可见，身高与右手长度之间的总体趋势为一条直线，即它 们线性相关， ·14 五维课堂型 (2)根据以上数据可由计算器计算得x=174.8,y=21.7, 2f=305730,2f=4729.5,2xw=37986. x:-10zy -1 √3x2-102)(22-102) 37986-10×174.8×21.7 √(305730-10×174.82)(4729.5-10×21.72) 54.4 ≈0.9 √179.6×20.6 故两者有很强的线性相关关系。 变式训练 2.解：画散点图（图略），观察散点图，可以看出样本，点都集 中在一条直线附近，由此判断y与x线性相关 x-7×(21+23+25+27+29+32+35)≈27.4， y-7×(7+1+21+24+66+15+325)≈81.3， 2=212+232+252+272+292+32+352=5414， 2x=21X7+23X1+25×21+27X24+29X66+32 ×115+35×325=18542. 232=72+12+212+242+62+152+3252=124393. 多x9,-7z 所以r √②号-2)2好- 18542-7×27.4×81.3 √(5414-7×27.42)×(124393-7×81.32) ≈2948.66≈0.8375. 3520.92 所以y与x具有很强的线性相关关系. 当堂达标 1.AC[汽车的重量越大，百公里耗油量会越多.在合适的 范围内，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多.A、C 是相关关系.B是函数关系.D中家庭经济条件与学生的 学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系.] 2.D[r的绝对值越接近1，相关性越强，故选D.] 3.C[对变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量 Y与X正相关，即r1>0;对变量U与V而言，V随U的 增大而减小，故变量V与U负相关，即r2<0.故T2<0 <r1.] 4.D[当散点图中的，点分布在一条直线附近时，样本数据 有较强的线性相关关系，可知应去掉D组数据.] 9 世五维课堂 5.解：由题意知，利用计算工具可得z=品×(120+108+ 117+104+103+110+104+105+99+108)=107.8, y=0×(84+64+84+68+69+68+69+46+57+71) =68, 4=16584,好=47384,2，=73796 所以样本相关系数 73796-10×107.8×68 ≈0.7506. √116584-10×107.82/47384-10×682 |r>0.75,故我们可以认为y与x之间具有较强的线性 相关关系 即这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关， 8.2一元线性回恤模型及其应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一 因变量响应变量解释随机误差 [思考] 1.提示：不能 知识点二 2.bx+a3.(2)b>0(3)增大6 [思考] 2提示：表示x每增加1个单位时，y的变化量，即x每增 加1个单位时，心相应地平均增加个单位 3.提示：当>0时，y与x正相关，反之也成立，同理<0 是y与x负相关的充要条件. 预习自测 1.提示：(1)×经验回归方程一定过点（元，y),可能过样本 点中的某个或某些点，也可能不过样本中的任意一个，点 (2)×选取一组数据中的部分，点得到的经验回归方程 与由整组数据得到的经验回归方程不一定是同一个 方程. (3)/ (4)×在画两个变量的散，点图时，解释变量在x轴上， 响应变量在y轴上。 2.C[y=0.8×10+2+e:=10+e:, 因为e:|<0.5,所以9.5<y<10.5] ·15 数学·选择性必修第三册 3.解析：把x=80代入经验回归方程可得其预测值y=5X 80+250=650(kg). 答案：650 课堂互动学案 [例1]解：(1)散点图如图所示 ty 50 40 30 20 020406080100120x (2)从散，点图中，我们可以看出y与x的样本，点分布在一 条直线附近，因而求经验回归直线方程有意义， =品×5+10+15+…+120-0， y=×(6+10+10+…+46)-2普， 111 2x:=5×6+10X10+15×10+…+120X46 13910, z2=52+102+152+…+1202=3675 所以6=名：一11y 13910-11X510×214 1111 36750-11× 5102 11 ≈0.304 a=y-6a=2-0.304×0-5.36. 11 故腐蚀深度与腐蚀时间之间的经验回归方程为y= 0.304x+5.36. (3)根据(2)中求得的经验回归方程，当腐蚀时间为100s 时，y=5.36+0.304×100=35.76(m),即腐蚀时间为 100s时腐蚀深度为35.764m. 变式训练 1.解：(1)在坐标系中描出点(2,7)，(3,8)，(5,9)，(6,12)，散 点图如图 ty 12 10 987 6 4 1 012345678910x世五维课堂 数学·选择性必修第三册 第几章 成对数据的统计分析 8.1成对数据的统计相吴性 课程标准 素养解读 1.了解变量间的相关关系 1.通过相关关系的判断，提升数 2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系 学建模与直观想象素养 3.能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，2.通过学习相关系数，培养数学 从而判断回归直线方程拟合的效果 运算的素养 课前。预习学案 [情境引入] 3.正相关与负相关 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你 正相关 负相关 的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什 么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成 当一个变量的值增加 当一个变量的值 绩与数学成绩之间存在着某种关系.我们把数 增加时，另一个变 时，另一个变量的相应 量的相应值呈现 学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两 值也呈现 个变量之间的关系是函数关系吗？这两个变 量之间相关关系如何？ 问题：什么是相关系数，如何计算，它有什么 4.线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关 作用？ 或负相关，而且散点落在 [知识梳理] 附近，则称这两个变量线性相关， [知识点一]变量的相关关系 ?思考1.相关关系与函数关系有什么区别 1.两个变量的关系 和联系？ 分类 函数关系 相关关系 两个变量有关系，但 两变量有 又没有确切到可由 2.正相关与负相关是对所有具有相关关系的 特征 的关系 其中一个去 两个变量而言的，对吗？ 另一个的程度 2.散点图：将样本中的每一个序号下的成对数 据用 中的点表示出来得 到的统计图. ·88· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂兰 [知识点二]样本的相关系数 [预习自测] 1.相关系数：统计学里一般用 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 2(x,-x)(y:-） (1)两个变量的相关关系是一种确定的关系. ( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关 cy-nzy 程度越强」 () 来衡量y与x (2x-nx2)(2y-ny2) (3)当一个变量的值增加时，另一个变量的 的 ,这里的 值随之减少，则称这两个变量负相关， 称为样本相关系数（简称相关系数） ) 2.相关系数的性质 (4)一般地，样本容量越大，用样本相关系数 (1) 时，成对数据正相关； 估计两个变量的相关系数的效果越好」 时，成对数据负相关，一1≤r≤1. (2)越小，两个变量之间的线性相关程度越 () ,r越大，两个变量之间的线性 2.根据一组数据判断两个变量是否线性相关 相关程度越 时，应选 () (3)x=1时，成对数据构成的点都在 A.茎叶图 B.频率分布直方图 上 C.散点图 D.频率分布折线图 2思考3.|x的大小有何实际意义？ 3.已知两个变量负相关，且相关程度很强，则 它们的相关系数的大小可能是 () A.-0.95 B.-0.13 C.0.15 D.0.96 课堂。互动学案 题型一 变量间相关关系的判断 (2)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测 [例1] (1)下列关系中，属于相关关系的是 数据： ,(填序号) 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； 水稻产量 320330 360410460 470480 ③出租车费与行驶的里程； ①将上述数据制成散点图， ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. ②你能从散点图中发现施化肥量与水稻产 [思路点拨] 依据相关关系的概念判断， 量具有什么关系吗？水稻产量会一直随施 化肥量的增加而增长吗？ [思路点拨了画出散点图进行判断. ·89· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 题型三“相关系数写相关程度的判断 两个变量是否相关的两种判断方法 [例2]一般来说，一个人的身高越高，他的手 1.根据实际经验：借助积累的经验进行分析 就越大，为调查这一问题，对某校10名高一 判断. 男生的身高与右手长度进行测量得到如下 2.利用散点图：通过散点图，观察它们的分 数据（单位：cm): 布是否存在一定的规律，直观地进行判 身高168170171172174176 178178180181 断.如果发现点的分布从整体上看大致在 右手 一条直线附近，那么这两个变量就是线性相 19.020.021.021.521.022.023.024.022.523.0 长度 关的，注意不要受个别点的位置的影响。 (1)判断两者有无线性相关关系； ⊙[变式训练] (2)如果具有线性相关关系，判断相关性的 1.(1)下列两个变量之间，是相关关系的有 强弱 ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力； 汇思路点拨了“作出散点图，判断线性相关 ③正n边形的边数和它的内角度数之和； 性；根据公式求出相关系数，结论， ④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时 间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力； ⑦正方体的棱长与体积 A.①④⑥ B.②⑤⑥⑦ C.⑤⑥ D.③⑤⑦ (2)10对中国父子的身高（英寸）如下： 父亲 身高 % 62 64 65 66 67 68 70 72 74 (x) 儿子 身高63.665.2 66 65.566.967.167.468.370.170 (y) 试根据上述资料： ①画出散点图； ②变量x和y之间是否具有线性关系？ ③人们常说，父亲高，儿子肯定不矮，你赞成 这种说法吗？ 规律方法 相关系数的关注点 1.相关系数可以反映两个变量之间的线性 相关程度，即散点集中于一条直线的程 度，其符号反映了相关关系的正负性。 2.变量间是否具有线性相关关系，可通过散 点图或相关系数作出判断，散点图只是粗 略作出判断，用相关系数能够较准确的判 断相关的程度 ·90· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂兰 ⊙[变式训练] 4.如图所示，有A,B,C,D,E共5组数据，去 2.关于两个变量x和y的7组数据如表所示： 掉 组数据后，剩下的4组数据具有 x 21 23 25 27 29 32 35 较强的线性相关关系。 ·E10,12) y 11 21 24 66 115325 D3,10) 试判断y与x是否线性相关，并刻画它们的 4,5) 相关程度. .B2,4) A(1,3) 5.现随机抽取某中学高一10名在校学生，他 们入学时的数学成绩x与人学后第一次考 试的数学成绩y如下表所示. 学生号12 3 45 6 7 89 10 x 120108117104103110104105 99108 846484 68 69 6869 4657 71 [当堂达标] 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具 1.(多选)在下列各变量之间的关系中，属于相 有较强的线性相关关系？ 关关系的是 2(x,-d(y-) A.汽车的重量和百公里耗油量 注：r= B.正n边形的边数与内角度数之和 C.一块农田的小麦产量与施肥量 含x:一nzy D.家庭的经济条件与学生的学习成绩 2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量 xi-nz2yi-ny vi= 的线性相关性做试验，并用回归分析的方法 若|r>0.75,则我们可以认为y与x之间 分别求得相关系数r如下表： 具有较强的线性相关关系， 甲 乙 丙 丁 0.82 0.78 0.69 0.85 则 同学的试验结果体现A,B两变 量有更强的线性相关性 () A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)， (11.3,2),（11.8,3),(12.5,4),(13,5);变 量U与V相对应的一组数据为(10,5)， (11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r 表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2 表示变量V与U之间的样本相关系数，则 ( C温馨提 A.r2<r1<0 B.0<r2<r 学习至此，请完成配套训练 C.r2<0<r1 D.r2=r ·91·