6.1.2 基本计数原理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章计数原理 数课时 6.1.2 学作业 [基础过关] 1.某年级要从3名男生，2名女生中选派 3人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案有 A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两 个不同的数字相加，其和为偶数的不同 取法的种数为 ( A.30 B.20 C.10 D.6 3.从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两 个不同数字作为平面直角坐标系中点 (a,b)的坐标，能够确定不在x轴上的 点的个数是 A.100B.90 C.81D.72 4.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈ {1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2= 2可表示的不同圆的个数是 () A.6 B.9 C.16 D.24 5.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7 天假期中，到“东亚文化之都一泉州” 两日游，若他们不同一天出现在泉州， 则他们出游的不同方案共有 ( A.16种 B.18种 C.20种 D.24种 6.（多选)某食堂窗口供应两荤三素共5 种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种 菜，且每人至多打1种荤菜，则下列说 法中正确的是 A.甲若选一种荤菜，则有6种选法 B.乙的选菜方法数为9 C.若两人分别打菜，总的方法数为18 D.若两人打的菜均为一荤一素且只有 一种相同，则方法数为30 课时作业乡 基本计数原理的应用 间 纠错空间 7.甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学 生，现准备推选2名来自不同班的三好 学生去参加校三好学生代表大会，共有 种推选方法， 8.一个三位数的百位、十位、个位上的数 字依次为a,b,c.三位数中，当且仅当有 两个数字的和等于第三个数字时称为 “有缘数”（如213,134等）若a,b,c∈ {1,2,3,4,5},且a,b,c互不相同，则这 个三位数为“有缘数”共 个 9.如图所示，将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜 色，并使同一条棱上的两 D 个端点异色，如果只有5A 种颜色可供使用，则不同 方法总结 染色方法的总数为 10.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋 内装有4个小球，所有这些小球的颜色 互不相同. (1)从两个口袋内任取1个小球，有多 少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多 少种不同的取法？ 1· 巴五维课堂 11.将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数 字顺次排成一个三位数。 间 (1)可以排出多少个不同的三位数？ 纠错空间 (2)各位数字互不相同的三位数有多 少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共 有多少个？ 方法总结 [能力提升] 12.某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分 段优惠政策，不超过9站的地铁票价 如下表：现有小明、小华两位乘客同时 从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘 坐地铁都不超过9站，且他们各自在 每个站下地铁的可能性相同，则下列 结论正确的是 站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 A.若小明、小华两人共花费5元，则小 明、小华下地铁的方案共有9种 B.若小明、小华两人共花费5元，则小 明、小华下地铁的方案共有18种 C.若小明、小华两人共花费6元，则小 明、小华下地铁的方案共有27种 D.若小明、小华两人共花费6元，则小 明比小华先下地铁的方案共有12 种（同一地铁站出站不分先后） ·16 数学·选择性必修第三册 13.从集合{1,2,3…，11}中任选2个元素作为椭 圆方程兰+兰=1中的m和n,求落在矩形 772 n 区域B={(xy)lx<11且y<9}内的椭 圆个数. [素养培优] 14.某城市地铁公司为鼓励人们绿色出 行，决定按照乘客乘坐地铁的站数实 施分段优惠政策，不超过9站的地铁 票价如下表所示（其中x∈N*): 乘坐 0<x≤33<x≤66<x≤9 站数 票价 2 3 (元) 现有小华、小李两位乘客同时从起点 乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁 的站数都不超过9，且他们各自在每站 下地铁的可能性是相同的. (1)若小华、小李两人共付费5元，则 小华、小李下地铁的方案共有多少种？ (2)若小华、小李两人共付费6元，求 小华比小李先下地铁的概率. 2·巴五维课堂 当x=3时，y=9,10,11; 当x=4时，y=8,9,10,11； 当x=5时，y=7,8,9,10,11; 当x=6时，y=6,7,8,9,10,11; 当x=7时，y=7,8,9,10,11； 当x=11时，y=11. 所以不同三角形的个数为1十2十3十4十5+6十5十4十 3+2+1=36. 6.1.2基本计数原理的应用 1.D[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3= 6(种)；若选派2名女生，则有3种.由分类加法计数原 理，共有9种不同的选派方法.] 2.D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字 相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共 有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法，故 由分类加法计数原理得，共有N=3十3=6（种）取法.] 3.C[分两步：第一步选b,因为b≠0，所以有9种选法；第 二步选a,因为a≠b,所以有9种选法.由分步乘法计数 原理知共有9×9=81（个）点.] 4.D[确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定 a,有3种选法；第二步，确定b,有2种选法；第三步，确 定r,有4种选法，由分步乘法计数原理得，不同圆的个 数为3×2X4=24.] 5.C[任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②， ②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②和⑥⑦，则 韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥， 则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他 们出游的不同方案共有2×4十4×3=20（种）.] 6.AB[若甲打一荤一素，则有C2XC=6种选法，故A 选项正确；若乙打一荤一素，则有6种选法，若打两素，则 有C=3种选法，共9种选法，故B选项正确；选项C,两 人分别打莱，由选项B知每个人可有9种打法，故应为9 ×9=81种方法；选项D可分为荤莱相同或素菜相同两 种情况，共2×3×2+3×2×1=18种.] 7.解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘 法计数原理，有3×5=15（种）选法；②甲班选1名，丙班 选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2=6（种）选法； ③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有 5×2=10(种)选法.综上，根据分类加法计数原理，共有 15+6+10=31(种)推选方法. 答案：31 8.解析：根据题意知在1,2,3,4,5中，能组成有缘数的组合 有：1,2,3；1,3,4；1,4,5；2,3,5；由1,2,3组成的三位自 然数为123,132,213,231,312,321，“有缘数”共6个；同 理：由1,3,4组成的三位数为“有缘数”是6个； ·21 数学·选择性必修第三册 由1,4,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2,3,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：4×6个=24个. 9.解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A,C 是否同色分类： 第一类，A,C同色，则有5×4×3×3=180（种）不同的染 色方法 第二类，A,C不同色，则有5×4×3×2×2=240（种）不 同的染色方法 根据分类加法计数原理，共有180+240=420（种）不同 的染色方法， 答案：420 10.解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是5十4=9. (2)从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来 完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法. 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数是5X4 =20. 11.解：(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6=216（个） 不同的三位数. (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位.百 位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个 位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各 位数字互不相同的三位数有6X5×4=120(个). (3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、 个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5=30（个），故 满足条件的三位数共有3×30=90（个）. 12.BCD[两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华 花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3=9种，同理 小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也 是9种，所以共有18种，A不正确，B正确.两人共花费 6元分为三类：小明花费货2元，小华花费4元，此时两人 下地铁的方案有3×3=9种；小明花费3元，小华花费 3元，此时两人下地铁的方案有3×3=9种；小明花费4 元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有3×3=9 种，共有27种，C正确.小明比小华先下地铁有两类：小 明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有 9种；小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅 有3种方案，所以共有12种方案，D正确.故选：BCD] 2 参考答案 13.解：根据题意，知当m=1时，n可等于2,3，…，8，共对 应7个不同的椭圆；当m=2时，n可以等于1,3,4，…， 8,共对应7个不同的椭圆.同理可得，当m=3,4,5,6, 7,8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m=9时，n可 以等于1,2，…，8，共对应8个不同的椭圆；当m=-10 时，共对应8个不同的椭圆.综上所述，对应的椭圆共有 7×8+8×2=72(个). 14.解：(1)由题表可知，若小华、小李两人共付费5元，则 小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘 坐站数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4， 5,6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有2×3 ×3=18(种). (2)由题表可知，若小华、小李两人共付费6元，则小华、 小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.付 费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐 站数有4,5,6三种选择，付费4元的乘坐站数有7,8,9 三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有2X3X3 十3×3=27（种），其中小华比小李先下地铁的方案有3×3 十3=12（种），因此小华比小李先下地铁的概率 124 为27=9· 6.2排列与组合 6.2.1棘到 6.2.2棘列数 第1课时排列与排列数 1.A[根据排列的定义进行判断.] 2.A[因为最大数为m十20，所以共有21个自然数连续 相乘，根据排列公式可得m(m+1)(m十2)…(m十19) (m十20)=A2+20.] 3.B[由g×8=am2n×4,得1-10-0 9! =12,解得n=7,n=14(舍).] 4.B[同学甲只能在周一值日，∴，除同学甲外的4名同学 将在周二至周五值日，5名同学值日顺序的编排方案 共有A=24(种).] 5.AD[A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序 有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序 无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无 关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排 成一列.] 6.ABCD[通过计算可知选项A、B、C、D均正确.] 7.解析：从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带， 每条文化带由一名老师讲述，相当于从4个不同元素中 选3个元素的排列问题，则不同的分配方案种数为A= 4×3×2=24. 答案：24 ·2 课时作业乡 区箭指发 8×7×6×5×4+8×7×6×5 5 9×8×7×6×5×4-9×8X7×6×5271 5 答案：27 9.解析：因为x=A, 所以有m∈N'且m≤4， 所以P中的元素为A4=4,A=12,A=A=24, 即集合P中有3个元素. 答案：3 10.解：(1)由排列的定义知共有A8种不同的排法」 (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两 部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A.也可以 分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A。 种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A种排法， 由分步乘法计数原理知共有AXA=A8种排法. (3)同(2)的分析可知，共有A8×A=A8(种) 11.解：大于200的三位数的首位是2或3，所以共有： 201,203,210,213,230,231,301,302,310,312, 320,321. 12.C[因为当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位 数取决于前四个排列数.又A十A2十A十A4=33,故 选C.] 13.解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙. 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图. ,甲乙一→丙一甲 甲→乙< 丙→乙→甲 八丙·甲乙一→甲 、丙→甲 八乙→丙一甲 共5种. 同样甲第一次发球给丙，也有5种情况. 由分类加法计数原理，共有5十5=10（种）不同的传球 方法. 14.解：由图形知，I与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3 种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂色，即I与Ⅳ同 色，把I与N视为同一个区域，有A?种方法，用4种颜 色涂色，有A种方法，所以不同的涂色方法种数是A +A2=210+840=1050. 第2课时排列数的应用 1.B[不考虑限制条件有A号种选法，若a当副组长，有 A}种选法，故a不当副组长，有A-A}=16(种)选法.] 2.D[把A,B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当 于4人的全排列，故有A4=24(种)排法.] 3.B[先排个位数，有A种，然后排十位和百位，有A 种，故共有A1A=224(个)没有重复数字的三位偶数.] 3