6.1.1 基本计数原理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章计数原理 课时作业 数课时 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学作业 6.1.1基本计数原理 纠错空间 [基础过关] C.在组成的三位数中，“凸数”的个数 1.某校开设A类选修课3门，B类选修课 为24 4门，若要求从两类课程中选一门，则不 D.在组成的三位数中，“凸数”的个数 同的选法共有 为20 ( 7.如图，一条电路从A处到B处接通时， A.3种 B.4种 可构成线路的条数为 C.7种 D.12种 2.已知x∈{2,3,7}，y∈{-3，一4,8}，则 x·y可表示不同的值的个数为( 8.十字路口来往的车辆，如果不允许回 A.8 B.12 C.10 D.9 头，不同的行车路线有 条 3.某班小张等4位同学报名参加A,B,C 9.工人在悬挂如图所示的一个正六边形 三个课外活动小组，每位同学限报其中 装饰品时，需要固定六个位置上的螺 一个小组，且小张不能报A小组，则不 丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧 同的报名方法有 距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧 第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝 方法总结 A.27种 B.36种 最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此 C.54种 D.81种 类推，则不同的固定方式有 种 4.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜 色，并使每一条棱的两端点异色，若只 有五种颜色可使用，则不同染色的方法 种数为 ( A.80 B.100 C.110 D.120 10.某外语组有9人，每人至少会英语和 5.五位同学去听同时进行的4个课外知 日语中的一门，其中7人会英语，3人 识讲座，每个同学可自由选择，则不同 会日语，从中选出会英语和日语的各 的选择种数是 ( 一人，有多少种不同的选法？ A.54 B.5×4×3×2 C.4 D.5×4 6.(多选)若一个三位数中十位上的数字 比百位上的数字和个位上的数字都大， 则称这个数为“凸数”，如231、354等都 是“凸数”，用1,2,3,4,5这五个数字组 成无重复数字的三位数，则 ) A.组成的三位数的个数为30 B.在组成的三位数中，奇数的个数为36 ·159· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 11.从集合{1,2,3，…，10}的子集中，选出 (2)这个数列共有多少项？ 空 有5个元素的子集，使得这5个元素 间 中的任意2个元素的和不等于11，这 纠错空间 样的子集共有多少个？ (3)若an=341,求n. [能力提升] 12.有一种棋盘（由8×8个方格组成），其 中有一个小方格因破损而被剪去（破 损位置不确定).“L”形骨牌由三个相 邻的小方格组成，如图所示.现要将这 个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则 方法总结 ( “红”形骨牌 [素养培优] 棋盘 14.求三边长均为整数，且最大边长为11 A.最多能剪成19块“L”形骨牌 的三角形的个数. B.最多能剪成20块“L”形骨牌 C.最多能剪成21块“L”形骨牌 D.以上答案都不对 13.用1,2,3,4四个数字（可重复）排成三 位数，并把这些三位数由小到大排成 一个数列{an}. (1)写出这个数列的前11项. 44444年4 ·160·参考答案 参考 第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 6.1.1基本计数原狸 1.C[选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有 3种不同的方法，从B类课程中选1门有4种不同的方 法，∴.共有不同选法3十4=7（种）.] 2.D[分两步：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值，有 3种不同的取法；第二步，在集合{一3，一4,8}中任取一 个值，有3种不同的取法.故x·y可表示3X3=9(个) 不同的值（易知各值互不相同）.] 3.C[小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所 以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3=54（种）不 同的报名方法.门 4.D[如图，若先染A有5种色可选，B有4 种色可选，C有3种色可选，D有2种色可 选，则不同染色方法共有5×4×3×2 =120(种).] 5.C[每位同学有4种选择，由分步乘法计数原理可得， 5位同学就有4×4×4×4×4=4（种）选择，故不同的选 择种数是4.] 6.BD[A:5个数组成无重复的三位数的个数为5×4×3 =60,故A错误； B:奇数为个位数是1,3,5的三位数，个数为3×4×3= 36,故B正确；C:“凸数”分为3类，①十位数为5，则有4×3 =12个；②十位数为4，则有3×2=6个；③十位数为3， 则有2×1=2个，所以共有20个，故C错误；D:由选项C 的分析可知，D正确.门 7.解析：从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一 个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接 通有3条线路.由分步乘法计数原理知电路从A处到B 处接通时，可构成线路的条数为2×3=6（条） 答案：6 8.解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共 有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一 个，共3种，由分步乘法计数原理知不同的行车路线有 4×3=12(条). 答案：12 9.解析：随意拧紧一个螺丝有6种方法，拧紧第二个螺丝只 有1种方法，拧紧第三个螺丝有4种方法，拧紧第四个螺 丝只有1种方法，拧紧第五个螺丝有2种方法，拧紧第六 个螺丝只有1种方法，所以不同的固定方式有6×1×4 ×1×2×1=48(种). 答案：48 ·21 课时作业 答案 10.解：既会英语又会日语的有7十3一9=1（人），仅会英语 的有6人，仅会日语的有2人，先分类后分步： 先从仅会英、日语的人中各选1人，有6×2=12（种） 选法； 从仅会英语和英、日语都会的人中各选1人，有6×1= 6(种)选法； 从仅会日语和英、日语都会的人中各选1人，有2×1= 2(种)选法. 根据分类加法计数原理，共有12十6十2=20（种）不同 的选法， 11.解：和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与 7,5与6.满足条件的子集中的元素不能取同一组中的 两个数.而每组元素的取法有2种，所以子集的个数为 2×2×2×2×2=25=32.即满足条件的子集共有 32个. 12.C[考虑2×3的6块方格，如图：☐，每一块这样的 骨牌含有2块“L”形骨牌，一共可以剪成10块这样的 骨牌和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则 一共可以剪21块“L”形骨牌. 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即 可，所以最多能够剪成21块“L”形骨牌.故选C.] 13.解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131， 132,133. (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个 数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4 =64(项). (3)比am=341小的数有两类： ① 2 @ 1 共有2×4×4十1×3×4=44（项）. 所以n=44十1=45（项）. 14.解：设较小的两边长为x,y,且x≤y, 则x≤y≤11，x+y>11,x,y∈N”. 当x=1时，y=11; 当x=2时，y=10,11； 巴五维课堂 当x=3时，y=9,10,11; 当x=4时，y=8,9,10,11； 当x=5时，y=7,8,9,10,11; 当x=6时，y=6,7,8,9,10,11; 当x=7时，y=7,8,9,10,11； 当x=11时，y=11. 所以不同三角形的个数为1十2十3十4十5+6十5十4十 3+2+1=36. 6.1.2基本计数原理的应用 1.D[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3= 6(种)；若选派2名女生，则有3种.由分类加法计数原 理，共有9种不同的选派方法.] 2.D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字 相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共 有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法，故 由分类加法计数原理得，共有N=3十3=6（种）取法.] 3.C[分两步：第一步选b,因为b≠0，所以有9种选法；第 二步选a,因为a≠b,所以有9种选法.由分步乘法计数 原理知共有9×9=81（个）点.] 4.D[确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定 a,有3种选法；第二步，确定b,有2种选法；第三步，确 定r,有4种选法，由分步乘法计数原理得，不同圆的个 数为3×2X4=24.] 5.C[任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②， ②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②和⑥⑦，则 韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥， 则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他 们出游的不同方案共有2×4十4×3=20（种）.] 6.AB[若甲打一荤一素，则有C2XC=6种选法，故A 选项正确；若乙打一荤一素，则有6种选法，若打两素，则 有C=3种选法，共9种选法，故B选项正确；选项C,两 人分别打莱，由选项B知每个人可有9种打法，故应为9 ×9=81种方法；选项D可分为荤莱相同或素菜相同两 种情况，共2×3×2+3×2×1=18种.] 7.解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘 法计数原理，有3×5=15（种）选法；②甲班选1名，丙班 选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2=6（种）选法； ③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有 5×2=10(种)选法.综上，根据分类加法计数原理，共有 15+6+10=31(种)推选方法. 答案：31 8.解析：根据题意知在1,2,3,4,5中，能组成有缘数的组合 有：1,2,3；1,3,4；1,4,5；2,3,5；由1,2,3组成的三位自 然数为123,132,213,231,312,321，“有缘数”共6个；同 理：由1,3,4组成的三位数为“有缘数”是6个； ·21 数学·选择性必修第三册 由1,4,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2,3,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：4×6个=24个. 9.解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A,C 是否同色分类： 第一类，A,C同色，则有5×4×3×3=180（种）不同的染 色方法 第二类，A,C不同色，则有5×4×3×2×2=240（种）不 同的染色方法 根据分类加法计数原理，共有180+240=420（种）不同 的染色方法， 答案：420 10.解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是5十4=9. (2)从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来 完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法. 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数是5X4 =20. 11.解：(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6=216（个） 不同的三位数. (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位.百 位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个 位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各 位数字互不相同的三位数有6X5×4=120(个). (3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、 个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5=30（个），故 满足条件的三位数共有3×30=90（个）. 12.BCD[两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华 花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3=9种，同理 小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也 是9种，所以共有18种，A不正确，B正确.两人共花费 6元分为三类：小明花费货2元，小华花费4元，此时两人 下地铁的方案有3×3=9种；小明花费3元，小华花费 3元，此时两人下地铁的方案有3×3=9种；小明花费4 元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有3×3=9 种，共有27种，C正确.小明比小华先下地铁有两类：小 明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有 9种；小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅 有3种方案，所以共有12种方案，D正确.故选：BCD] 2