6.3.1 二项式定理（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 五维课堂兰 3.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余 (1)4人均来自不同学校有多少种安排； 5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每 (2)4人中有男有女同学的有多少种安排； 人2张，则不同的获奖情况有 种. (3)若4人已经选出，请分别解答下列两个 (用数字作答) 问题 4.正六边形的顶点和中心共7个点，可组成 ①4名同学不相邻； 个三角形 ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧， 5.2024年4月21号，激情澎湃的2024淮安西 游乐园准安马拉松暨大运河马拉松系列赛 (淮安站)盛大开跑，淮安市协作体6所联盟 学校每校安排一男一女两位同学共12人参 加此次盛事，主办方安排这12位同学中的 四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问 题：（用数字表示） ©温攀提 学习至此，请完成配套训练 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的 式定理 素养 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题， 简单问题 提升数学运算的素养 课前。预习学案 [情境引入] 走进了大学餐厅.有一次，他在向一位姑娘求 牛顿的故事 婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷 牛顿善于观察日常生活 量的二项式定理.他抓住姑娘的手指，错误地 中的小事，结果取得了科学 把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得 史上一个个重要的发现.作 姑娘大叫，离他而去.牛顿也因此终生未娶，那 为大学教授，牛顿常常忙得 么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅 不修边幅，往往不打领带，不 力在哪里？ 系好鞋带和马裤的纽扣，就 ·27· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 [知识梳理] ?思考1.二项展开式中的项Ca"'b是第 [知识点一]二项式定理及相关的概念 几项？ 二项式定理 公式(a十b)"=Ca”十Cam-1b十 概念 C2a”-2b2+…+Ca"-'b'+…十 2.二项式中a,b能否交换位置，二项式(a十 Cb”(n∈N*)称为二项式定理 b)”与(b+a)的展开式中第r+1项是否相 二项式 各项系数C(r=0,1,2,…,n)叫做 同？ 系数 展开式的二项式系数 Ca”-rb'是展开式中的第 二项式 3.二项式定理中，项的系数与二项式系数相 项，可记做T,+1=Ca”'b'(其中0 通项 同吗？ ≤r≤n,r∈N*,n∈N*) 二项展 Ca"+Ca"-1b+C2a"-2b2+…+ 开式 Cwa"-b+…+Cb"(n∈N*) [知识点二]二项展开式的特点 [预习自测] 1.展开式共有n十1项. 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）， 2.各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (1)二项展开式中项的系数与二项式系 3.字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开 数是相等的. () 始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂 (2)(x一1)5的展开式中x4项的系数为一5. ( 指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0 (3)(a十b)”的展开式中一定有常数项. 逐项加1直到为n. ) [知识点三]通项中的注意点 2.(x 1.T+1是展开式中的第r十1项，而不是第 2)”的展开式共有11项，则n等于 r项 2.公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便 A.9 B.10 C.11 D.8 颠倒位置 3.二项式(1一2x)9的展开式中x6的系数为 3.要将通项中的系数和字母分离开，以便于解 (1 A.C9B.-C9C.C82D.-C9·2 决问题. 4.对二项式(a一b)”的展开式的通项要特别注 在2x+) 的展开式中，x的系数 意符号问题. 是 ·28· 第六章计数原理 五维课堂型 课堂。互动学案 题型一 二项式定理的正用、逆用 规律方法 运用二项式定理的解题策略 [例1](1)用二项式定理展开 1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接 (2)化简：C(x+1)”-C(x十1)m-1+C%(x 由二项式定理展开，展开时注意二项展开 +1)m-2-…+(-1)C%(x十1)-r+…十 式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母 (-1)"C% 是升幂.形如(a一b)”的展开式中会出现正 汇思路点拨“(1)二项式的指数为5，且为 负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简 两项的和，可直接按二项式定理展开； (2)可先把x+1看成一个整体，分析结构形 再用二项式定理展开. 式，逆用二项式定理求解 2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简， 对于这类问题的求解，要熟悉公式的特 点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正 负相间的，则是(a一b)”的形式， ⊙[变式训练] 1.求3+ 的展开式： (2)化简：1+2C+4C%+…+2C%. ·29· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型二】 求展开式中的特定项 规律方法 [例2](1)(x-2y)”的展开式中的第4项为 1.求二项展开式的特定项的常见题型 ( (1)求第r十1项，T,+1=Ca”-b; A.-280.x4y B.280x (2)求含x'的项（或xy的项）； C.-35xx3 D.35x'y (3)求常数项； (4)求有理项， (2)已知 的展开式中，第6项 2.求二项展开式的特定项的常用方法 为常数项 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 ①求n; 0(即0次项)； ②求含x2的项； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其 ③求展开式中所有的有理项， 所有的字母的指数恰好都是整数的项. 解这类问题必须合并通项公式中同一字 写出通 令r=5,x [思路点拨] 母的指数，根据具体要求，令其属于整 项T+1 的指数为零 数，再根据数的整除性来求解； ①求出n值 修正通项公式 (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公 式中同一字母的指数应是非负整数，求 ②求x项 考查x指数为整数 解方式与求有理项一致 分析求 ③写出 3.求二项展开式特定项的步骤 出r值 有理项 通项公式 化简 令x的次数取 令x的次数为0 特定的值 求出r的值 是 求出的 否 r是否为 整数 确定是第几项 存在常 不存在 数项 常数项 ◇[变式训练] 2若+2 的展开式中前三项系数成 等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； (2)展开式中所有的有理项. ·30· 第六章计数原理 五维课堂 题型求二项展开式特定项的有关系数 题型四 兰项式的展开问题 [例3](1)(x2+2) 是- 的展开式的常数 [例4幻 ++v 2 的展开式中的常数项为 项是 ) (用数字作答). A.-3 B.-2 C.2 D.3 汇思路点拔了“利用转化思想，把三项式转 (2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 化为二项式来解决 的展开式中，x4的系数是 (用数字 规律方法 作答) 三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决 汇思路点拨](1)经分析可知，常数项是 (有些题目也可转化为计数问题解决)，转化 由两部分构成的； 的方法通常为配方、因式分解、项与项结合， (2)令x=1可得各项系数的和，从而求 项与项结合时要注意合理性简捷性， 出a; ◇[变式训练] (3)先分析含x4的项的构成，再求解 4.(1)(x2+x十y)5的展开式中，x5y2的系数为 规律方法 求特定项系数的思路与方法 A.10 B.20 C.30 D.60 对于几个多项式积的展开式中的求特定项 ②r+是-4 的展开式中的常数项是 系数的问题，一般可以根据因式连乘的规 ( 律，结合组合求解，但要注意适当地运用分 A.352 B.-352C.1120D.-1120 类方法，以免重复或遗漏. [当堂达标] 双通项法是解决此类问题的通法.所谓双通 项法就是根据多项式与多项式的乘法法则 1.(x十1)”的展开式共12项，则n等于 得到(a十bx)”(s+tx)m的展开式中的一般 () 项为T,+1Tk+1=Ca(bx)'C%sm-(tx)= A.9 B.10 C.11 D.12 2.(y一2x)8的展开式中的第6项的二项式系 CCa”-rb'sm-·tx+(注意这里含有x+ 数是 () 的项不一定只有一项)，再根据题目中对字 A.Cs B.C8(-2)5 母的指数的特殊要求，确定x与k所满足的 C.C D.C8(-2) 条件，进而弄清r,k的取值情况，从而使问 3.(1一x)10的展开式中第7项为 题顺利解决： 4.已知二项式(x十a)5的展开式中，x2项的系 ⊙[变式训练] 数为80，则a= 3.已知二项式-) 3求二项式2- 的展开式中第6项的 二项式系数和第6项的系数， (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数. C温馨提 学习至此，请完成配套训练 ·31世五维课堂 [例4]解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1 女4男，有CC号+CC种取法，后排有A种，故共有 (CC号+CgC3)·A=5400(种). (2)除去该女生后，先取后排，有C·A4=840(种). (3)先取后排，但先安排该男生，有C·C·A1=3360 （种). (4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种， 再安排该男生有C种，其余3个全排有A种，共C· Cg·A=360(种). 变式训练 4.B[分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解 即可.若没有人参加“打授作壁”，则有C3CC.A=1 A 680种不同的方法，若有一人参加“打埂作畦”，则有 c(.A+SC.A)8o种不月的方责， A 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加 方法数为1680+8400=10080.] 当堂达标 1.C[间接法：C-C=52(种).] 2.D[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分 一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种.] 3.解析：一、二、三等奖，三个人获得，有A=24(种).一、二、 三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C号A =36(种)，共有24十36=60（种）不同的获奖情况， 答案：60 4.解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线 的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故 组成三角形的个数为C号-3=32. 答案：32 5.解析：(1)根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学 校的2人中再选出1人即可，有CCC2C2C2=240种安 排方法； (2)根据题意，在12人中选出4人，有C12种排法，其中只 有男生的选法有C种，只有女生的选法有C种，则4人 中有男有女有C12-2C=495种-30种=465种， (3)①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在 空位中，则有AA=144种安排方法； ·1 数学·选择性必修第三册 ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同 侧情况即可，有A一2AA4=432种排法. 答案：(1)240(2)465(3)①144；②432 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 课前预习学案 知识梳理 知识点一 r+1 [思考] 1.提示：Ca"-b是(a十b)m的第r+1项. 2.提示：不能，(a十b)”的展开式中的第r十1项为C%a”-r b',(b十a)”的展开式中的第r十1项为Cbn-'a',两者是 有区别的，所以在应用二项式定理时，Q和b不能随便交 换位置。 3.提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念. 二项式系数是指C%,C,…,C%,而项的系数是指该项中 除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且 也与a,b的值有关. 预习自测 1.提示：(1)×二项展开式中项的系数与二项式系数不一 定相等，只有当a,b的系数都为1时两者相等. (2)/(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5. (3)X(a+b)”的展开式中通项Cman-'b'的次数不一 定为0. 的展开式共有n十1项，所以n十1=11， 故n=10.] 3.C[二项式(1-2x)9=C8+Cg(-2x)十…+C(-2x) 十…十C8(一2x)9,其展开式中x6的系数为C8(一2)6 =C826.] 4解析：(2x+)°的展开式的通项为 T+1=c2x3)-(）厂'-2-rCs…x8- 令18-4r=6,解得r=3, 所以x6的系数是23C=160. 答案：160 2 参考答案 课堂互动学案 [例1] 解：1(2x-2是)°=c8(2z)5+C(2x4· (2)'++c(2) =32.x5-120x2+180_135+405_243 x x4 8x7 32x10 (2)原式=C%(x+1)n+CM(x+1)m-1(-1)+C%(x+ 1)n-2·(-1)2+…+C%(x+1)m-r(-1)r+…+C%(- 1)=[(x+1)+(-1)]m=x”. 变式训练 1.解法-（3E+-c8+C左 C(3a2. a)+csa(a'+() =81x2+108x+54+ 12十 x 法=(8+)-8少 =之(81x4+108x3+54x2+12x+1) -81r2+1o8z+54+2+之 (2)原式=1+2C+22C%+…+2C%=(1十2)n=3". [例2](1)A[(x-2y)7的展开式中的第4项为T4=Cx4· (-2y)3=(-2)3Cx4y3=-280x4y3.] (2)解：通项公式为 T+1=Cx宁(-3)rx子=C(-3)rx学. ①第6项为常数项， 7=5时，有-2r=0,即n=10. 3 ②令102r-2,得r=2×(10-6)=2, 3 ∴.所求的项为T3=C0(-3)2x2=405x2. 10-2r∈Z, 3 ③由题意得 10≤r≤10， r∈z. 令1022r=k(k∈ZD, 3 则10-2=8，中7=5-号 r∈Z,.k应为偶数， k=2,0,-2,即r=2,5,8, ·1 五维课堂到 ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为405.x2,-61236,295245.x-2. 变式训练 2.解：(1)由已知可得C8+C·2=2C·之， 即n2-9n十8=0，解得n=8或n=1(舍去)， 所以，通项为T,+1=C(√)8，· 1 2 =C·2 ·x4-r, 令4-是=1，得r=4 所以含x的一火项为T。C2红-得 (2)令4-r∈Z,且0≤≤8，则r=0,48, 所以展开式中所有有理项分别为T=,T=西，T 256x2 [例3】解析：1)常数项由分别来自x2+2,(之-1)5的项 短成（位-1）的展开式的通项为+1=G(侵)× (-1)”,则第一个因式取2，第二个因式取(-1)5，得 2×(-1)5=-2, 第一个因式取2，第二个因式取之，得1XC(-1)4=5。 因此，(x2十2) 的展开式的常数项是5十(-2) =3. (2)含x4的项是由5个因式中，4个出x,1个出常数组成的， 所以含x4的项为-5x4-4x4-3x4-2x4-x=-15.x4,所 以展开式中x4的系数是一15. 答案：(1)D(2)-15 变式训练 3解：-品)”的展开式的道预足 T1=C(3)·（)=30- (号)'c+ (r=0,1,…,10). (1)展开式的第四项的二项式系数为C30=120. (2)展开式的第回项的系数为C3·3(一号) -77760. 23 世五维课堂 [例4] 解析：法一：（受++】 在x>0时可化为 10 E+1 、2 ,因而是无式的通项+=C() ·(√元)10-2r,则r=5时为常数项，即C0· 2 =63v2 2 (受+是+回) 在x<0时可化为一 所以晨开式的道项+1=-c()(一1) (√一x)10-2,令10-2k=0,得k=5,则展开式的常数 项为-c()(-1D5-6 2 综上，（受+士+）°的展开式的常数项为3 2 1 2x 32.x·(z+2)10. 求原展开式中的常数项，转化为求(x十√2)0的展开式 中含x5的项的系数，即C0·(W2)5 所以原展开式中的常数项为C。·(②)5_63V2 32 2 法三：（受++）'是5个三项式（受++回）湘乘 常数项的产生有三种情况： ①在5个相乘的三项式（受+是十）中，从其中1个 三项式中取受，从另外4个三项式中选一个取，从剩 余的3个三项式中取常数项相乘，可得C·号C· C3·(W2)3=20√2； ②在5个相乘的三项式（受+工十）中，从其中2个 三项式中取受，从另外3个三项式中选2个取是，从剩 余的1个三项式中取常教项相秦，可得C心：（合）·C, -5, ·1g 数学·选择性必修第三册 ③从5个相乘的三项式（受+十）中都取常数相 乘，可得C·(2)5=4√2. 综上，（受++2） 的展开式中的常数项为20√2十 152+42-3 2 法四：（告+士+）=[【（侵+）十的通项为 T+1=cc(受+)（受+）的通项为 T+1=C5-kxx5-r2-(6--=C5-x5-2- 2k+-5(0≤r≤5-k). 令5-2r-k=0,则k十2r=5,可得k=1,r=2或k=3,r =1,或k=5,r=0. 当=1，r=2时，展开式中的项为CgC22-2=15E, 2 当=3，r=1时，展开式中的项为CC2√2·21= 20√2； 当=5，r=0时，展开式中的项为C·4√2=4√2. 综上，（受+士十回）的展开式中的常数项为5,2+ 2 202+4V2=632 2 答案692 变式训练 4.(1)C[法-：(x2+x十y)5=[(x2+x)十y]5, 含y2的项为T3=C号(x2+x)3·y2. (x2+x)3中含x5的项为Cgx4·x=C喝x5. 所以x5y2的系数为C号C}=30.故选C. 法二：(x2+x+y)5为5个x2+x十y之积，其中有两个 取y,两个取x2,一个取x即可，所以x5y2的系数为 C号C号C=30.故选C.] ②c[法-：原或=[x+)4-(+) +c(+2)(-4)+c(+2)°.(-42+ c(4r2+)}-403+（-4),所以其常数项为C42+ CC24(-4)2+(-4)4=1120. 参考答案 法三：乐式=[（2x-2)]-(22-)月 T+1=c2a)8-(-)）=(-1)*28-c8-, 由8-2k=0,得k=4, 所以常数项为(-1)4X24C8=1120.] 当堂达标 1.C[由n+1=12,可知n=11.] 2.C[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 3.解析：T7=C0(-x)6=210x6. 答案：210x6 4.解析：C号x2a3=80x2→a=2. 答案：2 5.解：(1)由已知得二项展开式的通项为 T+1=c2回9-.（) =(-1)'C6·26-r·x3-r .T6=-12x-号， 第6项的二项式系数为C唱=6. 第6项的系数为C%·(-1)·2=-12. 6.3.2二项式系数的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一 Cm=Cnm [思考] 1.提示：不一定.如果项的系数中还有其他的常数，则该项 的系数不一定最大， 2.提示：Cn+1=Cm1+C. 知识点二 1.增大减小 2.C培C学C 知识点四 1.1相等2.和 预习自测 1.提示：(1)×二项展开式中项的系数与二项式系数是不 同的，二项式系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间 两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项和其他数 字因数的大小有关 ·1 五维课堂 (2)×在二项式(a十b)n中只有当a,b的系数都为1 时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和 (3)×二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项 的系数和a,b的系数有关. (4)√根据杨辉三角的特点可知正确. 2.D[二项展开式的通项公式为T,+1= C%·(x)n-r·(x1)r=C·xm-r, 令，=7，则号-号=0，解得=21，通项公式可化简为C1 ·x学.由于n=21,C1一共有22项，其中最大的项为r =10,11两项，即展开式的第11项和第12项.] 3.解析：令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1；各二 项式系数之和为26=64. 答案：164 4.解析：由题意可知ag是x8的系数，所以ag=C。·22 =180. 答案：180 课堂互动学案 [例1]解：设(2x-3y)9=a0x9十a1x8y+a2x7y2+… +asy. (1)二项式系数之和为C8十C十C名十…十C8=29, (2)各项系数之和为a0十a1十a2十…十ag, 令x=1,y=1,得 a0+a1+a2+…十ag=(2-3)9=-1. (3)由(2)知a0十a1十a2十…+a9=一1， 令x=1,y=-1,可得a0-a1十a2-…-ag=59. 将两式相加，可得 a十ag十a:十as十ag-5,甲为所有专数项系数之和， (4)法-：ao|+|a1|+a2|+…+|ag|=ao-a1十a2 a3十…-ag, 令x=1,y=-1,则|ao|+|a1|+|a2|+…+|ag|=ao a1十a2-a3十…-ag=59; 法二：lao|+|a1|+|a2+…+|ag|即为(2x+3y)9的展 开式中各项系数和，令x=1,y=1,得|ao|十|a1|十|a2 +…十|ag=59. 5