6.3.1 二项式定理（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 (2)把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四 所以将四张不同卡片平均分给甲、乙两人，每人 张不同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的.如甲 2张，相当于把四张不同卡片平均分成2堆后，再 得编号为1、2的两张卡片，乙得编号为3、4的两 把每次分得的2堆分给甲、乙两人.设平均分成2 张卡片，与甲得编号为3、4的两张卡片，乙得编号 堆的方法有x种，则：x·A是将四张不同的卡片 为1、2的两张卡片是不同的分法，但若编号为1、2 平均分给甲、乙两人的分法，由(1)知：CC=x· 的两张看成一堆，编号为3、4的两张看成一堆，上 A,所以x= CC2 面的两种情况实质是一种平均分成两堆的分法。 =3(种). A号 6.3二项式定理 6.3.1 二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养 式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算 简单问题 的素养 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] 续表 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的 Ca"b'是展开式中的第r十1项，可记做 二项式 小事，结果取得了科学史上一个 T,+1=C%a"'b'(其中0≤r≤n,r∈N,n 个重要的发现.作为大学教授，牛 通项 ∈N*) 顿常常忙得不修边幅，往往不打 领带，不系好鞋带和马裤的纽扣， 二项展 Ca"+Cra"6+Ca"+.+Cra"b" 就走进了大学餐厅.有一次，他在 开式 十…+Cb"(n∈N*) 向一位姑娘求婚时思想又开了小 差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理.他抓住 [知识点二] 二项展开式的特点 姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟 1.展开式共有n+1项. 斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去.牛顿也因此终生未 娶.那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅 2.各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 力在哪里？ 3.字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数 [知识梳理] 由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排 [知识点一]二项式定理及相关的概念 列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 项式定理 [知识点三]通项中的注意点 1.T,+1是展开式中的第r十1项，而不是第r项. 公式(a+b)”=Cma"+Ca"-1b+C2a"2b2 2.公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒 概念 +…+Ca"'b+…+C"b"(n∈N*)称为 位置 二项式定理 3.要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决 问题， 二项式 各项系数C(r=0,1,2,…,n)叫做展开 系数 4.对二项式(a一b)”的展开式的通项要特别注意符号 式的二项式系数 问题， 35· 数学·选择性必修第三册 2思考1.二项展开式中的项Ca”b'是第几项？ (2)/ （x一1)5的展开式中x项的系数为-5. (3)X(a十b)”的展开式中通项C,a”='b的次数 提示：Cwa”b'是(a十b)”的第r十1项， 不一定为0. 2.二项式中a,b能否交换位置，二项式(a十b)”与 2.（x- 2)”的展开式共有11项，则n等于（ ) (b+a)”的展开式中第r+1项是否相同？ 提示：不能，(a十b)”的展开式中的第r十1项为 A.9 B.10 C.11 D.8 Cna”'b',(b+a)”的展开式中的第r+1项为 2 解析：B 的展开式共有n十1项，所以 Cb”'a',两者是有区别的，所以在应用二项式 定理时，a和b不能随便交换位置. n+1=11, 3.二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 故n=10.] 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个 3.二项式(1一2x)的展开式中x的系数为( 概念 A.C。B.-C8C.Cg2D.-C9·2 二项式系数是指C,C,…,C”,而项的系数是指 解析：C[二项式(1-2x)°=C9+C(-2z)+… 该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的 十C(一2x)+…+C9(一2x)°，其展开式中x°的 项数有关，而且也与a,b的值有关. 系数为C8(-2)=C92.] [预习自测] 4.在(2+ 的展开式中，x的系数是 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. (1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相 解析：(2+) 的展开式的通项为 等的 (2)(x一1)°的展开式中x项的系数为一5.( T+1=Cg(23) =26'C·x18=r (3)(a十b)”的展开式中一定有常数项. ( ) 令18-4r=6,解得r=3, 提示：(1)×二项展开式中项的系数与二项式系数 所以x的系数是2C=160. 不一定相等，只有当a,b的系数都为1时两者相等. 答案：160 课堂。互动学案 对应学生用书P29 题型 三项式定理的正用、逆用 规律方法 运用二项式定理的解题策略 [创1)用=项式定理展开：一是)广： 1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二 项式定理展开，展开时注意二项展开式的特 (2)化简：C(x十1)”-C(x+1)”-1十C2(x+1)”-2 点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如 -…+(-1)C(x+1)"-+…+(-1)”C% (a一b)”的展开式中会出现正负间隔的情况. 对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理 [思路点拨了“(1)二项式的指数为5，且为两项 展开. 的和，可直接按二项式定理展开； 2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于 这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各 (2)可先把x十1看成一个整体，分析结构形式，逆 项幂指数的规律以及各项的系数」 用二项式定理求解， 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相 解：(1)2-是) 间的，则是(a一b)”的形式. =C9(2x)5+C(2x)4· ◇[变式训练] （是八++c(是)》 3后 的展开式； (2)化简：1+2C%+4C%+…+2"C%. =32x5-120x2+180_135+405 243 x 8.x 32x: 解法-)=C+Cy (2)原式=C(x+1)”+C(x+1)”-1(-1)+C(x +1)”2·(-1)2+…+C%(x+1)”(-1)+…十 左+sr·房)+c8) C(-1)”=[(x+1)+(-1)]”=x". c()-812+1sx+54++ ·36· 第六章计数原理 法=〔+】 (3x+1) 规律方法 T2 1.求二项展开式的特定项的常见题型 2(81x+108.x3+542+12z+1) (1)求第r十1项，T+1=Ca"b; (2)求含x'的项（或xy的项）； =81z2+108x+54+ 2+ (3)求常数项； (4)求有理项. (2)原式=1+2C+2C+…+2"C”=(1+2)” 2.求二项展开式的特定项的常用方法 =3” (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即 题型二 求展开式中的特定项 0次项)： [例2](1)(x-2y)7的展开式中的第4项为( (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有 A.-280xy B.280.xv 的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问 C.-35.xx D.35xy 题必须合并通项公式中同一字母的指数，根 据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除 (2)已知 的展开式中，第6项为常 性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中 数项. 同一字母的指数应是非负整数，求解方式与 ①求n: 求有理项一致 ②求含x2的项； 3.求二项展开式特定项的步骤 ③求展开式中所有的有理项. 通项公式 写出通 令r=5,x [思路点拨 项T,+1 的指数为零 化简 ①求出n值 修正通项公式 →②求x2项 令x的次数取 令x的次数为0 特定的值 分析求 ③写出 考查x指数为整数→ 出r值 有理项 求出r的值 是 求出的 否 r是否为 整数 (1)A[(x-2y)7的展开式中的第4项为 T4=Cx·(-2y)3=(-2)3Cx2y=-280xy.] 确定是第几项 存在常 不存在 数项 常数项 (2)解：通项公式为 T+1=Cx(-3)x子=C(-3)x学 ◇[变式训练] ①，第6项为常数项， 2若( 1 2 的展开式中前三项系数成等差数 =5时，有”2-0.即1=10. 列，求 (1)展开式中含x的一次项； ②令10,2x=2,得r=2×(10-6)=2. 3 (2)展开式中所有的有理项. .所求的项为T3=C(-3)2x2=405x2. 解：()由已知可得C+C·2=2C,·2, f10-2r∈Z, 3 即n2-9n十8=0，解得n=8或n=1(舍去). ③由题意得 0≤r≤10， 所以，通项为T,+1=C(W)8「· 2 =C·2 r∈Z. 令10.2r=k(k∈Z), 3 ·x,令4-子=1，得r=4. 3 则10-2=3k,即7=5-高 所以含x的一次项为T5=C2x= 35 82 ,r∈Z,.k应为偶数， (2)令4-r∈7，且0≤r<8,则r=0,4,8, k=2,0,-2,即r=2,5,8, 第3项，第6项与第9项为有理项， 所以展开式中所有有理项分别为T1=x, 它们分别为405x2,-61236,295245.x2. 256.x2 ·37· 数学·选择性必修第三册 题型三求三项展开式特定项的有关系数 解(3丘品) 的展开式的通项是 [例3](1)(x2+2) 的展开式的常数项是 T+=C8() ( A.-3 B.-2 C.2 D.3 30-(（号)C=(=0,1,10。 (2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开 (1)展开式的第四项的二项式系数为C。=120. 式中，x的系数是 (用数字作答) (2)展开式的第回项的系数为C。·3（) [思路点拨“(1)经分析可知，常数项是由两部分 -77760. 构成的； 题型四 三项式的展开问题 (2)令x=1可得各项系数的和，从而求出a; (3)先分析含x的项的构成，再求解. [例4] 〔++ 2 的展开式中的常数项为 解析：)常数项由分别来自x十2，(}-1)的项 (用数字作答)， [思路点拨] 利用转化思想，把三项式转化为二项 成（侵- 的展开式的通项为T+1= 式来解决 解析：法一： (受++ 在x>0时可化为 C()×(-1,则第一个因式取2，第二个国 + ,因而展开式的通项T,+1= 式取(-1)5，得2×(-1)5=-2， 第一个因式取x,第二个因式取，得1×C(-1) ·(√)10-”，则r=5时为常数项，即 =5.周此.(x+2(-1 的展开式的常数项是 _63√2 5+(-2)=3. 在x0时可化为 (2)含x的项是由5个因式中，4个出x,1个出常数 组成的，所以含x的项为-5.x-4x-3-2x-x ,所以展开式的通项T+1 =一15x,所以展开式中x的系数是-15. 答案：(1)D(2)-15 c”-16,令10-2=0 规律方法 求特定项系数的思路与方法 得=5，则展开式的常数项为一C(卮 (-1) 对于几个多项式积的展开式中的求特定项系数 =63√2 的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组 2 合求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重 综上，（受++2 复或遗漏. 的展开式的常数项为3吗 2 双通项法是解决此类问题的通法.所谓双通项法 法二：原式= +22x+2 32·[(2+ 1 2x 就是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a十 1 bx)”(s十tx)m的展开式中的一般项为T,+1T+1 √2)2]5= 32x ·(x十√2)" =C%a”-(bx)rCsm(tx)*=CCa”Tb'smt· 求原展开式中的常数项，转化为求(x十√2)“的展 x+(注意这里含有x+的项不一定只有一 开式中含x5的项的系数，即C。·(√2)5. 项)，再根据题目中对字母的指数的特殊要求， 确定r与k所满足的条件，进而弄清r,k的取值 所以原展开式中的常数项为·②)632 32 2 情况，从而使问题顺利解决。 法三：（登+子+是5个三项式（告十子十相 ⊙[变式训练】 乘.常数项的产生有三种情况： 3已知项式3反-是)” ①在5个相乘的三项式（++]中，从共中】 (1)求展开式第四项的二项式系数： (2)求展开式第四项的系数. 个三项式中取号，从另外4个三项式中选一个取 ·38· 第六章计数原理 从剩余的3个三项式中取常教项相乘，可得( r+- 的展开式中的常数项是( ·2C.cwp=20 A.352 B.-352C.1120D.-1120 解析：(1)C[法一：(z2+x+y)=[(x2+x)+y]5, ②在5个相秦的三项式（受+十]中，从其中2 含y2的项为T=C(x2+x)3·y2. (x2十x)3中含x5的项为Cx·x=Cx, 个三项式中取气，从另外3个三项式中选2个取 所以x5y2的系数为CC=30.故选C. 法二：(x2十2十y)为5个x2+x十y之积，其中有 从荆余的1个三项式中取常数项相乘，可得C· 两个取y,两个取x,一个取x即可，所以x5y2的 (2)c8-15 系数为CCC=30.故选C. 2 2)c[法-：原式=【+)刂 ®从5个相来的三项式（受十十2 中都取常数 +)+c(+)八(-+ 相乘，可得C·(√2)=42. 上(++ 的展开式中的常数项为 c(+)(-4+c(+2)-4+ (-4),所以其常数项为C4+CC4(-4)2+(-4) 20E+152+42-3g =1120. 2- 法四：（受+上+2=[（告+）+]的适项 法三原或2：门-(x) 为T=cc(臣+)，（臣+）的通 T-c(2=(-12 由8一2k=0,得k=4, 项为 所以常数项为(-1)×2C=1120.] T,+1=C-xx5-r25-=Cx5-22+5 [当堂达标] (0≤r≤5-k). 令5一2r-k=0,则k十2r=5,可得k=1,r=2或k 1.(x十1)”的展开式共12项，则n等于 =3,r=1,或k=5,r=0. A.9 B.10 C.11 D.12 当k=1,r=2时，展开式中的项为CC22 解析：C[由n+1=12,可知n=11.] 2.(y一2x)8的展开式中的第6项的二项式系数是 =152 2 A.C B.C(-2)5 当k=3,r=1时，展开式中的项为CC2√2·2 C.C D.C8(-2)° =20√2； 解析：C[由题意可知第6项的二项式系数 当=5，r=0时，展开式中的项为C·4√2= 为C8.] 4√2. 3.(1一x)1°的展开式中第7项为 解析：T,=Ci(-x)=210. 综上， (++回 的展开式中的常数项为 答案：210x 4.已知二项式(x十a)的展开式中，x2项的系数为 15E+20V2+42= 63√2 80,则a 解析：Cx2a3=80.x2→a=2. 答案83 答案：2 规律方法 5求二项式26-) 的展开式中第6项的二项 三项或三项以上的展开问题 式系数和第6项的系数 应根据式子的特点，转化为二项式来解决（有些 解：(1)由已知得二项展开式的通项为 题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通 常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时 T-) 要注意合理性简捷性， =(-1)C%·26'.x3-r ◇[变式训练] ∴.T=-12x, 4.(1)(x十x十y)5的展开式中，xy2的系数为( .第6项的二项式系数为C=6. A.10 B.20 C.30 D.60 第6项的系数为C·（一1)·2=一12. ·39· 数学·选择性必修第三册 课后。素养提升 对应学生课时P171 [基础过关] 解析：ABC[令x=-1得(-1-1)5=a。,即a。= 1.(x十2)”的展开式共有12项，则n等于 -32,故A正确.令x=0得(-1)5=a,十a1十…十 A.9 B.10 C.11 D.8 a,即aw十a1十…十a=-1,故D不正确.令x十1 解析：C[因为(a十b)”的展开式共有n十1项，而 =y,则(x-1)5=a。十a1(x十1)+a2(x十1)2+… (x+2)”的展开式共有12项，所以n=11,故 十a(x十1)5就变为(y-2)5=a,十a1y十a2y2+… 选C.] 十a5y,根据二项式定理知，a2为二项式(y一2)展开 2.在二项式(-) 的展开式中，含x的项 式中y项的系数，T+1=Cyr(-2)y',故a2=Cg·( 的系数是 ( 2)3=-80,B正确.a4=Cg(-2)1=-10,a3= A.-10B.10 C.-5 D.5 C(-2)2=40.故C正确.故选ABC.] 解析：B[~(（e-) 的展开式的通项为T,+1= 的展开式中常数项为 C5x25-”·(-1)'xr=(-1)yC5x"-3,令10-3r 展开式的通项为 =4,r=2,x4的系数为C=10.] 解析：) 3.(x一y)024的二项展开式中，第m项的二项式系 数是 ) 令12一4r=0,则r=3,所以常数项为 A.C B.C T4=(-1)3C8=-4. C.C D.(-1)m1C2 答案：一4 解析：C [二项展开式第m项的二项式系数为 C224] 8(+) 的展开式中的常数项等于，有理项共有 的展开式中x2y的系数是 项！ A.-20 B.-5 C.5 D.20 解析：(+) 的展开式的通项为 解析：A (-2y) T,+1=C(W)- =C525(-2)'x5-'y, 当6-3r=0时，r=2, 当r=3时，系数为C2-5(-2)3=-20.故选A.] 2 5.(多选)在(e-) 此时常数项为C=15. 的展开式中，常数项为15，则 下列选项中不可作为n取值的是 ( 当，产为垫数时，对应的项为有理项。 A.3B.4 C.5 D.6 因为r∈N且r≤6，所以r可取0,2,4,6，故共有4 解析：ABC[二项展开式的通项为T+1= 项为有理项. cc(-) =(-1)C·x2,根据常数项 答案：154 9.(1一√)°(1十)的展开式中x的系数是 是15，可得2n=3k,且(-1)·C=15,验证n=6 时，k=4符合题意，故选ABC.] 解析：法一：（双通项法）(1一√)的展开式的通项 6.(多选)已知(x-1)5=a。十a1(x+1)+a2(x+1)2 为C·(一√)m=C(-1)mx兰，(1十√元)的展开 十…十a5(x十1)，则 式的通项为C(√)”=Cx,则(1一√E)°(1十 A.a。=-32 √)的展开式的通项为C(-1)mCx兰+，其中m B.a2=-80 C.a3十4a4=0 =01,2,…,6m=0,1,2,3,4.令受+号=1，得m D.ao十a1十…十a5=1 +n=2,于是(1-√)(1+√)的展开式中x的 ·40· 第六章计数原理 系数等于C%·(-1)°·C+C%·(-1)1·C+ [能力提升] C%·(-1)2·C°=-3. 展开式中的常数项为 法二：(1-√)(1+√)4=[(1-√)(1+√E)](1 A.1 B.11 -√)2=(1-x)'(1-2√E+x). C.-19 D.51 于是(1一√)(1十√E)4的展开式中x的系数为 解析：B C°·1+C4·(-1)1·1=-3. (-+=+(e]则共 答案：一3 展开式的通项T=C()(共中=0,1， 10求(：-) 的二项展开式、 2,3,4,5).要求原式的展开式中的常数项，需求 解：法一：直接利用二项式定理展开并化简 (-)的展开式中的常数项，()的展 （2x-)=c2x)-C2ay·+c2x) 开式的项T=C() ·()-c2·日)+2·) (一1)C4x-r(其中r=0,1,2,…,k),根据题意， 令k一2r=0,则k=2r,即k是2的倍数，所以k= c心·（）=32-0r+29+9 0,2,4,所以原式的展开式中的常数项为C一 CC十CC=11,故选B.] 法二：先化简再展开 〔2，)[ex-]-六1-2a) 13若二项式（一会）a>0)的展开式中产的系数 为A,常数项为B,且B=4A,求a的值. [1-C·2r+Cg(2x-C2xy+ 解：T+1=Cx =(-a)rC6x￥， C(2x3)4-C(2x3)5] 令6-号-3，则=2，得A=C口=150： -80x2+32x. 令6-号-=0，则=4，得B=C·a=15a 的展开式中第三项的系数比第二 由B=4A可得a2=4,又a>0,.a=2. 项的系数大162，求： [素养培优] (1)n的值： 14若(+-2 的展开式的常数项为一20，求n (2)展开式中的含x3的项 的值 解：)因为T,=C(@()=4C,宁， 解：当>0时，（+士2八=（6-)” 1=C()-2c,+ 共通项为T=C〔局》 依题意得4C?+2C,=162, 所以2C%+C=81, =(-1)'Cn(WE)2-r 令2m-2r=0,得n=r, 所以n2=81,即n=9. 所以展开式的常数项为（一1）”C2m;当x<0时， (2设第r中1项含，则T+=C() (+士-八=-(+) =(-2)yCx学， 同理可得，展开式的常数项为（一1）”C2· 所以”-8=1，所以第二项为含的项， 无论哪一种情况，常数项均为（一1）”C2, T2=-2Cx3=-18.x. 令(-1)”C2m=一20.把n=1,2,3…,逐个代入， 得n=3. ·41·