6.1.2 基本计数原理的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

6.1.2 基本 课程标准 1.熟练应用两个计数原理 2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题 课前 [情境引入] 某政协委员从泉城济南前往北京参加会议，他有 两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车，假如这 天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车有4个班次. 问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷 途径？ 问题2：如果该委员先从家乡乘坐汽车到达济南市， 再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班， 飞机有3个航班，此委员想从家乡到达北京共有多 少种途径？ [知识梳理] [知识点一]两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 不 每步依次完成才算 同 每类方案中的每一种 完成这件事（每步中 点 方法都能独立完成这 件事 的一种方法不能独 立完成这件事) 注意点类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 [知识点二]两个计数原理的应用 解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理 综合应用.使用时要做到目的明确，层次分明，先 后有序，还需特别注意以下两点： (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两 个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是 “分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准 分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥 (保证不重复)；②总数要完备（保证不遗漏），也就 是要确定一个合理的分类标准.分步时应按事件发 第六章计数原理 数原理的应用 素养解读 借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养 通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养 预习学案 对应学生用书P6 生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相 独立，互不干扰，并确保连续性， (2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位 置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确 定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出 解题过程中的主次思想. [预习自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方 法可以相同。 (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教 室里的座位编号，总共能编出26十10=36（种）不同 的号码. () (3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完 成这件事. () 提示：(1)×在分类加法计数原理中，两类不同方 案中的方法是不同的，若相同它只能在同一类方案 中且只能算是一种方法. (2)/因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0~9 共有10个，所以总共可以编出26十10=36（种）不 同的号码 (3)√在分类加法计数原理中的每一种办法都是 独立的，可单独完成这件事. 2.某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从 中选一人担任学生会主席，共有 种不同的 选法 A.100 B.102 C.152 D.50 解析：C[这名学生会主席可能是一班学生，可能是 二班学生，也可能是三班学生.依分类加法计数原理， 共有50+50十52=152（种）不同选法.] 3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤， 如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配 法种数为 A.7B.12C.64D.81 解析：B[完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上 衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同 的选法.所以根据分步乘法计数原理共有4×3= 12(种)不同的搭配方法.] 数学·选择性必修第三册 4.用1,2,3这三个数字能写出 个没有重复 数字的偶数. 解析：用1,2,3这三个数字能写出1个一位偶 数，2； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的 两位偶数，12,32； ● 课堂。 题型一 组数问题 [例1]用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数 字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2000大的四位偶数？ [思路点拨](1)用分步乘法计数原理求解； (2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原 理求解； (3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是 2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解. 解：(1)分步解决. 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选 取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选 取方法； 第三步；选取左边第三个位置上的数字，有4种选 取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选 取方法 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共 有6×5×4×3=360（个）. (2)分步解决. 第一步：首位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法. 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3=300(个). (3)法一：按末位是0,2,4分为三类： 第一类：末位是0的有4×4×3=48（个）： 第二类：末位是2的有3×4×3=36（个）； 第三类：末位是4的有3×4×3=36（个）. 则由分类加法计数原理有N=48+36+36=120(个). 法二：按千位是2,3,4,5分四类： 第一类：千位是2的有2×4×3=24（个）； 第二类：千位是3的有3×4×3=36（个）； 第三类：千位是4的有2×4×3=24（个）： ·8 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的 三位偶数，132,312. 所以用1,2,3这三个数字共能写出5个没有重复 数字的偶数 答案：5 互动学案 对应学生用书P7 第四类：千位是5的有3×4×3=36（个）. 则由分类加法计数原理有N=24+36+24+36=120 (个). 法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四 位偶数分两类： 第一类：末位是0的有5×4×3=60（个）； 第二类：末位是2或4的有2×4×4×3=96（个）. 共有60+96=156（个）. 其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3= 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有156一36=120（个）. 规律方法 对于组数问题，应掌握以下原则： 1.明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类” 还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或 首位)分类，分类中再按特殊位置（或特殊元 素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多， 可采用间接法求解. 2.要注意数字“0”不能排在两位或两位以上的数 的最高位。 ◇[变式训练] 1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组 成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A.24 B.18 C.12 D.6 解析：B[由于三位数是奇数，分两类：奇偶奇和偶 奇奇.(1)若是奇偶奇，则个位有3种选择，十位有2 种选择，百位有2种选择，共有3×2×2=12（个）奇 数；(2)若是偶奇奇，则个位有3种选择，十位有2 种选择，百位不能选0，有1种选择，共有3×2×1 =6(个)奇数.因此总共有12+6=18（种）情况.] 题型二 选（抽）取与分配问题 [例2]高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进 行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何 工厂可自由选择，则不同的分配方案有 A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 汇思路点拨]由于去甲工厂的班级分配情况较多， 而其对立面较少，可考虑间接法求解。 解析：C[法一：（直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类： 第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有 1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一 个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3=9 (种)； 第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其 他三个工厂，其分配方案共有3×3×3=27（种）. 综上所述，不同的分配方案有1+9+27=37（种）. 法二：（间接法） 先计算三个班自由选择去工厂的总数，再扣除甲工厂 无人去的情况，即4×4×4一3×3×3=37（种）方案.] 规律方法 解决抽取（分配）问题的方法 1.当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树 状图法、框图法或者图表法. 2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： (1)直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数 原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进 行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行. (2)间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法 数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数 即可： ◇[变式训练] 2.3个不同的小球放人5个不同的盒子里，每个盒子 至多放一个小球，共有多少种方法？ 解：（以小球为研究对象）分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择 根据分步乘法计数原理得： 共有方法数V=5×4×3=60(种). 题型三 涂色（种植）问题 [例3]将3种作物全部种植在如图所示的5块试验 田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种 同一种作物，则不同的种植方法共有 种. 汇思路点拨]对不相邻的地块种植作物可能相同 也可能不同进行讨论. 解析：分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块 田，有3种方法，不妨设放入，再安排第二块田，有 两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有两种方 法a或c. ①若第三块田放c: a bc 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2=4（种）方法. 第六章计数原理 ②若第三块田放a: a b a 第四块有b或c两种方法， (i)若第四块放c: ba c 第五块有2种方法； (ⅱ)若第四块放b: b ab 第五块只能种作物c,共1种方法。 综上，共有3×2×(2×2+2+1)=42（种）方法. 答案：42 [例4]将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示 “田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻 两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有 多少种不同的涂色方法？ 2 3 汇思路点拔]注意小方格中第2个和第3个所涂 颜色可能相同，也可能不同，故应分两类：所涂颜色 相同和不同，分别求解 解：第1个小方格可以从5种颜色中选任何一种颜 色涂上，有5种不同的涂法」 ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3 =12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的 涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3= 180(种)不同的涂法. ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂 法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4 =80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得共有180+80=260（种） 不同的涂法. ：规律方法 解决涂色（种植）问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有 几种常用方法： 1.按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步 乘法计数原理分析 2.以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段” 等问题，用分类加法计数原理分析. 3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 问题. 4.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法 计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分 类，用分类加法计数原理计数 数学·选择性必修第三册 ⊙[变式训练] 3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部 分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽 种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则共 有 种不同的栽种方法。 解析：分两大类 第一大类，6,5,1,2四部分栽种4种不同颜色的 花，共分两步 第1步，在6,5,1,2四部分栽种不同颜色的花，共 有4×3×2×1=24（种）不同栽法； 第2步，栽种3,4部分，又有两类.第1类，3与6栽 种的颜色相同，4与2栽种的颜色相同，有1种栽 法；第2类，3与5栽种的颜色相同，4与2或6栽 种的颜色相同，有2种栽法，共有1十2=3（种） 栽法 由分步乘法计数原理，第一大类共有24×3=72（种） 不同的栽种方法， 第二大类，在6,5,1,2四部分中，2与5栽种的颜色 相同，可分三步. 第1步，栽种6,5,1部分，可从4种颜色的花中选3 种进行栽种，有4×3×2=24（种）栽法； 第2步，栽种第2部分，与5相同，有1种栽法； 第3步，栽种3,4部分，又有两类.第1类，3与6相 同，4栽种剩余的第4种颜色的花，有1种栽法；第 2类，3栽种剩余第4种颜色的花，4与6栽种相同 颜色的花，有1种栽法，共有2种栽法. 由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2= 48(种)不同的栽种方法.故共有72十48=120（种） 不同的栽种方法。 答案：120 [当堂达标] 1.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定 去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选 择共有 () A.10种B.60种C.125种D.243种 解析：D[五人去看三部电影，每人只看一部电 影，则不同的选择共有35=243种，故选D.] 2.用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为 () A.243B.252C.261 D.648 ·1 解析：B[0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900（个） 三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8 648(个)，所以有重复数字的三位数有900一648= 252(个).] 3.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动 人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被 伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3， …,8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个 区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相 同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色 相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同 的涂色方案有 种 解析：根据题意，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即 可确定整个伞面的涂色.先涂区域1，有6种选择， 再涂区域2，有5种选择，当区域3与区域1涂的颜 色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4 种选择：当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下 的区域4有5种选择，故不同的涂色方案有6×5× (4×4+5)种=630种. 答案：630 4.5名班委员进行分工，其中A不适合当班长，B只 适合当学习委员，则不同的分工方案种数为 解析：根据题意，B只适合当学习委员，有1种情 况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安 排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3X2×1= 6(种)情况，由分步乘法计数原理，可得出共有1× 3×6=18(种)分工方案. 答案：18 5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必 须种植，不同的种植方法有多少种？ 解：法一：（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有 3×2×1=6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在 第二块、第三块土地上均有3×2×1=6（种）不同的 种植方法.故不同的种植方法共有6×3=18（种）. 法二：（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地 上，有4×3×2=24种方法，其中不种黄瓜有3×2× 1=6(种)方法，故共有24一6=18（种）不同的种植 方法 课后。 ● [基础过关] 1.某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某 次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同 的选派方案有 ( A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 解析：D[可按女生人数分类：若选派一名女生， 有2×3=6（种）；若选派2名女生，则有3种.由分 类加法计数原理，共有9种不同的选派方法.] 2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数 字相加，其和为偶数的不同取法的种数为() A.30B.20C.10D.6 解析：D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个 不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的 两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是 奇数，共有3种取法，故由分类加法计数原理得，共 有N=3十3=6（种）取法.] 3.从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字 作为平面直角坐标系中点（α，b)的坐标，能够确定 不在x轴上的点的个数是 () A.100B.90 C.81 D.72 解析：C[分两步：第一步选b,因为b≠0，所以有9 种选法；第二步选a,因为a≠b,所以有9种选法. 由分步乘法计数原理知共有9×9=81（个）点.] 4.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程 (x一a)2+(y一b)2=r2可表示的不同圆的个数是 A.6 B.9C.16D.24 解析：D[确定一个圆的方程可分为三个步骤：第 一步，确定Q,有3种选法；第二步，确定b,有2种 选法；第三步，确定”，有4种选法.由分步乘法计数 原理得，不同圆的个数为3×2×4=24.] 5.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中， 到“东亚文化之都一泉州”两日游，若他们不同一 天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有() A.16种 B.18种 C.20种 D.24种 解析：C[任意相邻两天组合一起，一共有6种情 况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选 ①②和⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③ 或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他 们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共 有2×4+4×3=20（种）.] ·1 第六章计数原理 素养提升 对应学生课时P161 6.(多选)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙 两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤 菜，则下列说法中正确的是 () A.甲若选一种荤菜，则有6种选法 B.乙的选菜方法数为9 C.若两人分别打菜，总的方法数为18 D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同， 则方法数为30 解析：AB[若甲打一荤一素，则有C2×C=6种 选法，故A选项正确；若乙打一荤一素，则有6种选 法，若打两素，则有C=3种选法，共9种选法，故 B选项正确；选项C,两人分别打菜，由选项B知每 个人可有9种打法，故应为9×9=81种方法；选项 D可分为荤菜相同或素菜相同两种情况，共2×3X 2+3×2×1=18种.] 7.甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生，现准备推 选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生 代表大会，共有 种推选方法. 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据 分步乘法计数原理，有3×5=15（种）选法；②甲班 选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有 3×2=6(种)选法；③乙班选1名，丙班选1名，根 据分步乘法计数原理，有5×2=10（种）选法.综 上，根据分类加法计数原理，共有15十6+10=31 (种)推选方法. 答案：31 8.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a, b,c.三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三 个数字时称为“有缘数”（如213,134等）若a,b,c∈ {1,2,3,4,5},且a,b,c互不相同，则这个三位数为 “有缘数”共个. 解析：根据题意知在1,2,3,4,5中，能组成有缘数 的组合有：1,2,3；1,3,4；1,4,5；2,3,5；由1,2,3组 成的三位自然数为123,132,213,231,312,321， “有缘数”共6个；同理：由1,3,4组成的三位数为 “有缘数”是6个： 由1,4,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2,3,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：4×6个=24个. 9.如图所示，将一个四棱锥的每一个 顶点染上一种颜色，并使同一条棱 上的两个端点异色，如果只有5种 颜色可供使用，则不同染色方法的 总数为 解析：按照S→A→B→C→D的顺 数学·选择性必修第三册 序进行染色，按照A,C是否同色分类： 第一类，A,C同色，则有5×4×3×3=180（种）不 同的染色方法. 第二类，A,C不同色，则有5×4×3×2×2= 240(种)不同的染色方法. 根据分类加法计数原理，共有180十240=420（种） 不同的染色方法 答案：420 10.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个 小球，所有这些小球的颜色互不相同， (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的 取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的 取法？ 解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种 方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种 方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是5十4=9. (2)从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步 骤来完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球， 有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球， 有4种方法. 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数 是5×4=20. 11.将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成 一个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 解：(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排 个位，根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6X6 =216(个)不同的三位数. (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个 位.百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法 有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法 计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5 ×4=120(个). (3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同， 十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5= 30(个)，故满足条件的三位数共有3×30=90（个）. [能力提升] 12.某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政 策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小 华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，己知他 们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站 ·12 下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是 ( 站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 A.若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下 地铁的方案共有9种 B.若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下 地铁的方案共有18种 C.若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下 地铁的方案共有27种 D.若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先 下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不 分先后) 解析：BCD[两人共花费5元分为两类：小明花 费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有 3×3=9种，同理小明花费3元，小华花费2元时， 两人下地铁的方案也是9种，所以共有18种，A 不正确，B正确.两人共花费6元分为三类：小明 花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案 有3×3=9种；小明花费3元，小华花费3元，此 时两人下地铁的方案有3×3=9种；小明花费4 元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有3×3 =9种，共有27种，C正确.小明比小华先下地铁 有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人 下地铁的方案有9种；小明和小华均花费3元，小 明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种 方案，D正确.故选：BCD] B.从集合12,3…，山}中任选2个元素作为椭圆方程号十 1中的m和，求落在矩形区域B (xy)x11且y<9}内的椭圆个数， 解：根据题意，知当m=1时，n可等于2,3，…，8， 共对应7个不同的椭圆；当m=2时，n可以等于 1,3,4,·,8,共对应7个不同的椭圆.同理可得，当 m=3,4,5,6,7,8时，各分别对应7个不同的椭圆； 当m=9时，n可以等于1,2，…，8，共对应8个不 同的椭圆；当m二10时，共对应8个不同的椭圆. 综上所述，对应的椭圆共有7×8十8×2=72（个）. [素养培优] 14.某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照 乘客乘坐地铁的站数实施分段优惠政策，不超过 9站的地铁票价如下表所示（其中x∈N*): 乘坐 0x33x66<x9 站数 票价 2 3 (元) 第六章计数原理 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆 的乘坐站数有4,5,6三种选择，所以小华、小李下 地铁，已知他们乘坐地铁的站数都不超过9，且他 地铁的方案共有2×3X3=18(种). 们各自在每站下地铁的可能性是相同的. (2)由题表可知，若小华、小李两人共付费6元，则 (1)若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下 小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都 地铁的方案共有多少种？ 付费3元.付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选 (2)若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李 择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，付费 先下地铁的概率. 4元的乘坐站数有7,8,9三种选择，因此小华、小 解：(1)由题表可知，若小华、小李两人共付费5 李下地铁的方案共有2×3×3十3×3=27（种），其中 元，则小华、小李一人付费2元一人付费3元，付 小华比小李先下地铁的方案有3×3十3=12（种），因 费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元 北小华比小李先下地铁的瓶率为号一青 6.2 锹到与组合 6.2.1锇列 6.2.2 锇列数 第1课时 排列与排列数 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 题的所有排列 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养 2.会用排列数公式进行求值和证明 课前。预习学案 对应学生用书P9 [情境引入] ?思考1.排列中“一定顺序”的含义是什么？ 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课 提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有 后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐 关，当位置不同时排列也就不同 成一排. 2.排列定义中的两个要素是什么？ 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ 提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按 [知识梳理] 定顺序排列” [知识点一]排列的概念 3.两个排列相同的条件是什么？ 1.一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对 提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列 象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对 的顺序均相同. 象中取出m个对象的一个排列. [知识点二]排列数及排列数公式 2.特别地，m三n时的排列（即取出所有对象的排列） 称为全排列. 从n个不同对象中取出m个对象的 排列数 3.排列中元素所满足的两个特性 所有排列的个数，称为从个不同对象 的定义 中取出m个对象的排列数 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 不同的元素，否则不是排列问题」 排列数 Aw(n,m∈N,mn) (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序 的表示 的就是排列，无序的不是排列.检验它是否有顺序 AW=(1-1)(n-2)…(n 的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化， 排列 乘积式 m+1) 有变化就是有顺序，无变化就是无顺序， 数公式 阶乘式 A= n! (n-m)! ·13·