第6章 计数原理 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第六章计数原理 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40 7.已知(2十ax)(1十x)5的展开式中x2的系数为 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 25,则展开式中所有项的系数和为 ( 目要求的) A.-90 B.97 整 1.若A=2A,则m的值为 C.96 D.-98 A.5 B.3 8.算筹是在珠算发明以前我国独创的计算工具， C.6 D.7 为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算 2.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个 筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表 面不相邻的选法的种数为 ( 示数字，如表所示： 如 A.8 B.12 数字 形式 9 C.16 D.20 纵式 3.在+x)(1+) 的展开式中，含号项的系 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位 数为 用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如 A.200 B.180 图所示： C.150 D.120 ⊥T=m6728 4.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班 ⊥Tm6708 级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到 如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的 A班的分法种数为 表格中，那么可以表示的三位数的个数为 A.6 B.12 C.24 D.36 5.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文 A.46 B.44 诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读。 C.42 D.40 数学中有回文数，如343,12521等.两位数的回 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18 文数有11,22,33，…，99共9个，则在三位数的 密 分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要 回文数中偶数的个数是 ( 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 A.40 B.30 选错的得0分) C.20 D.10 9.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2025年 6.圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为 哈尔滨亚冬会志愿者服务活动，有翻译、导游、 顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是 礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误 的是 () A.16 B.24 A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数 C.32 D.48 为54 数学试题第六章 B卷第1页（共4页） B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法 13.已知(1+mx)5=a。十a1x+a2x2+…十a6x, 数为AC 若a1十a2十…十a6=63.则实数m= C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安 4在=预式〔后-) 的展开式中，若第项 排1人，则这5名同学全部被安排的不同方 的二项式系数最大，则= 法数为(CC+CC)A 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写 D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但 出文字说明、证明过程或演算步骤) 能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四 15.(本小题满分13分)(1)已知7A:=20A-1, 项工作，则不同安排方案的种数是CCA x∈N,求x的值； (2)求满足C+2C2+3C+…+nC%<2024 +C2A 的最大正整数n. 10.对于二项式(+(n∈N),以下判断正 确的有 A.存在n∈N,展开式中有常数项 B.对任意n∈N,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 11.若m,n∈N且1<m<n≤2024，则( A.C+C=C B.(n+1)Cm=(m+1)Cw+ C.A224=C2824mA D.A+1-A0=(m-1)A-1 题号 1 2 3 4 5 6 7 89 1011 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分，将答案填在题中横线上) 12.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算 经》X九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古 算经》等10部专著有着丰富多彩的内容，是了 解我国古代数学的重要文献.这10部专著中 有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这 10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课 程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是 魏晋南北朝时期专著的概率为 数学试题第六章B卷第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)在(2x一3y)°的展开式 17.(本小题满分15分)把4位男售票员和4位女 中，求： 售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售 (1)各项的二项式系数的和； 票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同 (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项 的情况. 式系数的和； (1)有几种不同的分配方法？ (3)各项系数之和. (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票 (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和. 员，有几种不同的分配方法？ (3)男售票员和女售票员分别分组，有几种不 同的分配方法？ 数学试题第六章B卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)由数字1,2,3,4,5组成无 19.(本小题满分17分)某兴趣小组有9名学生， 重复数字的五位数， 若从这9名学生中选取3人，且选取的3人中 (1)共可以组成多少个五位数？ (2)其中奇数有多少个？ 恰好有一名女生的概率是品 (3)如果将所有的五位数按从小到大的顺序排 (1)该小组中男、女学生各有多少人？ 列，43125是第几个数？说明理由. (2)9名学生站成一列，现要求女生保持相对顺 序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队， 有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答） (3)9名学生站成一列，要求男生必须两两站在 一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答） 数学试题第六章B卷第4页（共4页） 第六章 计数原理B卷 数学答题卡 姓名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 注 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 准考证号。 涂 ■ 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 例 器 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 在各 选择题(1~8小题，每小题5分，9~11小题，每小题6分，共58分) 1ABCD 4A®@回 7A BCD 10 A BCD 的 2A®g回 5 ABCD 8ABC回 11ABCD 题 3 ABCD 6A®回回 9A®@回 答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 边 12 13. 的答案无效 14 解答题：本题共5小题，共77分. 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为回2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第4页（共4页）参考 19.解析：(1)因为男选手小王必须参加，并且坐在 第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女 中，选1男2女，排在前3个位置即可，所以排 法种数为：CC号A=5×10×6种=300种. (2)完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有CC=20种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻 的排法种数为：A2A=12. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为： 20×12=240. (3)完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有： C2C4C%A4=1920种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有CCA= 240种. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为： 1920+240=2160. 第六章计数原理 B素养提升卷 1上A[依题老得m一2X化简得 (m-3)·(m一4)=2，解得m=2或m=5, 又m≥5，.m=5,故选A.] 2.B[先从正方体的3对互相平行的平面中选取 1对，选法有3种，再在剩余的4个平面中任选 1个，选法有4种，故共有3×4=12（种）.] 3.C[(√x+x)的展开式的通项为 T+1=C6(WE)s-'x'=C%x岁， 令6=4，可得r=2,则T+1=C6x学-15x. 2 (1+)的展开式的通项为T+1=C()广 Cy*,令k=2,可得T2+1=Cy2=10y2,综 上可得，含号项的系数为15X10=150.] 4.B[甲和另一个人一起分到A班有C3A= 6(种)分法，甲一个人分到A班有CA=6(种) 分法，故共有6十6=12种分法.故选B.] 5.A[由题意，若三位数的回文数是偶数，则末 (首)位可能为2,4,6,8如果末（首）位为2，中间 答案 一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位 为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以 有4×10=40（个），故选A] 6.C[圆周上8个等分点共可构成4条直径，而 直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6 个直角三角形，共有CC6=24(个)直角三角形， 锐角三角形或钝角三角形的个数为C8一CC =32(个).] 7.C[法一：因为(2+ax)(1+x)5=(2+a.x)X (1+5x+10x2+10x3+5.x4+x5), 所以x2的系数为20十5a,由题意得20+5a= 25,解得a=1.设(2+x)(1十x)5=a。十a1x十… +a6x6,令x=1,得(2+1)(1+1)5=a0+a1+ …十a6=96. 法二：由乘法分配律知(2十ax)(1十x)5的展开 式中x2的系数为2·C%+aC=20+5a, 所以20+5a=25,解得a=1, 设(2十x)(1十x)5=a十a1x十…+asx, 令x=1,得(2+1)(1+1)5=a十a1+…+a6= 96.故选C.] 8.B[按每一位数上算筹的根数分类，一共有 15种情况： (5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1), (3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3), (1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4) 由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两 个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分 别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2，故5根 算筹能表示的三位数的个数为2十2十2十4十2 +4+4+4+4+4+2+2十4+2+2=44.故 选B.] 9.ABC[每人有四项工作可以安排，所以5人都 安排一项工作的不同方法数为45，故选项A中 说法错误；每项工作至少有1人参加，则有一项 工作安排2人，其他三项工作各1人，所以共有 C1CA种不同方法数，选项B中AC是每项 工作先安排1人，还剩下1人在四项工作中选 择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安 排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译”与“戊、 乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安 数学A版·选扌 排翻译”重复计算，故选项B中说法错误；选项 C中是先分组后分配，CC2代表的是5人分成 3人，1人，1人三组，C2C代表的是5人分成 2人、2人、1人三组，然后三组人分配三项工作， 乘A,然而在分组的过程中都有重复，比如：3 人、1人、1人分组中，先选择了甲、乙、丙三人一 组，剩下丁、戊分两组只有一种分法，而不是C 种分法，故选项C中说法错误；选项D分两类考 虑，第一类：司机安排1人，方法数为C,另外 4人分3组，方法数为C(4人选2人为1组，另 外2人分2组只有一种分法)，然后3组人安排 除司机外的三项工作，方法数为A,则不同安 排方案的种数是CCA;第二类：司机安排 2人，方法数为C,剩下3人安排另外三项工 作，方法数为A,则不同安排方案的种数是 CA,由分类加法计数原理得，共有(CCA+ CA)种不同的安排方案，故选项D中说法正 确.故选ABC.] 10.AD[设二项式(2+x(n∈N)晨开式的 通项公式为T+1,则T,+1=C(】)r(x)” =Crx4r-n, 不妨令n=4,则r=1时，展开式中有常数项， 故答案A正确，答案B错误；令n=3,则r=1 时，展开式中有x的一次项，故C答案错误，D 答案正确.故答案AD.] 11.BC[由组合数的性质知C十C%1=C+1,故 A错误；因为（n+1)Cw=(n+1)· n! =(n+1)！ m！(n-m)I-m!(n-m)1,(m+1)C+= (n+1)！ (n+1)！ (m+1）·(n-m)1(m+1)1-m!(n-m)I' 故(n+1)C%=(m+1)C+,故B正确；由 C2024= 024,得A2024=C2024Am=C%824mA) 故C正确；A+!-A:=(m十1-m) (n+1)! n! (n+1)n! (n-m)！(n十1-m)·(n-m)！(n-m)I 泽性必修第三册 (n+1-1 n！ (n+1-m （n-m) =m nl [n-(m-1)=mA1,故D错误.] 12.解析：从10部专著中选择2部的所有可能情 况有C。=45种， 所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时 期的专著的可能情况有CC?十C2=42种，故 所求概率为42=14 45151 答案 13.解析：由题设知，a。=1,令x=1,得a。十a1十a2 +…十a6=(1+m)5,即(1十m)5=64,故1+m =±2，m=1或-3. 答案：1或-3 14.解析：由二项式系数的对称性及增减性知，当1 ≤k≤1013，k∈N时，二项式系数C2随项 数k的增大而增大，当1014≤k≤2025，k∈ N时，二项式系数C吃2随项数k的增大而减 小，且C82号=Cg82,故k=1013或1014. 答案：k=1013或1014. 15.解：1)由已知得7×6=20×82 7！ 化简得x2-15x十36=0， 解得x=3或x=12. 因为/xs6, 所以x=3. x-1≤7， (2)法一：因为mCm=nC%,所以C十2C%十 3C%+…十nC%=nC%-1十nC-1+nC%-1+… +nC-<2024, 即n(C-1+C0-1+C%-1+…+C-)<2024, 所以n·2-1<2024(n∈N),解得1≤n≤8. 所以n的最大值为8. 法二：(1十x)"=C%十Cx十C%x2+Cx3+… +C"x", .两边同时对x求导得n(1十x)"1=C十 2C2x+3Cx2+…+nCx"-1, 令x=1,得n×2"-1<2024(n∈N),解得n≤ 8.所以n的最大值为8. 参考 16.解：(1)各项的二项式系数的和为C。十C1。十 C。+…+C18=210=1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C。十C。十… +C1。=2°=512； 偶数项的二项式系数的和为C。十C。十…十 C。=2°=512. (3)设(2x-3y)10=ax20+a1x°y十a2xy2+ …十a1oy0(*),各项系数之和即为a十a1十 a2+…十a10, 由于()是恒等式，故可用“赋值法”求解。 令（￥）中x=y=1,得各项系数之和为(2一 3)10=(-1)10=1. (4)奇数项系数的和为a0十a2十a4十…十a10, 偶数项系数的和为a1十a3十a5十…十ag. 由(3)知a十a1十a2+…+a1o=1. ① 令(*)中x=1,y=-1,得a-a1十a2-a3十 …+a1o=510.② ①+②，得2(a。十a2十…十a1o)=1+51°， 故奇数项系数的和为1十5”， 2； ①-②，得2(a1十a3十…十a)=1-510, 故偶数项系数的和为1一5 2 17.解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2 人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一 辆车，共有C⑧种，再安排第二辆车共有C种， 再安排第三辆车共有C子种，最后安排第四辆 车共有C种，这样不同的分配方法有C·C· C·C=2520(种). (2)要求男女各1人，因此先把男售票员安排 上车，共有A种不同方法，同理，女售票员也 有A种方法，由分步乘法计数原理，男女各1 人的不同分配方法为A4·A=576(种) (3)男女分别分组，4位男售票员平分成两组共 有-3种不同分法，4位女倍票员平分成两 组也有号-8种不同分法，这料分组方法或有 3×3=9(种)，对于其中每一种分法又有A种 上车方法，因而不同的分配方法有9·A= 216(种). ·5 答案 18.解：(1)由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的 五位数，共可以组成A=120(个)五位数， (2)由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数 奇数中，个位数字必须从1,3,5中选出，共有 C种结果. 其余四个位置可以用其他四个数字在四个位 置进行全排列，共有A种结果， 根据分步乘法计数原理得到共有奇数CA= 72(个) (3)考虑大于43125的数，分四类讨论： ①5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A= 24(个). ②4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列 即可，有A=6(个) ③4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数 字全排列即可，共有A=2(个). ④除上述情况，还有43215,43251,43152共 3个数 由(1)知共可以组成120个五位数，则不大于 43125的五位数有120-(24+6+2+3)= 85(个).所以 43125是第85个数. 19.解：1)设男生有x人，则CC二=-15 C。 281 即x(x-1)(9一x)=90,解得x=6.经检验符 合题意，故男生有6人，女生有3人 (2)由(1)知，男生有6人，女生有3人. 法一： 第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位 置，共有A；=60480(种)方法； 第二步：余下的位置让3名女生去站，因为要 保持相对顺序不变，故只有1种选择，因此一 共有60480×1一1=60479（种）重新站队 的方法 法二： 9名学生站队共有A种站队方法， 3名女生有A种站队顺序， 因此一共有 =60480(种)站队方法， 所以重新站队的方法有60480一1=60479. 数学A版·选择性必修第三册 (3)由(1)知，男生有6人，女生有3人，第 “P(X≥3)=21-P(1<X<3)=0.32.故 一步： 将6名男生分成3组，每组2人，共有CCC=15 选B.] A 7.A :[:随机变量X的分布列为P(X=)= 2, (种)分法； 第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插 k=1,2,…,10, 入她们形成的空中，共有AA=144种站队 含=号+++…+品=a… 方法； 第三步：3组男生中每组男生站队方法都有 (A)3=23(种)， 12 1023' 故一共有15×144×23=17280（种）站队 1024 方法. P(3≤X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=1023 第七章随机变量及其分布 P 1024 A卷基础达标卷 +1023-64 1.C[因为某人通过普通话二级测试的概率是 2 341故选A.] 是，他连续测试3次，所以其中拾有1次通过的 8.B [由题得小汽车的普及率为3 4 概年定：P=C宁1-子=器] A.这5个家庭均有小汽车的概率为 2.B[由条件概率公式得P(BA)=PCAB)=」 2 243 P(A)1 1024,所以该命题是真命题； ×号-日故选B] B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的 3.B[设发生车祸的车辆数为X, 为c()()月 2,所以该命题是假 =13 则X~B(1000,0.001).记事件A为“公路上发 命题； 生车祸”，则P(A)=1-P(X=0)=1 C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车， 0.999000≈1-0.36770=0.6323，故选B.] 是真命题； 4.A[因为B(n,p),所以E()=np=3,D()= D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭) p1-p)=是所以3(1-p》=号，解得p 拥有小汽车的概率为 子所以n=12.] ()()+()=器 5.A[,一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰 所以该命题是真命题.] 9.ACD[由离散型随机变量分布列的性质知a 好出现2救硬币均正面向上的概率为合×号 +4a十5a=1,∴.a=0.1,故A正确；由a=0.1 1 知，P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X= 9 2)=0.5,.均值 X~B(4,)EX0=4X-1. E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,C正 故选A.] 确；方差D(X)=(0-1.4)2×0.1十(1-1.4)2 6.B[,随机变量X~N(2,o),且P(1<X<3) ×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+ =0.36. 0.18=0.44,故B错误，D正确.] ·6…