4. 第1课时 利用磁场控制带电粒子运动-【金版新学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（教科版）

4．洛伦兹力的应用 第1课时　利用磁场控制带电粒子运动 【素养目标】　1.认识电视显像管的基本构造及工作的基本原理，理解可以利用磁场控制带电粒子的运动。　2.能熟练画出粒子在有界磁场中的轨迹，并总结归纳处理该问题的方法。　3.会分析带电粒子在磁场中运动的临界问题和多解问题。 知识点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．确定圆心位置的两种方法 (1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．求解运动半径的三种方法 (1)根据半径公式r＝求解。 (2)根据勾股定理求解。如图，若已知出射点相对于入射点下移了x，磁场的宽度为d，则有 r2＝d2＋(r－x)2。 (3)根据三角函数求解。如图，若已知出射速度方向与入射速度方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有r＝。 3．确定运动时间的两种方法 (1)利用粒子运动的圆弧所对应的圆心角α求解。运动时间t＝T(或t＝T)。 (2)利用粒子在磁场中运动的弧长s和速率v求解。运动时间t＝或t＝T。 4．圆心角与偏向角、弦切角的关系 (1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。 (2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。 单边界 (多选)(2025·广东东莞高二期中)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是(　　) A．M带负电，N带正电 B．M的速率小于N的速率 C．洛伦兹力对M做正功，对N做负功 D．M的运行时间等于N的运行时间 答案：AD 解析：由左手定则判断出M带负电荷，N带正电荷，故A正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得R＝，由题图可知N的半径小于M的半径，所以M的速率大于N的速率，故B错误；洛伦兹力方向与速度方向始终垂直，所以洛伦兹力对粒子不做功，故C错误；粒子在磁场中运动半周，即时间为其周期的一半，而周期为T＝，与粒子运动的速度无关，所以M的运行时间等于N的运行时间，故D正确。 学生用书第19页 1.“三步法”处理带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动问题 2．如图甲、乙、丙所示，d为出射点和入射点间的距离，带电粒子进出单边界匀强磁场时具有对称性，射入和射出磁场时速度与边界夹角大小相等。 　　 针对练1.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(　　) A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远 答案：C 解析：粒子运动周期T＝，当θ一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T，角速度ω＝，可知t、ω均与v无关，A、B错误。当v一定时，由t＝T知，θ越大，粒子在磁场中运动的时间越短，C正确。当v一定时，由r＝知，r一定，当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，D错误。 针对练2.(2025·陕西西安长安一中高二期末)如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的(　　) A．轨迹半径之比为1∶ B．比荷之比为2∶1 C．时间之比为3∶2 D．周期之比为2∶1 答案：B 解析：粒子1和粒子2的圆心O1和O2，如图所示，粒子1的半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由牛顿第二定律可得qvB＝m，化简可得＝∝，可知比荷之比为2∶1，B正确；周期T＝∝，故两粒子周期之比为1∶2，D错误；速度的偏转角等于圆心角，故粒子的运动时间t＝T＝∝θ·，故它们在磁场中运动的时间之比为3∶4，C错误。故选B。 平行边界 (多选)(2025·广东汕头高二校考)如图，在正方形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，M、N分别为AB及CD的中点。将一个带正电的粒子在A点沿AD方向以速度v射入匀强磁场，该粒子恰好从B点射出。不计粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．若粒子射入的速度为2v，则粒子从M点射出 B．若粒子射入的速度为2v，则粒子从C点射出 C.若粒子射入的速度为，则粒子从N点射出 D．若粒子射入的速度为，则粒子从M点射出 答案：BD 解析：设正方形区域边长为2a，那么当粒子速度为v时，做圆周运动半径为a＝，若粒子射入的速度为2v，根据公式r1＝，可得r1＝2a，粒子从C点射出，故A错误，B正确；若粒子射入的速度为，则r2＝，粒子从M点射出，故C错误，D正确。故选B、D。 带电粒子在平行边界磁场运动的常见情况 对于平行边界的磁场，常常涉及带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，常见有两种情景： 1．粒子从磁场边界的端点飞出，如图甲所示。 2．粒子的轨迹恰好与磁场边界相切，如图乙、丙所示。 　　学生用书第20页 针对练．如图所示，矩形区域Ⅰ内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场区域。aa′、bb′为相互平行的磁场边界线，矩形磁场区域的长度足够长，宽度均为L。某种带正电的粒子从aa′上的O1处以大小不同的速率沿与O1a成α＝30°角的方向进入区域Ⅰ内磁场。已知带电粒子的质量为m，带电量为＋q，忽略带电粒子间的作用力，不计带电粒子的重力。求： (1)以速率v1入射的粒子恰好不能从右侧离开区域Ⅰ，求v1； (2)以速率v2(v2<v1)入射的粒子在区域Ⅰ内的运动时间t； (3)以速率v3入射的粒子在区域Ⅰ内的运动时间为第(2)问所求时间t的，求v3。 答案：(1)　 (2)　 (3) 解析：(1) 粒子恰好不能从右侧离开区域Ⅰ，则粒子速度与磁场右侧边界相切，如图 根据几何关系有L＝r1cos α＋r1 可得做圆周运动的半径r1＝ L 粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有qv1B＝m 解得v1＝。 (2)以小于v1的速度v2射入的粒子，结合几何关系可知在区域Ⅰ内做圆周运动的圆心角β＝300° 又T＝ 则速率v2入射的粒子在区域Ⅰ内的运动时间t＝T＝。 (3)以速率v3入射的粒子在区域Ⅰ内的运动时间为，可知其在区域Ⅰ磁场的偏转角为60°，结合几何关系可知其轨道半径为r3＝L 根据牛顿第二定律有qv3B＝m 解得v3＝。 圆形边界 (多选)(2022·辽宁高考)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是(　　) A．粒子1可能为中子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 答案：AD 解析：由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子，粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确，B错误；由以上分析可知粒子1不带电，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。故选A、D。 带电粒子在圆形边界磁场运动的常见情况 粒子进出圆形边界的磁场具有对称性，常见以下两种情景： 1．如图甲所示，粒子沿半径方向射入必沿半径方向射出。 2．如图乙所示，粒子不沿半径方向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ。 针对练1.(2025·广东广州高二统考开学考试)两个质量、电荷量均相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。粒子重力不计，则下列说法正确的是(　　) A．a粒子带正电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子在磁场中运动的速率较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 答案：C 解析：根据左手定则可以判断出a带负电，b带正电，选项A错误；由题图看出粒子a的偏转半径较小，根据洛伦兹力提供向心力可知Bqv＝m，解得R＝，故半径小的速率也小，则再由F洛＝Bqv，速度小的洛伦兹力就小，故a粒子在磁场中所受洛伦兹力较小，选项B错误，C正确；又因为粒子在磁场中的周期为T＝，粒子的质量m、电荷量q都相等，故周期相等，但b粒子在磁场中的偏转角比较小，故由粒子在磁场中的时间t＝T，可知b粒子在磁场中运动时间较短，选项D错误。故选C。 针对练2.(多选)(2025·广东潮州高二校考)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场， 学生用书第21页 一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是(　　) A．粒子带负电 B．速度v1小于速度v2 C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长 D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大 答案：BC解析：根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；根据牛顿第二定律有qvB＝，解得v＝，在图中作出两次运动轨迹对应的圆心，及出射点、入射点所在半径，如图所示，根据图中轨迹可知R1<R2，则有v1<v2，故B正确；粒子在磁场中的运动周期为T＝，粒子在磁场中的运动时间为t＝T，由图可知运动轨迹为PN对应的圆心角大于运动轨迹为PM对应的圆心角，故粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确；粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为F＝qvB，v1<v2，可知F1<F2，故D错误。故选B、C。 知识点二　带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题 如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、电荷量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为(　　) A． B． C． D． [解题指导]　要分析粒子打在屏MN的区域长度，需分析打在MN上的最远点和最近点，所有粒子做圆周运动的半径相等，因此沿PC射入粒子打在MN上的点距P最远，沿与PN成(90°－θ)角射入粒子打在MN上的点距P最近。 答案：D 解析：如图所示，能打到的范围中最远点为2R处，其中R为轨迹半径，R＝，最近点为2R cos θ处，所以总长度L＝2R－2R cos θ＝。 1．一个“解题流程”，突破临界问题 2．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态予以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。　　 针对练1. (2025·江苏南通统考期末)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，边长ab＝bc＝cd＝ad＝l。一质量为m、电荷量为－q的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子能从bc边射出，粒子的速度不可能为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案：C 解析：为使粒子能从bc边射出，其临界点为b、c，其几何关系如图所示，当粒子过b点时，做圆周运动的圆心在O1，根据几何关系可知r1＝ab＝l，根据牛顿第二定律可知qBv1＝m，解得v1＝；当粒子过c点时，做圆周运动的圆心在O2，根据几何关系可知r2＝l，根据牛顿第二定律可知qBv2＝m，解得v2＝；所以为使粒子能从bc边射出，速度范围为≤v≤。 针对练2. 如图所示，边长为l的正三角形abc(含边界)内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以大小不等的速度从a点沿ad方向射入磁场，ad与ab的夹角为30°。下列判断正确的是(　　) A．若能从ac边射出，则粒子的速度v≥ B．若能从bc边射出，则粒子的速度v≤ C．若粒子的速度v＝，则恰好从c点射出 D．若粒子所带电荷量为－q，则会从bc的中点射出 答案：C 解析：若粒子刚好能从c点射出，由几何关系知R＝l，据牛顿第二定律有Bqv＝m，解得v＝；若能从ac边射出，则粒子的速度v≤；若能从bc边射出，则粒子的速度v≥，A、B错误，C正确。粒子带负电，向ab一侧偏转，不一定会从bc的中点射出，D错误。 学生用书第22页 知识点三　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 带电粒子在匀强磁场中运动多解的三种情形 类型 分析 图例 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直匀强磁场进入，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定　 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示，带正电粒子以速度v垂直匀强磁场进入，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一　 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越平行边界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 带电粒子电性不确定形成多解 (多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速度v的最大值可能是(　　) A．(q为正电荷) B．(q为负电荷) C．(q为正电荷) D．(q为负电荷) 答案：AD 解析：若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN′相切的圆弧，轨迹半径R＝，又d＝R－R cos 45°，解得v＝，故A正确，B错误；若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN′相切的圆弧，则有R′＝，d＝R′＋R′cos 45°，解得v′＝，故C错误，D正确。 磁场方向不确定形成多解 (多选) 如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为x，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> 答案：BC 解析：当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2 ＝OB sin 30°＝OB，而OB＝x＋R2，故R2＝x，所以当离子运动轨迹的半径小于x时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvB＝，解得B>，A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvB＝，解得B>，C正确，D错误。 临界状态不唯一形成多解 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒 学生用书第23页 子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v＜ B．使粒子的速度v＞ C．使粒子的速度v＞ D．使粒子的速度 ＜v＜ 答案：AB 解析：欲使粒子不打在极板上，如图所示，带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中圆周运动的半径r＜，粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，所以粒子从左边射出不打到极板上满足＜即v＜；带正电的粒子从右边射出时，如图所示，此时粒子的最小半径为r′，由图可知r′2＝l2＋，可得粒子做圆周运动的最小半径r′＝，则＞，即v＞，故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜或v＞，故选项A、B正确。 1．(多选)(选自鲁科版教材章末练习) 如图所示，在圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。带电粒子(不计重力)第一次以速度v1沿直径射入，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向射入，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°。带电粒子第一次和第二次在磁场中运动时(　　) A．半径之比为 ∶1　　　 B．速度之比为1∶ C．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2 答案：AC 解析：设圆形区域半径为R，粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可知r1＝R tan 60°＝R，r2＝R，故轨迹半径之比为r1∶r2＝R∶R＝∶1，由v＝可知v1∶v2＝∶1，故A正确，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角θ1＝60°，θ2＝90°，粒子在磁场中的运动时间t＝T，粒子的运动时间之比＝＝，故C正确，D错误。 2．(2025·湖南长沙师范附中期中)如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q。不计粒子重力。粒子以下列速度发射时其中不能通过D点的是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：粒子运动过程中只受洛伦兹力作用，故粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝。由左手定则可得，粒子在三角形内沿逆时针方向做圆周运动，在三角形外沿顺时针方向做圆周运动，且粒子做圆周运动的轨道半径均相同，其轨迹如图所示，根据几何关系可得，粒子在同一条边上每两次经过边界时在边界上的距离为r，故要使粒子通过D点，则有r＝(n＝1，2，3，…)，故能通过D点的粒子速度大小v＝(n＝1，2，3，…)，故选C。 3．(多选)(2025·四川成都模拟)如图所示，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子a垂直于挡板从板上的小孔O射入磁场，另一带电粒子b垂直于磁场且与挡板成θ角射入磁场，a、b初速度大小相等，两粒子恰好都打在板上同一点P(图中未标出)，并立即被挡板吸收。不计粒子重力及两粒子间相互作用，下列说法正确的是(　　) A．a、b的电性一定相同 B．a、b的比荷之比为 C．若P在O点左侧，则a在磁场中的运动时间比b的长 D．若P在O点右侧，则a在磁场中的运动路程比b的小 答案：AB 解析：根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，根据左手定则可知两粒子的电性相同，A正确。假设两粒子都带正电，粒子的运动轨迹如图甲所示，P点在O点的左侧，根据几何知识有sin θ＝，又由牛顿第二定律有qvB＝m，得＝，所以＝，该种情况下a粒子做圆周运动的路程小于b粒子的路程，因a、b两粒子的速度大小相等，所以a粒子的运动时间比b粒子的小；当两粒子都带负电时，两粒子的运动轨迹如图乙所示，同理可得＝，该种情况下a粒子做圆周运动的路程大于b粒子的路程，所以a粒子的运动时间比b粒子的大，B正确，C、D错误。 4．(选自人教版教材课后练习与应用)如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带负荷的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成60°角，OP＝a。 (1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 答案：(1)　(2) 解析：(1)由题意画出粒子运动轨迹如图。 由几何关系知粒子运动的半径 R＝a， 由qvB＝m 联立解得B＝。 (2)由T＝得T＝＝ 则t＝＝。 学科网（北京）股份有限公司 $