1.2 第1课时 向量的加法及运算律课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.2 第1课时 向量的加法及运算律 A B C 直线距离是5公里 问题1：在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1公里)，哪吒从A点出发，先向东走3公里到B点，再向北走4公里到C点，他最终离C点的直线距离是多少？ 两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同. 位移是由两次位移和合成的结果 从运算的角度看， AC可以认为是AB与BC的和， 即位移可以看作向量的加法. 求两个向量和的运算叫做向量的加法. b a B b a+b 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． a A O 法则要领： “首尾相连,首尾连” 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则向量OB叫做a和b的和，记作a+b．即a+b= OA+AB=OB． 位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型 b a a b a+b 如果两个向量a,b的方向相同或相反，对于这种特殊情况，我们用下图来表示它们的和. a b a a+b b 方向相同 方向相反 O A B 问题2：如图，在光滑的平面上，汽车同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ C 从运算的角度看， 可以认为 是 与 的和，即力的合成可以看作向量的加法. 合力在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线上，大小等于对角线的长 C O A B 如图，已知向量和，在平面内任取一点O，作=，=，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的向量就是与的和. 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 法则要领： 共起点,连对角 力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型 向量加法三角形法则： 特点：首尾相接，首尾连. 向量加法平行四边形法则： 特点：起点相同，连对角. B b a+b a A O C O A B 例1.画一画： (1)如图甲所示，求作向量 (2)如图乙所示，求作向量. （先自行尝试画一画，再与同学交流画法是否相同） 解：(1)首先作向量，然后作向量 则向量如下图所示. 图甲 图乙 • 解：(2)(法1：三角形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量则向量然后作向量则向量，即为所求. (法2：平行四边形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量以为邻边作平行四边形□，连接则再以为邻边作平行四边形□，连接则向量即为所求. (1)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量；在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和. （2）向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则的适用条件： 适用条件 向量加法的平行四边形法则 向量加法的三角形法则 两向量的位置关系 只适用于两向量不共线的情况 两向量共线或不共线 两向量起点、终点的特点 两向量起点相同 第一个向量的终点为第二个向量 的起点 加法交换律 加法结合律 试一试：从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算.类比数的加法运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？你能作图证明以下猜想吗？ ？ ? 向量加法满足交换律和结合律 12 例2 如图所示，在△ABC中，O为BC的中点，则化 简++等于（ ） A. 　　　　B. C. 　　　　D. 解：以AB，AC为邻边作出平行四边形ABDC，如图，则知+=， 又OA=OD，则=， 则+=+=. D 例3 证一证：用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意：如图,要证四边形ABCD是平行四边形，只要证明AD∥BC,即证AD=BC即可. = → → A B O C D A B O C D 如图,设O为四边形两条对角线的交点, 则OA=OC,OB=OD,即AO=OC,BO=OD. ∴AD=AO+OD =OC+BO =BO+OC =BC 又∵A,D,B,C不在同一直线上， ∴四边形ABCD是平行四边形. → → → → → → → → → → → → 议一议：例1的化简问题和例2的证明问题的解决策略是什么？如何解决类似的问题呢？ 用向量方法解决平面几何问题，首先应用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题，再利用向量平行相等或向量运算转化为几何关系(如线段长度、位置关系中的平行、垂直)来解决。 方法归纳 练习：如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. 0 解： 17 针对以下关键词，回顾本节课所学知识，谈谈你的收获： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量加法的运算律. 1.下列等式中不正确的是( ) AB+BC=AC B. a+b=b+a C. a+b+c=b+(a+c) D. AB+CD=AD → → → → → → D B 解： C ABC (1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. (2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍， 故＋＝. (3)因为＝，故＋＝＋＝0. (1)＋＝________；(2)＋＝________； (3)＋＝________. 2.正方形ABCD的边长为1，则|eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))|为(　　) A．1　　　 B．eq \r(2)　　　　C．3　　　 D．2eq \r(2) 解析：在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝eq \r(2)， 所以|eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))|＝|eq \o(AC,\s\up17(―→))|＝AC＝eq \r(2). ＝＋＋＝， 即＝. ∴四边形ABCD为平行四边形. ∵＝＋， 3.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形 ABCD为（ ） A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 ∴＝＋＝＋＋ 4.(多选)已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　) A.eq \o(FD,\s\up17(―→))＋eq \o(DA,\s\up17(―→))＝eq \o(FA,\s\up17(―→)) B.eq \o(FD,\s\up17(―→))＋eq \o(DE,\s\up17(―→))＋eq \o(EF,\s\up17(―→))＝0 C.eq \o(DE,\s\up17(―→))＋eq \o(DA,\s\up17(―→))＝eq \o(EC,\s\up17(―→)) D.eq \o(DA,\s\up17(―→))＋eq \o(DE,\s\up17(―→))＝eq \o(FD,\s\up17(―→)) 解析：A、B显然正确；eq \o(DE,\s\up17(―→))＋eq \o(DA,\s\up17(―→))＝eq \o(DF,\s\up17(―→))＝eq \o(EC,\s\up17(―→))，C正确；由向量加法的平行四边形法则，可知eq \o(DA,\s\up17(―→))＋eq \o(DE,\s\up17(―→))＝eq \o(DF,\s\up17(―→))≠eq \o(FD,\s\up17(―→))，D不正确. 5．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求： (1)|a＋b|；(2)指出向量a＋b的方向． 解：(1)如图所示，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，则a＋b＝eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \o(OB,\s\up17(―→))， 所以|a＋b|＝|eq \o(OB,\s\up17(―→))|＝eq \r(82＋82)＝8eq \r(2) km. (2)因为|a|＝|b|，所以∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向． $