7.1.2 两条直线垂直&7.1.3 两条直线被第三条直线所截-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①当两条直线a,b相交所成的四个角 中，有一个角是 时，我们说a 与b互相垂直，记作“a上b”.其中的 条直线叫作另一条直线的 它们的交点叫作 ②在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直. 例题引路 【例1】如图，请你过点A画AD⊥BC, 垂足为D ●A B C 【名师点拨】用“一贴、二移、三画”的方 法去画，另外要注明垂足 【学生解答】 【例2】下列说法中不正确的是() A.一条直线有无数条垂线 B.一条直线只有一条垂线 C.过一点可画平面内多条直线的垂线 D.过直线外一点画已知直线的垂线， 垂足一定在直线上 【学生解答】 3数学V七年级下册 7.1.2两条直线垂直 第1课时垂线 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1垂线的概念 1.如图，OA⊥OB,若∠1=55°，则∠2的度数为 ( A.359 B.40° C.45° D.60 B C 130° C 40D A 2S0 D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC= 40°，则∠EOB的度数为 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60 3.如图，直线AB,CD相交于点O如果∠EOD=40°，∠BOC= 130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 知识点2垂线的画法 4.（教材P“探究”变式)（南宁期中）下列选项中，过点M作 直线l的垂线，三角尺放置正确的是 5.(教材P,例2变式)如图，已知∠AOB和一点P,过点P画 ∠AOB两边的垂线. 图① 图② 图③ 知识点3 垂线的性质 6.如图，经过直线1外一点A画1的垂线，能画出( A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 A m (第6题图) (变式题图) 【变式】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的 条数有 ( A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 ?易错点 未给出图形，考虑不周全 而致错 7.直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为 O.若∠AOE=55°，则∠BOD的度数为 能力提升。整合运用 8.如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射 线EB平分∠CEF,GE⊥EF,则∠GEB的 度数为 ) A.10° B.20° C.30 D.40° 太阳光 G 40° 34 太阳 C A 支点A 光板 (第8题图) (第9题图) 9.跨学科地理)“玉兔”号月球车在月球表面行驶 的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光 能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上， 现太阳光如图照射，要使接收光能最多，太阳 光板要绕支点A逆时针旋转 ( A.46° B.44° C.36 D.54° 10.如图，直线AB,CD相交于 E 点O,OD平分∠BOF, -D OE⊥CD于点O.若∠EOF=4 a,则下列说法：①∠AOC=a一90°； ②∠EOB=180°-a;③∠AOF=360°-2a. 其中，正确的是 .(填序号) 11.(南宁兴宁区校级期中)如图，直线AB,CD 相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥CD,若 ∠BOC=3∠DOE.求∠AOD和∠EOF的 度数 ③思维拓展⊙学科素养 12.猜想验证法如图①，∠AOB,∠COD都 是直角 图① 图② (1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是 否存在相等、互余或互补关系.你能说 明你的猜想的正确性吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置 时，你的猜想还成立吗？为什么？ 第七章相交线与平行线4 第2课时 ②基础过关。逐点击破 知识点1垂线段的定义 1.下列说法正确的是 A.垂线段就是与已知直线相交的线段 B.垂线段就是垂直于已知直线的线段 C.垂线段就是一条竖起来的线段 D.过直线外一点向已知直线作垂线，这一点 到垂足之间的线段叫垂线段 知识点2垂线段的性质 2.(桂林期末)如图，点P与直线1上的四个点 A,B,C,D的所有连线中，最短的线段是 ( D A.PA B.PB C.PC D.PD 知识点3点到直线的距离 3.(柳州期末)下列图形中，线段AD的长表示 点A到直线BC的距离的是 4.如图，已知AC⊥BC,CD⊥AB,那么点A到 CD的距离是线段 的长 可能力提升。整合运用 5.(教材P,习题T6变式)（贵港港南区期末）小 明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立 定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为 A.线段PC的长度B.线段QD的长度 C.线段PA的长度D.线段QB的长度 5数学N七年级下册 垂线段 P 起跳板 沙坑 (第5题图) (第6题图) 6.跨学科物理)（江苏常州）如图，推动水桶，以 点O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分 别施加推力F1,F2,则F,的力臂OA大于 F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依 据是 ) A.垂线段最短 B.过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线垂直 C.两点确定一条直线 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行 7.噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源 距离越近，噪声越大.如图，一辆汽车在笔直 的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于 AB一侧的某所学校，当汽车在公路上行驶 时，会对学校产生噪声影响.通过画图解答 下列问题，并说明理由 (1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪声 影响最严重？ (2)在什么范围内，学校M受噪声影响越来 越大？在什么范围内，学校M受噪声影 响越来越小？ ·M 7.1.3两条直线 ②基础过关○逐点击破 知识点1识别同位角 1.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( A B 2.（广东一模)两条直线被第三 条直线所截，形成了常说的 “三线八角”.为了便于记忆，同学们可用双 手表示“三线八角”（两个大拇指代表被截直 线，两个食指在同一直线上代表截线)，如 图，它们构成的一对角可以看成( A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D.对顶角 知识点2识别内错角 3.如图，直线a,b被直线c所截，则∠1与∠2 是 A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角 -h (第3题图) (第4题图) 4.如图，与∠1是内错角的是 A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 知识点3识别同旁内角 5.如图，下列两个角是同旁内角的是( A.∠1与∠2 B.∠1与∠3 C.∠1与∠4 D.∠2与∠4 31 (第5题图) (第6题图) 6.如图，与∠1是同位角的是 ,与∠2是 内错角的是 ,与∠A是同旁内角的是 被第三条直线所截 列能力提升。整合运用 7.下列各图中，∠1，∠2不是同位角的是( 8.(北海期未)如图，直线a,b被直线c所截，下 列说法中，不正确的是 A.∠1与∠2是对顶角 B.∠1与∠4是同位角 C.∠2与∠5是同旁内角 D.∠2与∠4是内错角 1 3 (第8题图) (第9题图) 9.如图，若∠2=110°，则∠1的内错角等于 ,∠1的同位角等于 ,∠1的同 旁内角等于 ,∠1的内错角等于它的 同位角，因为它们是 角. 10.两条直线都与第三条直线相交，∠1与∠2 是内错角，∠1与∠3是同旁内角， (1)根据上述条件，画出符合题意的图形； (2)若∠1：∠2：∠3=1：2：3，求∠1， ∠2，∠3的度数. 第七章相交线与平行线6参考答案 第七章 相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线 ②顶点反向延长线③相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】B 基础过关 1.D2.C3.120°4.B5.35°6.解：因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°，所以 ∠A0C=号∠E0C=35,所以∠B0D=∠A0C=35.7.40或80 能力提升 弥8.C9.90°10.180°11.解：(1)∠BOD∠AOE(2)因为∠D0B=∠AOC=70°， 鞦 ∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE=2x°，∠EOD= 3x°，则2x十3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°，所以∠AOE=180°-∠BOE =180°-28°=152°.12.解：因为∠DOE是直角，所以∠DOE=90°，所以∠COE= 180°-∠DOE=180°-90°=90°.因为∠AOC=∠BOD=36°，所以∠AOE=∠AOC+ ∠C0E=36+90=126.因为0F平分∠A0E,所以∠A0F=∠A0E=×126° 63°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=63°-36°=27°. 柏 思维拓展 13.解：(1)2 (2)6(3)12(4)若有n(n≥2)条直线相交于一点，则有n(n-1)对对顶角. 7.1.2两条直线垂直 封 第1课时垂线 新知梳理 ①直角垂线垂足 ②有且只有 例题引路 0 【例1】解：如图，线段AD即为所求. 【例2】B 基础过关 1.A2.C3.互相垂直4.B5.解：如图 线 图① 图② 图③ 6.A【变式】D7.145°或35° 能力提升 8.B9.B10.①②③11.解：因为OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE= ∠BOD.设∠DOE=∠BOE=a,则∠BOD=2a.因为∠BOC=3∠DOE,所以∠BOC 1 =3a.因为∠BOC+∠BOD=180°，即3a+2a=180°，解得a=36°.所以∠BOD=2a 72°，∠BOC=3a=108°，所以∠AOD=∠BOC=108°，因为OF⊥CD,所以∠COF=90°， 所以∠FOB=∠BOC-∠COF=108°-90°=18°，所以∠EOF=∠FOB+∠BOE=18 十36°=54°. 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°+ ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC,所 以∠AOD+∠BOC=180°，所以∠AOD与∠BOC互补；(2)猜想仍成立.理由如下：因 第1页（共48页） 为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+ ∠BOC+90°+∠AOD=360°.所以∠BOC+∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC互补. 第2课时垂线段 基础过关 1.D2.B3.D4.AD 能力提升 5.C6.A7.解：(1)如图， M 根据“垂线段最短”，过点M作AB的垂 A B 线，垂足为P,所以汽车行驶到P点时，与学校M距离最近，学校M受噪声影响最严 重：(2)如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，与学校M的距离越来越近，学校M受 噪声影响越来越大；汽车行驶在PB段时，与学校M的距离越来越远，学校M受噪声 影响越来越小 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.A3.B4.C5.B6.∠B∠A∠B,∠3 能力提升 7.D8.C9.70°70°110°对顶10.解：(1)如图： C (2)由 b 2y3 ∠1：∠2：∠3=1：2：3，设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=-3x°.由∠2与∠3是邻补角，得 ∠2十∠3=2x°+3x°=180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°= 108. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行③一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，P 直线c即为所求；(2)a∥c.理由如下：因为 C b a∥b,c∥b,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行) 基础过关 1.A2.(1)平行(2)相交(3)重合3.解：(1)如图；■ (2)AB∥CD, AE∥BC,BE⊥AB,BE⊥DC.4.B【变式】C5.解：(1)如图： Q A (2)AB∥CD.理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. 能力提升 6.C7.D8.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面9.解：(1)(2)如图： (3)如图，l1与l2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量得∠1=∠0=50°，∠2 =130°，所以∠2十∠0=180°.综上所述，l1与l2的夹角与∠0相等或互补. 思维拓展 10.解：(1)分类讨论(2)如答图，三条直线将平面分成四或六或七部分 第2页（共48页） Ⅲ、V I V 答图① 答图② 答图③ 答图④ 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：可添加：∠D十∠A=180°或∠C十∠CBA=180°，依据：同旁内角互补，两直 线平行.可添加：∠C=∠CBE,依据：内错角相等，两直线平行.【例2】解：：∠1= ∠2，∠ABC=∠ACB,∴.∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.∠EBD= ∠D,∴∠FCB=∠D,∴.FC∥ED. 基础过关 1.=2.AB∥CD同位角相等，两直线平行3.AB CD BE DF4.B5.内 角相等，两直线平行6.100°7.解：∠ACD=70°，∠ACB=60°，.∠BCD=∠ACD +∠ACB=70°+60°=130°.：∠B=50°，∴∠BCD+∠B=130°+50°=180°，∴.AB∥ CD. 能力提升 8.C9.∠5=∠A(答案不唯一)10.解：(1)OC平分∠AOF,OD平分∠BOF, ∠COF=∠A0F,∠D0F=号∠BOR,:∠A0F+∠BOF=180,∠COD= ∠C0F+∠D0F=合（∠A0F+∠B0D)=号×180=90,0C10D:(2)由(1）知 ∠C0D=90°，∴.∠1+∠D0B=180°-∠C0D=180°-90°=90°.：∠D与∠1互余， ∴.∠D+∠1=90°，∴∠D=∠DOB,∴.ED∥AB. 思维拓展 1L.解：(1)70°(2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下：∠BCD=∠ACB+∠ACD= 90°+∠ACD,∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°；(3)分两 种情况讨论：①如答图①，∠ACE=30°.理由如下：：∠ACE=30°，∠A=30°，∴∠ACE =∠A,.CE∥AB;②如答图②，∠ACE=150°.理由如下：：∠ACE=150°，∠A=30°， .∠ACE+∠A=150°+30°=180°，.CE∥AB.综上所述，当∠ACE等于30°或150 时，CE∥AB. 答图① 答图② 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：：AB∥CD,∴.∠A十∠D=180°.AD∥ BC,∴∠C十∠D=180°，∴.∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.∠ABC=150°，.∠2= B ∠ABC-∠1=30°.AM∥CN,.EF∥CN,∴.∠2+∠C=180°，.∠C=180°-∠2= 150°. 基础过关 1.C2.B3.15°4.D5.B6.C7.解：AD∥BC,∠A=115°，∠D=100°， 第3页（共48页）