10.1.3 古典概型（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 ⊙[变式训练] 2.判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为 对立事件，并说明道理 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生； 10.1.3 课程标准 1.理解古典概型的定义 2.会应用古典概型的概率公式解决实际问题. 课前。 [情境引入] (1)掷一枚质地均匀的硬币实验； (2)掷一枚质地均匀的骰子的实验； 写出试验结果，它们有什么共同点？ [知识梳理] [知识点一]事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值） 称为事件的概率，事件A的概率用P(A) 表示 [知识点二]古典概型 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典 概型试验，其数学模型称为古典概率模型， 简称古典概型. 2思考1.古典概型的特点是什么？ (4)至少有1名男生和全是女生. ©温馨提 学习至此，请完成课时作业(10.1.2) 古典概型 素养解读 通过对古典概型的运算，考查学 生的逻辑推理和数学运算素养. 预习学案 [知识点三]古典概型的概率计算 (1)一般地，设试验E是古典概型，样本空间2 包含n个样本点，事件A包含其中的个 样本点，则定义事件A的概率P(A)= n =n(A) n(2) 其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样 本空间2包含的样本点个数， (2)解决古典概型问题的一般思路： ①明确试验的条件及要观察的结果，用适 当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的 可能结果（借助图表可以帮助我们不重不 漏地列出所有的可能结果)； ②根据实际问题情境判断各样本点的发生 是否是等可能的；③计算样本点总个数及 事件A包含的样本点个数，求出事件A的 概率. ?思考2.在古典概型公式中，关键是求什么？ 62 [预习自测] 1.在5件产品中，有4件正品，从中任取2件， 2件都是正品的概率是 4 A.5 B吉 c. n号 2.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a, 从{1,2,3}中随机选取一个数记为b,则b> a的概率为 ) A.青 B号 c. 3.下面是古典概型的是 A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为 基本事件时 B.为求任意的一个正整数平方的个位数字 是1的概率，将正整数作为基本事件时 课堂。 题型一】 古典概型的判断 [例1](1)向一个圆面内随机地投一个点， 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的， 你认为这是古典概型吗？为什么？ (2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试 验的结果只有有限个：命中10环、命中9环 …命中1环和命中0环（即不命中）.你认 为这是古典概型吗？为什么？ 汇思路点拨]从有限性和等可能性两方面 入手， ·16 第十章概率 C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选 中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 4.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母， 则取到字母a的概率为 5.掷一枚质地均匀，且六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6的骰子，求向上的一面点数大 于2的概率. 互动学案 规律方法 一个试验是否属于古典概型，在于这个试验 是否具有古典概型的两个特征：有限性和等 可能性， ◇[变式训练] 1.下列模型中，是古典概型的为 A.从一部分零件中任意抽取一个，测其 长度 B.种一粒种子，观察它是否能够发芽 C.抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的 点数 D.统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击 中靶子的概率 题型三 枚举法 用列举法求解古典概型中概率问题的步骤： ①用列举法将古典概型试验中的基本事件 一一列举出来，得总的基本事件数n; ②寻找对应所求事件的基本事件，并得其个 数m; ③用公式P(A)=m计算所求事件A的 7 概率. 数学·必修第二册 [例2]玩纸牌已经成为人们日常生活中闲 暇时的一种娱乐活动，我们看看下面的问 题，桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下，假 定你已知道其中有2张而且只有2张老K, 但是你不知道老K的具体位置，你随便取 了2张，并把它们翻开，下面哪个事件发生 的概率较大？ (1)两张牌中至少有一张是老K; (2)两张牌中没有一张是老K. 思路点拨]可采用枚举法列举事件. 规律方法 当古典概型中的基本事件个数较少时，通常采 用枚举法解决问题.给事件以适当的编号，并 按照一定的标准合理的分类，列举出所有的基 本事件，找出基本事件总数，以及所求事件所 包含的基本事件数，利用公式求解 ◇[变式训练] 2.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛 的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、 西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中 任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛 博主抽到不同主题的概率为 () A号B.号C号D. ·16 题型】 树形法 树状图法是用树状的图形把基本事件列 举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事 件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作 为一种分析问题的主要手段.树状图法适合于 较复杂的试验的题目（关键词：结构关系）. [例3]有两个箱子，里面各装有编号为1,2， 3,4,5,6的6个小球，所有的球除编号外完 全相同，现从两个箱子里各摸出一个球，称 为一次试验.若摸出的两个球的编号和为 5,则中奖，试求一次试验中奖的概率， 汇思路点拨]个数较多列举不便可用树 形图 规律方法 当古典概型中的基本事件个数较多时，我们 可利用树形图，关键是通过数形结合来寻找 规律，找出基本事件个数，从而解决问题 ◇[变式训练] 3.用红、黄、蓝三种不同颜色给三个矩形随机 涂色，每个矩形只涂一种颜色.求： (1)三个矩形都涂同一种颜色的概率； (2)三个矩形颜色都不同的概率. 64· 题型四 南表法 [例4幻同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上 分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面 的点数为准)，试计算出现点数和为6或7 的概率为多少？ 汇思路点拨]解答本题可先列出掷两枚骰 子的基本事件，求出基本事件总数，然后求 出点数和为6或7的基本事件数，进而根 据计算公式求解， 。16 第十章概率 规律方法 1.对于事件A包含的基本事件较多的情 况，可考虑将A分拆成几个简单的互斥 事件的和事件，分别求其概率，再利用互 斥事件的和事件的概率公式求解，可起到 化繁为简的效果. 2.方法：根据题目所给条件以表格的形式表 示出所有可能发生的情况，得到总的基本 事件数n;以同样的方法找到对应所求事 件的基本事件数m,再用概率公式求解. 将基本事件用表格的方式表示出来，通过 表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以 及要求的事件所包含的基本事件数，列表 法适合于较简单的试验的题目，基本事件 较多的试验不适合用列表法（关键词：基 本事件的总数). ◇[变式训练] 4.某人决定就近打车前往目的地，前方开来三 辆车，且车况分别为“好”“中”“差”，他决定 按如下两种方案打车.方案一：不乘第一辆 车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否 则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第 一辆车.若三辆车开过来的先后次序等可 能，记方案一和方案二坐到车的车况为“好” 的车的概率分别为1，p2,则下列判断不正 确的是 ( Ap1=p2=2 B.p1=p2=3 C.p,=,p2=3D.p=3p,=2 ⊙温馨提 学习至此，请完成课时作业(10.1.3)10.1.3古典概型 课前预习学案 [思考] 1,提示：因为古典概型满足样本，点的有限性和样本，点发生的等 可能性这两个特征，所以求事件的概率可不通过大量重复试 验，只需通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算 即可.如果每个样本点出现的概率并不一定相等，因此不属 于古典概型 2提示，()根播公式PA》会份计年古典能型的概车 时，关键在于确定n(A),n(2),应注意基本事件必须是等可 能的. (2)在简单的古典概型概率问题中求n(A),n(2)只需列举 即可. 预习自测 1.C[将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构 成集合2={(1,2)，(1,3)，(1,4)(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2， 5),(3,4),(3,5),(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法 有6种概率P=品-子] 2.D[随机选取一个a,b组成实数对(a,b),有(1,1)，(1,2)， (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4, 2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15种，其中b>a的有 （1,2),1,3),(2,3),共3种，.b>0发生的概率P= 3 =] 3.C[抛掷两枚般子，所得点数之和为2,3,4，…，12中的任 意一个，但它们不是等可能出现的，故以所得点数之和作为 基本事件，不是古典概型；求任意一个正整数平方的个位数 字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件，有无穷多个， 故不是古典概型；从甲地到乙地共n条路线，选任一条路线 都是等可能的，而最短路线只有一条，其概率为刀是古典概 型；抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，基本事件空间 不确定，] 4.解析：从a,b,c,d,e中任取两个不同的字母，共有如下10种 不同的情形(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e), (c,d),(c,e),(d,e),其中取到a的情形有(a,b),(a,c),(a, d),(a,e).其概率P=0=行 42 答案：号 ·2 参考答案 5.解析：这是一个古典概型，每次试验共有6个等可能的结果， 即基本事件总数为6.事件“向上的一面点数大于2”包括4 个基本事件，从而由古典概型的概率计算公式得P(A)= =子 课堂互动学案 [例1][解](1)试验的所有可能结果是无限的，故不是古 典概型。 (2)所有可能结果有11个，但基本事件中命中10环、命中9 环…命中0环的机会不是等可能的，故不是古典概型。 [例2][解析]记6张扑克牌分别为1,2,3,4,5,6，并且假 定5号牌和6号牌就是那2张老K.则从6张扑克牌中取2 张扑克牌共有15种结果. 1-2,2-3,3-4,4-5,5-6, 1-3,2-4,3-5,4-6, 1-4,2-5,3-6, 1-5,2-6, 1-6, 由上面分析可得， （1)至少有一张是老K”的概率为号=号 (2)”两张降中爱有一系是老K的能率为号-号 5 所以，“至少有一张是老K”的概率较大 [例3][解析]试验的所有结果如下： 由国可知，共概率为需一日 [例4][解析]由于每个面向上的概率相等且试验结果有 限可数，故该概型属于古典概型 解法一：由于“出现点数的和为6”与“出现点数的和为7”两 个事件互斥，所以可利用互斥事件的和事件的概率加法公 式.为了简单明了，可认为两只骰子是编号为1号、2号的不 同的骰子，同时地掷，如表所示，则可能出现的基本事件有 36种. 5 数学·必修第二册 1 2 3 4 56 1 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2 (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3 (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 设出现点数和为6的事件为事件A,出现，点数和为6的情况 有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种 P(A)=36 设出现点数和为7的事件为事件B,出现点数和为7的情况 有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种， P(A)-品-君 :P(A十B)=P(A)+P(B)=6+百=36 5111 即出现点截和为6或7的版本为需 解法二：将“出现点数和为6或7”看成单一的事件A,则由 于基本事件(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种， 其中事件A包含的事件有(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(3， 3),(3,4),(4,3),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1)共11种.故 P(A) 变式训练 1.C[根据古典概型的定义进行判断.选项A中长度的值出 现的可能性不一定相同，故不是古典概型：选项B中发芽与 不发芽的可能性不一定相等，故不是古典概型；选项D不是 随机试验，故不是古典概型；选项C中，出现的结果为1点至 6点，结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上 的可能性相同，满足古典概型的两个特征，故是古典概型.] 2.D[九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热 干面分别记为a,b,c,d,e,两位参赛博主任选一个主题的试 验的样本空间2={aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,ca,cb, cc,cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee},共25个样本 点，两位参赛博主抽到不同主题的事件A={ab,ac,ad,ae, ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed,20 个样本，点，所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为P(A) 3.解析：所有可能的基本事件共有27个，如图所示， 红 红 / 红〈一黄 红《黄 红 黄 入蓝 、蓝 红 红 红 黄 一黄 黄 蓝 蓝 红 红 红 一黄 蓝〈黄 蓝黄 蓝 (1)设“三个矩形都涂同一种颜色”为事件A,由图可知，事件 A的慕本事件有1X3=3(个)，故P(A)=员=g 31 (2)设“三个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知，事件B的 6_2 基本事件有2×3=6（个），故P(B)=27=9 4,ABD[记“车况好、中、差”分别为A,B,C,方案一包含的基 本事件数为n1,方案二包含的基本事件数为几2，列表如下： 3n1 A B C 1 名日所以选 、由美中所列事件数可知，力=6=2·=会三1 6 项C正确.门 10.1.4概率的基本性质 课前预习学案 知识梳理 P(2)=1P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)P(A) P(B) 「思考1 1.提示：互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定互斥. 2.提示：P(AUB)=P(A)十P(B)=1 预习自测 1.D[A,C是不可能事件，它们的概率都是0，正确.B是必然 事件，概率是1，正确.D不是必然事件，概率不是1，D错误」 故选D.] 2.A[.A与B是对立事件，.P(B)=1一P(A)=1一0.6= 0.4.] 3.解析：设甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,由于和棋的概率 为0.2，因此甲、乙有一人获胜的概率为1一0.2=0.8，于是 有P(A)十P(B)=0.8.又P(A)=0.5,于是P(B)=0.3. 答案：0.3 4,解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件.故 3人中都是男生的概牵P=1-号-号 答案：号 5.解析：(1)事件A与事件C是互斥事件，.由互斥事件的 概率加法公式得： P(D)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75. 6