2.5.3&2.5.4极坐标系与极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.5.3极坐标系与极坐标方程 &2.5.4极坐标与直角坐标的互化 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：理解极坐标系概念、极坐标方程的意义，掌握极坐标与直角坐标的互化。 教学难点：极坐标系与直角坐标系的本质区别，极坐标方程的几何意义理解。 理解极坐标系、极坐标及极坐标方程的概念，明确互化的前提条件； 掌握极坐标与直角坐标的互化公式，能熟练进行两种坐标互化； 体会不同坐标系的应用价值，提升坐标转化与逻辑分析能力 课程目标 学科素养 数学抽象：极坐标系、极坐标方程概念； 逻辑推理：互化公式的推导逻辑及两种坐标系的关联分析； 数学运算：两种坐标的互化计算； 直观想象：极坐标的几何意义及图形感知； 数学建模：根据情境选择合适坐标系表示图形的建模能力。 新知引入 曲线的参数方程，变量叫做参变量或参数 叫做曲线的普通方程 直线 圆 椭圆 参数 方程 新知引入 通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系下，可以用 一对有序实数表示平面上点的位置，进而建立曲线的直角坐标方程，从而用代数方法研究这些曲线的性质．但是，有些简单的曲线，在用上述方法求它的方程时，却会遇到比较大的困难．在实际生活中还可以用哪些量来表示平面内一个点的位置？ x y o y z o x ● ● ● o P P P x x P ● （x,y） P （x,y,z） P 新知探究 思考1：在实际生活中还可以用哪些量来表示平面内一个点的位置？ 像这种用方向和距离表示位置的方法，就是我们今天要学的极坐标，在生活种人们常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 新知探究 1、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点，叫做极点. 引一条射线，叫做极轴. 再选定一个长度单位和计算角度的正方向.（通常取逆时针方向）. 这样就建立了一个极坐标系. x O 新知探究 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点,用表示线段的长度,用表示以射线为始边,射线为终边所成的角,叫做点的极径, 叫做点的极角,有序数对就叫做的极坐标. X O M   极点的极坐标为_____________________ (0, ), 可为任意值. 思考: 对比直角坐标系，比较异同。 要素：_____________________、_________________； (2) 平面内点的极坐标用_______表示. 极点、极轴、长度单位 (, ) 计算角度的正方向 典例精讲 例6：如图，在极坐标系中，写出各点的一个极坐标。 解：各点的一个极坐标可分别取为 曲线和方程有如下关系： 以方程的解为极坐标的点都在曲线上； 曲线上每个点的所有极坐标中，至少有一个极坐标是方程的解； 求曲线 的极坐标方程，其实就是找到曲线上所有的点的极径和极角应满足的关系式。 典例精讲 例7：求圆心是、半径是的圆的极坐标方程。 解：如图，由题意知圆经过极点。设圆和极轴的另一个交点 是，则。设是圆上的任意一点。 若点不在直线上，因为是圆的直径，所以为直角。在直角三角形中 ，即，这里， 当与时，方程分别给出了点与点。 因此，圆的极坐标方程是 典例精讲 例8：如图，求经过点，且与极轴夹角为的直线的极坐标方程。 解：设是直线上位于点上方的任意一点 ，则 ，，。 在中，由正弦定理，得 即 ① 当点位于点下方或与点重合时，同样可推得①。 因此，方程①就是所求直线的极坐标方程。 典例精讲 例9：设质点为射线上的动点，沿着方向做匀速运动，同时射线又绕着它的端点作等角速度旋转。求质点运动的轨迹方程。 解：如图，以射线的端点为极点，以射线的初始位置 为极轴，建立极坐标系。设动点的初始位置是， 点在上运动的速度为，绕点转动的角速度为，经过时间后，动点到达的位置为。因为点沿做匀速运动，所以 ① 由射线绕点作等角速度旋转，得 ② 由于从点到点是直线运动与旋转运动的合成，因此将从②式得到的代入①式，得，其中、、为常数。设，则方程可写成 这就是所求轨迹的极坐标方程。 新知探究 这个方程所对应的曲线叫做等速螺线或者叫做阿基米德螺线。 当时，就得到特殊的等速螺线的方程，此时极径与极角成正比。 新知探究 思考2：极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，它们之间能不能进行相互转化呢？ 将点的极坐标化为直角坐标的关系式为 将点的直角坐标化为极坐标的关系式为 典例精讲 例10：化直角坐标方程为极坐标方程。 解：将，代入，得 即 解得 或 由，得。 解得或 因为表示极点，而及均表示过极点的射线，所以已包含在或 中。因此，所化的极坐标方程为或 典例精讲 例11：化极坐标方程为直角坐标方程，并指出它是什么曲线。 解：当时，由，得， 由此得，即 ① 当时，满足的点为极点， 即直角坐标系的原点，它也满足方程① 所以，是以为圆心、以2为半径的圆 练习巩固 练习1：极坐标为的点到极点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3sin4 【答案】： 【答案】： 变式1：在极坐标系中，已知两点 , ，线段PQ的长度为__________. 练习巩固 小结 小结 将点的极坐标化为直角坐标的关系式为 将点的直角坐标化为极坐标的关系式为 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $