第2章 3 导数的计算（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §3导数的计算 课程标准 素养解读 1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y 1 y=√的导数. 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问 题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 课前。预习学案 对应学生用书P47 [情境引入] 2思考2.常数函数的导数为0，说明什么？ 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定 [提示]说明常数函数y=c图像上每一点处的切 的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知 线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重 道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、 合)于x轴， 乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本 初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这 [预习自测] 样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些 “X”) 问题. (1)常数函数的导数是它本身. [知识梳理] (2)指数函数的导数还是指数函数. ) [知识点一]导函数的概念 (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数 般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每 是正弦函数. ( 一点x处都有导数f'(a)=imf+△）-f),那 答案(1)×(2)×(3)× △x 2.(多选)下列结论正确的是 么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为y=f(x)的导 A.若y=0,则y'=0 函数，也简称为导数.有时也将导数记作y' B.若y=5x,则y'=5 ?思考1.f'()与f'(x)有什么区别？ C.若y=x1,则y=-x [提示] f(x)是一个确定的数，而f'(x)是一个 D.若=，则y-名 函数. 答案：ABC [知识点二] 导数公式表 函数 导函数 3.若fx)=cos牙，则f(u)= y=c(c是常数) y'=0 A.-sin平 B.sin开 y=x(a是实数) y'=az"-1 C.0 D.-cos y=a(a>0,a≠1) y'=alna,特别地(e)'=e y=logx(a>0,a≠1) 1 解折：C[=60s子盟，故fx)=.] xlna ,特别地(nx)'= 4.曲线y=x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标 y=sin y=cos x 是 解析：(x3)'=3.x2,若切线平行或重合于x轴，则切 y=cos x y=-sin x 线斜率k=0,即3x2=0,得x=0,∴.y=0,即切点 y=tan x y 1 为(0,0) cos22 答案：(0,0) ·86· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 课堂。互动学案 对应学生用书P48 题型 用求导公式求函数的导数 =lna,所以a=e,b=1,所以切线方程为x一ey [例1] 求下列函数的导数： =0. (1)y=x3;(2)y=3;(3)y=log2;(4)y= 2.若方程1nx=m.x恰有一个根，求m的取值范围. cos(-x:(5)y=sim：(6y=lnx:()y=e. 解：问题可以转化为函数y=lnx与y=mx的图像 有且仅有一个公共，点.由图像易知m≤0满足条 [解](1)y=-3x4.(2)y'=31n3. 件.另外就是y=m.x是y=lnx的切线时满足条 (3)y= 1 件.因为y=mx图像过(0,0)，设切点为Q(a,b), zIn 5 (4)incos(5)0.( 则切线鲜幸m=日又国为m合8且么=1ha, (7)y'=e. 所以a=e,b=1,m=,即m的取值范为(-o 规律方法 求简单函数的导函数有两种基本方法 ou得} (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； 规律方法 (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是 数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 该点处的导数 ⊙[变式训练] (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借 1.（多选)下列结论错误的是 助两点连线的斜率公式进行求解。 A.(cos a)'=sin 2 ◇[变式训练] B.(sin 2.在曲线y=f八)=上求一点P,使得曲线在该点 C若则y-子 处的切线的倾斜角为135°. 1 解：设切点坐标为P(xo,y),f(xo)=一2x,3= 2x tan135°=-1，即-2x。3=-1,.x。=2京.代入曲 解析：ABC[因为(cosx)'=一 sinx,所以A错 线方程得=2音，点P的坐标为(2,2音). =0,所以B错送：（） 题型三 亭数的简单应用 [例3] (1)若质点的运动方程是s=sint,则质点在t (x2)=一2x3,所以C错误； =号时的速度为 ;质点运动的加速度为 (-x)'= 1 二，所以D正确.] 2x 题型二 利用导数公式求切线方程 [解析]v(t)=s'(t)=cost,∴. cos [例2] 求曲线y=lnx在点P(e,l)处的切线方程， [解] 因为y=所以当=6时=日即切 分，即质点在1=吾时的速定为宁， ,v(t)=cost,∴.加速度a(t)=v'(t)=(cost)'= 线斜率为上，所以切线方程为y-1=上（一e),即 e -sin t,-sin 3 21 x-ey=0. [母题变式] [答案] 1.求曲线y=lnx过点O(0,0)的切线. [解]因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为 (2)已知两条曲线y1=sinx,y2=cosx,是否存在 Qab),则切线斜率6=合又周为k-名二8 a0且6 两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两条曲线 的切线互相垂直？并说明理由。 ·87· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [解]设两条曲线的一个公共点为P(x,y),两 [当堂达标] 条曲线在P(x。,y)处的斜率分别为，=cosx0, k2=-sin o. 1.已知f)=c0sx,fa)=a()则角a 要使两条切线互相垂直，必须满足cosx(一sinx,)= 等于 一1，即sin zocos,=1,也就是sin2xn=2,这是不 可能的. A. 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切 线互相垂直. c n.誓 规律方法 解析：B[由题意得f'(x)=一sinx,故sina 导数的简单应用 (1)导数在物理中的应用：位移对时间t的导数就 公又a(臣)故a= . 是速度，速度对时间t的导数即为加速度. (2)导数在函数中的应用：利用导数的几何意义， 2.(多选)下列求导运算错误的是 即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率 A.(cos z)'=sinx B.(3)'=3*log e 之间的关系解决问题。 C.0g)'=n1o 1 D.(x2)'=-2.x1 ◇[变式训练] 3.(1)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s= 解析：ABD[(cosx)'=一sin2,故A不正确； ,则质点在t=4时的速度为 ( A液 B.1 （3y=3.n3,故B不正确：g=1n10 102 故C正确；(x2)/=-2x21=-2x3,故D不 c号 D.品万 正确.] 解折：B[:=日，当1=4时，=号× 3.若f(x)=x2,g(x)=x3,则满足f(x)十1=g'(x) 的x值为 1 1 F102 解析：由导数的公式知，f(x)=2x,g(x)=3x2.因 (2)如图，已知曲线f(x)=2x+a(x≥0)与曲线g 为f(x)+1=g'(x),所以2x+1=3x2,即3x2 (x)=√E(≥0)相切于点P,且在点P处有相同的 切线l,求点P的坐标及a的值. 2x-1=0,解得=1支x=一子 解：设切点P(x。,y。),由直 f(x) 线1与曲线y=f(x)相切 答案1或 于点P,得切线1的斜率为 f'(o)=420. g(x) 4.求过酯线y=simx上点P(后，) 且与在这一点 由直线l与曲线y=g(x) 0 处的切线垂直的直线方程. 也相切于点P,得切线1的 解：因为y=sinx,所以y=cos2. 鲜率为g)=2 2 因为线在点P(司》 处的切线斜幸是0s 由f(x)=g(x),得4x ，解得=子 2√ 以=区-=合即点P的坐标为（任） 由点P(仔)在南线y=)上，得2×( 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为一2 3 a=司解得a= 所以所东的方程为y一=一后（一看 点P的标为（），a的为管 即2z+5y-9-吾-0， ·88· 第二章导数及其应用 五维课堂 课时。素养提升 对应学生用书P26 [基础达标练] 在，则曲线在，点P处的切线的斜率k=tana= 1.若函数fx)=os,则了()十f()的值为 cosx.所以一1≤tana≤1.因为0≤a<π，所以a∈ ( [,]u[x A.0 B.-1 6已知f(x)=2,则f C.1 D.2 解析：因为f(x)=2,所以f'(x)=2ln2,所以 解析：A[因为f(x)=cosx,所以f(x)=一sinx. 所以f()十f()-sim+as-0.] (loe)=2hin 2e In 2. 答案：eln2 2.已知f(x)=x,若f'(-1)=-4,则a的值等于 7.若曲线y=√E在点P(a,√a)处的切线与两坐标轴 围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 A.4 B.-4 C.5 D.-5 解析：A[f'(x)=a.x-1,f(-1)=a(-1)1 解析：因为y=1 ，所以切线方程为y一√a= √E -4,a=4.] 3.直线y=号z十b是曲线y=nx(x>0)的一条切 1 (2二0)，令x=0,得y三=%，令y=0,得 2a 线，则实数b的值为 a,由题意知2·2 1 a ·a=2,所以a=4. A.2 B.In 2+1 答案：4 C.In 2-1 D.In 2 8.已知f(x)=cosx,g(x)=x,求适合f'(x)十g'(x) 解析：C[因为y=1nx的导教y=二，所以令 2 ≤0的x的取值. 解：因为f(x)=cosx,g(x)=x,所以f'(x)= ,得x=2,所以切点为(2，n2.代入直线 (cos x)'=-sin a, 十6，得=1n2-1.] g(x)=x'=1.由f(x)十g'(x)≤0，得-sinx十1 ≤0， 4.(多选)下列求导过程正确的选项是 即sinx≥1，但sinx∈[-1,1]，所以sinx=1. A()- B.()'= 1 2.T 所以x=2kx+受，k∈乙 C.(x)′=a.xa-1 D.(log z)'=In a 所以x的取值为{=2kx+受∈Z [能力提升练] 解析：BC ,可知A错误；由（√） 9.定义方程f(x)=(x)的实数根2。叫做函数的 “新驻点”，若函数g(x)=sinx(0<x<π)，h(x)= ,可知B正确；由(x“)'=ax“1,可知C正 2 lnx(x>0),9(x)=x2(x>0)的“新驻点”分别为 x1na可知D错误；故选：BC] a,b,c,则a,b,c的大小关系为 () 确；由(1ogx)'= A.c>a>b B.c>b>a 5.已知点P在曲线y=2sin受cos受上，a为曲线在 C.bc>a D.b>a>c 解析：B[①若g(x)=sinx,则g'(x)=cosx,由 点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( [陘 【] sinx=cos2,解得z=平，即a=空<1.②若h(u) c[] D.[o] =nx,则W()=子，由1nt=子令r)=n ,可知r1)<0(2)>0,藏1<6<2.@若 解析：D[因为y=2sin艺cos艺=sinx,所以 p(x)=x2,则9(x)=2x,由x2=2x,x>0,得x= y'=cosx.设P(xo,yo),由题意知切线的斜率存 2,故c=2.综上，c>b>a.] ·89· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 10.记函数y=f2’(x)表示对函数y=f(x)连续两次 (2)设过P(1,-2)的直线1与y=f(x)切于另一 求导，即先对y=f(x)求导得y=f'(x),再对y= 点(xo,y0), f(x)求导得y=f2(x),下列函数中满足f2)(x) 则f(x)=3z-3.又直线过(x,y),P(1,一2)， =f(x)的是 A.f(x)=x B.f(x)=sin z 故其斜率可表示为必一（一2)一-3十2 20-1 C.f(z)=e* D.f(z)=In z 又28-3+2 解析：C[对于A,f()=1,f2(x)=0≠f(x); x0-1 38-3, 对于B,f(x)=cosx,f2(x)=-sinx≠f(.x); 即z-3x十2=3(x-1)(x。-1), 对于C,f(x)=e,f”(x)=e=f(x)；对于D, f)=子fP（)=≠f),综上可知，只 解得=1（合去）或，=分 有C满足f2(x)=f(x),故选C.] 故所求立线的斜率为=3×（小一号 11.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=1nx过坐标原点 .所示的直线方程为y一（一2）=一 9(x-1),即 的两条切线的方程为 9x+4y-1=0. 解析：因为y=lnx, 当x>0时y=lnx,设切点为(xo,lnx),由y [素养培优练] 是所以y儿子所以切钱方程为y一加。 13.（多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在 x,使得f(x)=f'(.x,),则称x,是f(x)的一个 1(x-x) “巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是 ) 又切线过坐标原点，所以-1nx,=上（一），解得 A.f(z)=z2 B.f(z)=e x,=e,所以切线方程为y一1= x-e9y C.f(z)=In z D.f(x)=tan x 解析：AC[若f(a)=x2,则f'(x)=2x,令x2= 2x,得x=0或x=2,方程显然有解，故A符合要 求；若f(x)=e;则f(x)=一ex,令ex= 当x<0时y=ln(一x),设切，点为(x1,ln(-21)), e,此方程无解，故B不符合要求；若f(x)= 由y士所以y儿，士所以切线方散为 1加，则了()=子令1nx=,在同-直角垒标 1n(-x1)=1(x-), 系内作出函数y=n工与y=1的图像（作图略）， 又切线过坐标原点，所以一ln(-x)=工（一x1), 可得两函数的图像有一个交，点，所以方程f(x)= f(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)= 解得x=一e,所以切线方程为y-1=1(x十 tanx,则f(x)=sin2=1 cos cos2x,令tan2 e),即y= 1 e 1 -,化简得sin xcos z=1,变形可得sin2x= cos 1 1 答案：y=xy=一e2 2,无解，故D不符合要求.故选AC.] 12.已知函数fx)=x3一3x及y=f(x)上一点P(1,一2)， 过点P作直线1 (1)求使直线L和y=f(x)相切且以P为切点的 14已知两数)=m,则f'[(22)产] 直线方程； (2)求使直线I和y=f(x)相切且切点异于P的 解析：：f(x)=2023,.f(x)=2023z2022 直线方程. 解：(1)由f(x)=x3-3,得f(x)=3x2-3,过 af(20a)]-2o2sx[0)】 ,点P且以P(1,一2)为切，点的直线的斜率f(1) =0, 2023×2023-1. 1 .所求的直线方程为y=一2. 答案：1 ·90·