第1章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]S,=3aa）=3a,=21, 2 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.A[由a4=18-a5,可得a4+a5=18,所以Sg= 8(a+a82=4a4+a5)=4×18=72.] 2 3.解析：S19 19(a1+a192_19×2a10=190. 2 2 答案：190 4.解：设等差数列{an}的公差为d,由已知得a1十5d=10, 5u1+5X4×d=5,解得a1=-5,d=3, 2 所以S8=8×(-5)+8)X3=-40+84=44, 课堂互动学案 [例】[解]1)由题意得，S,a十a_ 2 2 =-5,解得n=15. +15-1d=-d=-合∴m=15d 又a15=6 1 6 (2由已知得S,-8a1十a_84十a1=172,解得ag 2 2 39,又ag=4+(8-1)d=39,∴.d=5.∴.a8=39,d=5. 变式训练 1解：(1) s=+4=5 解得a1=-5,d=3. (a6=a1+5d=10, ∴.ag=a6+2d=10+2×3=16, S1o=10a1+10,X94=10X(-5)+5X9X3=85. 2 (2)S17= 17×(a十a1z2=17×(a3十a452=17×40 2 2 2 =340. [例2](1)[解析]利用等差数列的性质：Sm,S2一S, S3w一S2成等差数列. 所以Sn十(S3m-S2n)=2(S2m-Sn),即30+(S3n-100) =2(100-30), 解得S3n=210. 答案：C (2)[解析]因为等差数列共有2十1项，所以S奇一S偶 a11=2"号，即132-120=2，解得n=10. 2n+1 [答案]10 ·8 参考答案 aitas (3)[解析] a5 2 S97×921 b+b-元-9+34： [答案] 21 母体变式 [解析] 9a5 :{an,{b}均为等差数列，则元)=9 2×5+111 3×5-2131 [答案] 11 变式训练 2.(1)A[设{an}的公差为d,则a5十a6十a十ag=Sg-S4 =12,(a5+a6十a7+a8)-S,=16d,解得d=4an十a12 +a13+a4=a1+10d+a2+10d+a3+10d+a4+10d= S4+40d=18.] (2)解析：因为a=21十1，所以a1=3,所以Sw= n(3+21+卫=m2+2,所以3=n十2，所以S}是公差 2 n 为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10+ 10×9×1=75. 2 答案：75 当堂达标 7 1.B[2a6-ag=a=6,S,=2a1+a)=7a4=42.] 2.ACSg=72,a7=10, 90+28×d=2. ja1=4 (d=1 .aw=4+(n-1)X1 （a1+6d=10 =十3：周S中+-安+号故选AC] 2 3.解析：由2S3=3S2十6可得2(a1十a2十a3)=3(a1十a2) +6,化简得2a3=a1+a2+6,即2(a1+2d)=2a1+d+6, 解得d=2. 答案：2 4[解]s,=…号+2() 2 -15,整理得 2-7m-60=0,解得n=12或1=-5（舍去），a12= 3 12-Dx(2)=-4 第2课时等差数列前n项和的应用 课堂互动学案 [例1][解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间 (单位：小时)依次设为a1,a2,…,a25·由题意可知，此数列 为等差教到，且a1=24,公差d=一了25辆翻+车完成 的工作量为：a1十a2+…+a25=25×24+25×12× (3)）=500, 而需要完成的工作量为24×20=480. 500>480,∴.在24小时内能构筑成第二道防线. 数学(BS)·选择性必修第二册 变式训练 1.D[由题设条件知，火箭每分钟通过的路程是首项a1= 2、公差d=2的等差数列，所以nmin内通过的路程为S, =21+0(2卫X2=2+1=(n十1D.解(m十1)=240， 2 得n=15.] 1a1+9d=18, [例2][解](1)由题意得{ a+4×d=-15. 解得 a1=-9,d=3,.an=31-12. (2)方法一 s.=a-7(3m-21）= 2 (-)-些 .当=3或4时，前1项的和取得最小值S3=S4= -18. 方法二设S最小，则0， 即/31-12≤0， (a+1≥0,3(n+1)-12>≥0， 解得3≤≤4，又n∈N+,当n=3或4时，前n项和的最小 值S3=S4=-18. 母体变式 1.[解]8=7×5×(a1十a,)=7×5×2ag=5ag=125, 故a3=25,a10-a3=7d,即d=-1<0,故Sm有最大值， an=a3+(-3)d=28-n. 设S,最大，则a≥0， 解得27≤n≤28，即S27和S28最 （an+1≤0， 大，又a1=27,故S27=S28=378. 2.[解]方法一因为S3=S4=一18为S,的最小值，由 二次函数的图像可知，共对卷轴为=子，所以当x=0 或x=7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈ N+,所以S7=0,所以n=7. 方法二因为S3=S4,所以a1=S4-S3=0,故S,= 合×7X(a1+ar)=1a,=0,所以n=7. 3.[解]方法一要求数列前多少项的和最大，从函数的 观点来看，即求二次函数Sn=am2十bm的最大值，故可用 求二次函数最值的方法来求当为多少时，S,最大. 由S,=S,可得3a1+32a=1la,+110d,即4= 2 2 341. 从而s=号+(a一号)=一常a-72+a, 又a1>0,所以一得<0.故当1=7时5，最大 方法二由于Sn=an2十b1是关于1的二次函数，由S3 =S11,可知S,=am2+bm的图像关于m=31卫=7对称. 2 由方法一可知a=路<0，故当0=7时，S,最大 ·8 变式训练 2.解：法一：Sg=S17,a1=25, 0×25+202=17x25+127卫，解得d=-2 2 .Sn=254+2DX(-2)=-m2+26m=-(m-13)2 2 +169. .当n=13时，S,有最大值169. 法二：同法一，求出公差d=-2..a,=25十(1-1)×(-2) =-21+27. a1=25>0, 由/，=-21+27≥0， 132 得 (am+1=-2(n+1)+27≤0， n≥12 2, 又：n∈N+,∴.当n=13时，S有最大值169. 法三：Sg=S17,.a10十a11十…十a17=0. 由等差数列的性质得a13十a14=0. a1>0,.d<0.∴a13>0,a14<0.∴.当n=13时，Sn有 最大值169， 法四：设Sn=An2十Bn.Sg=S17, 二次画教对称轴为=9士1=13，且开口方向向下， 2 .当n=13时，Sm取得最大值169. [例3][解](1)法一：（公式法）当n≥2时，an=S, S-1=34-2, 又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2m. 故{an》的通项公式为an=34-2. 法二：（结构特征法）由S,=一n2十33n知S,是关于n的 缺常数项的二次型函数，所以{an》是等差数列，由S的 d=-1, 结构特征知 a-号-3， 解得a1=32,d=-2,所以an=34-21. (2)由(2)知，当1≤17时，aw≥0；当n≥18时，n<0. 所以当n≤17时，Sw'=b1十b2十…十bw=a1+a2+… +lan =a1十a2十…十an=Sn=33n-n2. 当≥18时， Sw'=a1+a2|+…+a17|+|a1g+…+|an =a1+a2+…+a17-(a18十a1g十…十an)=S17-(Sn S17)=2S17-Sm =7n2-331+544. (33n-n2(n≤17)， 故Sn' (n2-331+544(1≥18). 变式训练 3.解：a1=13,d=-4,∴.a,=17-4. 当n≤4时，Tw=a1十|a2十…十|an|=a1十a2十…十 dn=ma1+Dd=13n+nD x (-4)=15n- 2 2 22;当≥5时，Tn=a1+|a2+…+|an=(a1十a2十 a3十a4)-(a5十a6十…十an)=S4-(Su-S4)=2S4-Sn =2×13+DX4-15m-22)=56+2n2-15. 2 151-22,n≤4n∈N+, ∴.Tw={ 2n2-15n+56,n≥5，n∈N+ 当堂达标 1.CD[由an≤0，即21-48≤0，得n≤24..所有负项的和 最小，即n=23或24.] 2.A[设他们每天收到的捐款形成数列{a},则由题可得 {an}是首项为10，公差为10的等差数列，.Sn=10n十 n1。卫×10=1200，解得1=-16（舍去）或1=15，所以 2 这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.] 3.解析：由a5|=|ag且d>0,得a5<0,ag>0,且a5十ag= 0→2a1+12d=0→a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7且 最小， 答案：6或7 4.解：(1)设{am}的公差为d,由题意得3a1十3d=-15.由 a1=一7，得d=2.所以{an}的通项公式为an=a1十(n一 1)d=2-9. （2》由(1)得S,=a1+a2=m2-8n=（m-4)2-16,所 2 以当=4时，Sn取得最小值，最小值为一16. §3等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 第1课时等比数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一2前比值同一个公比 [思考] 1.[提示]不能 知识点二、l.a1g”-12.孤立的点 [思考] 2[提示]因为”马-2.所以纸列a是等数列 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× 2.AB[根据等比数列的定义可知，A,B错误，C,D正确.] 3.D[由{an}为等比数列得a5=a1g=12,.3Xg=12.∴.g= ±2.] 4.解析：数列{an}的通项公式为a,=2X5-1 答案：a,=2X5”-1 ·8 参考答案 课堂互动学案 [例1][解](1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,a,= 3-1,… “a,3=3n≥2nN)该教列为等比数列，且 公比为3. (2)记数列为{an,显然1=-1，a2=1,03=2,…, :2=一1≠吗=2，.此教列不是等比数列 a (3)当a=0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等比数列： 当a≠0时，数列为a,a2,a3,a4,…,d”,…,显然此数列为等 比数列，且公比为a. 变式训练 1.ABD[A,B显然是等比数列；因为x可能为0，所以C不是 等比数列：a不能为0，D符合等比数列的定义，故D是等比 数列.] [例2][解](1)由等比数列的通项公式得，a5=4×(-2)5-1 =64. (2)设等比数列的公比为g,那么19=10， 解得∫9=2， a1g=80,(a=5. 所以a,=a1g-1=5X21 变式训练 a19=4, 2.解：(1)方法一设等比数列的公比为9，则 1a1=-8, 解得 q=-2 方法二设等比数列的公比为q,则=(， a2 即g=-，g=-号a,=ag5=（号)× 1 ()=() (2)方法一设等比数列的公比为9，则 (a3(1+g3)=36, /a3=32, 解得{1 从而a1-2=128. a4(1+g3)=18, g=2 方法二设等比数列{an}的公比为g. 181 :a4十a7=a3q十a69=(a3十a6)q∴g=36=2 .a4+a7=18,∴.a4(1+q3)=18. a=16a.a4=16x(合） 由16×()”‘= ,得-4=5，∴.n=9. [例3][解]a,=Sw-Sw-1=2”十a-2"-1-a=21(n≥ 2).当n≥2时，0+1=2” 427=2: 3第一章数列 五维课堂 第2课时 等差数列前项和的应用 课程标准 素养解读 1.在利用等差数列前项和公式解决实际问题的过程 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并 中，培养数学建模和数学运算的核心素养 能解决相应的问题， 2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和 2.会求等差数列前n项和的最值. 数学运算的核心素养 课堂。互动学案 题型等差数列前项和的应用问题 题型二等差数列前n项和的最值问题 [例1]某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰 [例2]在等差数列{an}中，a1。=18,前5项的和S 到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临 =-15. 时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的 (1)求数列{an}的通项公式； 参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗 (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时 车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同 取最小值 型号翻斗车目前只有一辆投人使用，每隔20分钟 能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 小时内能否构筑成第二道防线？ [母体变式] 1.将本例中的条件“S=一15”改为“S=125”,其余 规律方法 不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小 与数列有关的实际问题的求解策略 值？并求出这个最大值或最小值， 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列 知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下 两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列 模型. (2)深入分析题意，确定是求通项公式a,,或是求 前n项和Sn,还是求项数n. 2.在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn=0,求n. ◇[变式训练] 1.“嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”月 球探测器的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过 的路程为2km,以后每分钟通过的路程增加2km, 在到达离地面240km的高度时，火箭与月球探测 器分离，则这一过程大约需要的时间（单位min)是 A.12 min B.13 min C.14 min D.15 min ·17· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 3.将本例变为：等差数列{an}中，设S,为其前n项 规律方法。 和，且a1>0,S3=S1,则当n为多少时，Sn最大. 求解数列{an|}的前n项和，应先判断{an} 的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数 列的求和问题 ◇[变式训练] 3.若等差数列{an}的首项a1=13,d=一4，记Tn= 规律方法 a1+|a2|+…+an,求Tn 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 1.利用an: (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数 项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最 小值 (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数 项（或0），所以将这些项相加即得{S,}的最 [当堂达标] 大值 1.（多选)已知数列{an}的通项公式是an=2n一48，则 2.利用s:由S.=号+(a一号)n(d≠0)，利 S。取得最小值时，n为 (）. A.21 B.22 用二次函数配方法求取得最值时n的值， C.23 D.24 3.利用二次函数的图像的对称性 2.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头 ◇[变式训练] 进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们 2.在等差数列{an}中a1=25,S1,=S。,求其前n项和 第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二 S,的最大值. 天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次 募捐活动一共进行的天数为 ( ) A.15天 B.16天 C.17天 D.18天 3.已知等差数列{an}中，a=|a,公差d>0,则使 得前n项和S。取得最小值的正整数n的值是 题型三 数列{|a|}的前n项和 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=一7， S3=-15. [例3]数列{an}的前n项和S.=33n一n (1)求{an}的通项公式： (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn,并求S。的最小值. (2)设b,=an,求数列{bn}的前n项和Sn'. [思路点拨](1)利用S。与a。的关系求通项，也 可由S,的结构特征求a1,d,从而求出通项. (2)利用a,判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求 解，也可以利用S,的函数特征判断项的正负求解. ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 ·18·