第1章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 第2课时 等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并 中，培养数学建模和数学运算的核心素养 能解决相应的问题， 2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和 2.会求等差数列前n项和的最值. 数学运算的核心素养， 课堂。互动学案 对应学生用书P17 题型一等差数列前项和的应用问题 解析：D[由题设条件知，火箭每分钟通过的路程 [例1]某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰 是首项a1=2,公差d=2的等差数列，所以nmin 到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临 内通过的路程为S,=2n十n(m,1D×2=m十n 2 时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的 n(n十1).解n(n十1)=240，得n=15.] 参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗 车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同 题型三 等差数列前n项和的最值问题 型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟 [例2]在等差数列{an}中，a1。=18,前5项的和S 能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 =-15. 小时内能否构筑成第二道防线？ (1)求数列{am}的通项公式： [解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间 (2)求数列{a,}的前n项和的最小值，并指出何时 (单位：小时)依次设为a1,a2,…,a2s·由题意可知， 取最小值。 此载列为等差数列，且a=24,公差d=-日25辆 [a1+9d=18, [解] (1)由题意得 翻斗车完成的工作量为：a1十a2十…十a25=25×24 5a,+5X4xd=-15, 解得 2 +25×12x() =500, a1=-9,d=3,.am=3n-12. 而需要完成的工作量为24×20=480. (2)方法一 S-a2-2(8r-21w) 2 500>480,.在24小时内能构筑成第二道防线. 147 规律方法 -8 与数列有关的实际问题的求解策略 .当n=3或4时，前n项的和取得最小值S3=S 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列 =-18. 知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下 两点： 方法二 设S最小，则，0， 即 3n-120, (a+1≥0，{3(n+1)-12≥0， (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列 解得3≤n≤4，又n∈N+,当n=3或4时，前n项和 模型 的最小值S3=S4=一18. (2)深入分析题意，确定是求通项公式an,或是求 [母体变式] 前n项和Sn,还是求项数n. 1.将本例中的条件“S=一15”改为“S=125”,其余 ◇[变式训练] 不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小 1.“嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”月 值？并求出这个最大值或最小值 球探测器的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过 [解]S,=×5×(a十a)=7×5X2a,=5a, 的路程为2km,以后每分钟通过的路程增加2km, 在到达离地面240km的高度时，火箭与月球探测 =125,故a3=25,aw-a3=7d,即d=-1<0,故 器分离，则这一过程大约需要的时间（单位min)是 Sm有最大值，an=a3十(n-3)d=28-n. ( 设5最大，则0解得27≤m≤28，即5和 A.12 min B.13 min (a+1≤0， C.14 min D.15 min S%最大，又41=27，故S2=S8=378. ·28· 第一章数列 五维课堂乡 2.在本例中，根据第(2)题的结果，若S。=0,求n ⊙[变式训练] [解]方法一因为S,=S4=-18为S。的最小 2.在等差数列{a}中a1=25,S1,=S,求其前n项和 值，由二次函数的图像可知，美对称轴为一弓，所 S。的最大值. 以当x=0或x=7时，图像与x轴的交点为(0,0)， 解：法一：：S。=S17,a1=25, (7,0),又n∈N+,所以S2=0,所以n=7. 9X25+3024=17×5+12171,释学 2 方法二因为S3=S4,所以a4=S4一S3=0,故S2 d=-2. =7×7X(a1十a)=7a,=0,所以n=7 S.=25m+nn21D×(-2)=-m2+26n=-(n 2 3.将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项 -13)2+169. 和，且a1>0,S3=S,则当n为多少时，S,最大. [解]方法一要求数列前多少项的和最大，从函 .当n=13时，Sn有最大值169， 数的观点来看，即求二次函数Sn=an十bm的最大 法二：同法一，求出公差d=-2.∴.an=25十(n 值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少 1)×(-2)=-2n+27. 时，Sn最大 a1=25>0, 由S-S,可得3a,+a=1u,十X104,脚 2 1am=-2n+27≥0， n≤132， 由 得 2 d=- 134. (an+1=-2(n+1)+27≤0， l≥1e 从而=号i+a d 134, 又，n∈N+,.当n=13时，Sn有最大值169， 法三：S=S17,.a10十a1十…十a1,=0. 又a1>0,所以 器<0故当=7时，S最大. 由等差数列的性质得a13十a14=0. 方法二由于Sn=an2十bn是关于n的二次函数， :a1>0,.d<0.∴.a13>0,a14<0..当n=13时， 由S3=S11,可知Sn=an2十bn的图像关于n= S。有最大值169. 3-7对称，由方法一可知a=常<0，故当n 2 法四：设Sn=An2十Bn.Sg=S17, =7时，Sn最大. .二次函数对称轴为n=9十17=13，且开口方向 2 规律方法 向下， 等差数列前项和的最值问题的三种解法 .当n=13时，Sn取得最大值169. 1.利用an: (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数 题型三 数列{|a}的前n项和 项（或0），所以将这些项相加即得{S,}的最 小值， [例3]数列{an}的前n项和Sn=33n-n (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数 (1)求{an}的通项公式： 项（或0），所以将这些项相加即得{S,}的最 (2)设bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn'. 大值 [思路点拔](1)利用S,与a,的关系求通项，也 2.利用，：由.=号+(-号)a(d≠0，利 可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项， 用二次函数配方法求取得最值时n的值。 (2)利用a,判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求 3.利用二次函数的图像的对称性， 解，也可以利用S,的函数特征判断项的正负求解. ·29· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [解](1)法一：（公式法）当n≥2时，a。=S, [当堂达标] Sn-1=34-2n, 1.(多选)已知数列{a,}的通项公式是a=2n一48，则 又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足a,=34 S,取得最小值时，n为 (). -2n. A.21 B.22 故{an}的通项公式为an=34一2n. C.23 D.24 法二：（结构特征法）由Sn=-n2+33n知S。是关 解析：CD[由an≤0，即2n-48≤0，得n≤24.∴. 于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数 所有负项的和最小，即n=23或24.] d =-1 2.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头 列，由Sn的结构特征知 =33: 进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们 a1-2 第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二 解得a1=32,d=-2,所以a,=34-2n. 天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次 (2)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n18时，an<0. 所以当n≤17时，Sn'=b1+b2+…十bn=a1|十 募捐活动一共进行的天数为 a2+…+|an A.15天 B.16天 =a1十a2+…+an=Sn=33m-n2. C.17天 D.18天 当n≥18时， 解析：A[设他们每天收到的捐款形成数列{an}, Sn'=a1+a2|+…+az+|a18|+…+anl 则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数 =a1十a2+…十a17-(a18十a1g+…十an)=S17 列，S.=10n+n(21卫×10=1200，解得n 2 (S-S1)=2S1-S =n2-33n+544. 一16（舍去）或n=15,所以这次募捐活动一共进行 133n-n2(n≤17)， 的天数为15天.故选：A.] 故Sn' (n2-33n+544(n≥18). 3.已知等差数列{an}中，las|=|ag,公差d>0,则使 规律方法 得前n项和S,取得最小值的正整数n的值是 求解数列{an|}的前n项和，应先判断{an》 的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数 解析：由a=ag且d>0,得a<0,a>0,且as 列的求和问题 十a,=0→2a1+12d=0→a1+6d=0,即a,=0,故 ◇[变式训练] S6=S,且最小. 3.若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记T,= 答案：6或7 a1+a2+…+|anl,求Tn 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=一7， 解：，a1=13,d=-4,∴.an=17-4n. S3=-15. 当n≤4时，Tn=|a1+|a2+…+an|=a1十ag (1)求{an}的通项公式； +…+a,=,+nm21Dd=13m+nn,D× (2)求Sn,并求Sn的最小值. 2 2 解：(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1十3d=一 (-4)=15n-2n2;当n≥5时，T,=a1+a2+ …+an=(a1十a2十a3+a4）-(as十a6+…+an) 15.由a1=-7,得d=2.所以{an}的通项公式为an =S-(S。-S,)=2S4-S.=2×13+1)×4 =a1+(n-1)d=2n-9. 2 (2)由1)得S.=n(a,+a》=r2一8m=(-4) (15n-2n2)=56+2n2-15n. 2 15n-2n2,n≤4，n∈N+, 16,所以当n=4时，S,取得最小值，最小值为 .T 2n2-15n+56,n≥5，n∈N+ -16. ·30· 第一章数列 五维课堂 课时。素养提升 对应学生用书P9 [基础达标练] 4.(多选)首项为正数的等差数列的前n项和为Sn,且 1.为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同 S,=S。,当S,取到最大值时，n的取值是() 学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天 A.4 B.5 的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离. C.6 D.7 若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑 解析：BC[,S,=Sg,.S8一S=a4十a;十a,十a7 了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为 +ag=5a6=0.∴.a6=0.,a1>0,.a1>a2>a3> ) A.34000米 B.36000米 a4>a5>a6=0,a,<0.故当n=5或6时，S C.38000米 D.40000米 最大.] 解析：B[根据题意：小李同学每天跑步距离为等 5.已知数列{a,}的通项公式为a,= 4) 差数列，设为an,则a1十a2十a3=3a2=3600,故a2 -1 =1200,a13+a14+a15=3a14=10800,故a14=3 2)” 3 ,则数列{an} 600,则S,=2(a,+a,)×15=2(a:十a)X15= 1 1 A.有最大项，没有最小项 36000.故选：B.] B.有最小项，没有最大项 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5十5ag=0, C,既有最大项又有最小项 且ag>a5,则Sn取得最小值时n的值为( D.既没有最大项也没有最小项 A.5 B.6 C.7 解析：C[:数列{a,}的通项公式为a= D.8 解析：B[由7a十5a,=0,得%=-1 d 3 .又ag> ,t∈(0,1]，t是减函数， a5,所以d>0,a1<0.因为函数y= 2+ d 则a() (一号)的国像的对称轴为一告 由复合函数单调性知a。先递减后递增. 故有最大项和最小项，选C.] 号-号取最接远的然数6，故5，取得或小债时刀 6.等差数列{an}中，已知a5>0,a4十a,<0,则{an}的 的值为6.] 前n项和S,的最大值为 3.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小 (a4十a,=a5+a6<0, (a5>0, 解析： 寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、 (a5>0, (a6<0, 小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数 Sn的最大值为S 列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小 答案：S 寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的 7.某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需 日影长为 ( ) A.4尺 B.8.5尺 要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增 C.16.1尺 D.18.1尺 加4万元，则第5年的维修费是 万元，前 解析：C[由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立 10年维修费总和为 万元. 春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加 这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列 4万元，即每年的雏修费成等差数列，设从第二年 {an},公差为d,则有 (a1+a3+a5=36.3 即 起，每年的维修费构成的等差数列为{a},则an= (a2十as十ao=18.3' 12+4(n-1)=4n+8,所以a5=4×5十8=28（万 3a1+6d=36.3 3a1+15d=18.5 解得：=16.1 1d=-2 元).5.=10X12+号×10X9X4=300(万元》. 即冬至的日影长为16.1尺.] 答案：28300 ·31· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 8.(2021·新高考Ⅱ卷，2)记S。是公差不为0的等差 成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108 数列{an}的前n项和，若a3=S,a2a,=S4: 座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数 (1)求数列{an}的通项公式an: 之和为 (2)求使S,>an成立的n的最小值。 解：(1)由等差数列的性质可得：S=5a3,则a3= 5a3,∴.a3=0, 设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3一d)(a3 +d)=-d, A.39 B.45 S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+ C.48 D.51 (a3-d)=-2d, 解析：D[设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的 从而-d=-2d,由于公差不为零，故d=2, 塔数所构成的数列为{an},依题意可知a,a6,…, 数列的通项公式为an=a3十(n-3)d=2n-6. an成等差数列，且公差为2，a=5,则1+3+3十5 (2)由数列的通项公式可得a1=2-6=-4,则S。 +5(m-4)+n=4)n-5》×2=108,解得n 2 =nX(-4)+nn。1D×2=m-5m. 2 =12. 则不等式Sn>am,即n2-5n>2n-6,整理可得(n 故最下面三阶的塔数之和为a10+a11十a12=3a1 =3(5+2×6)=51.] -1)(n-6)>0, 解得n<1或n>6,又n为正整数，故n的最小值为7. 11.已知数列{an}为等差数列，a1十a3十a=1,Sn表 示数列{an}的前n项和，若当且仅当n=0时，Sn取 [能力提升练] 到最大值，则a2十a十a,的取值范围是 9.(多选)已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且a1 解析：由a1十a十a;=1,得3a,=1,即ag=3,a 1 >0,a3=3a5,则下列说法正确的是 A.数列{an}单调递减 +a4+a6=3a4=3a3+3d,当且仅当n=20时，Sm B.当n=5,n=6时，S。同时达到最大值 c 取到最大值，则>0 (a21<0 D.满足不等式Sn≥0的n的最大值为10 (a2n=a3+17d>0 w=+1d>0 即 ,得到 解析：ABC[由题得a1+2d=3(a1+4d),.a1= (a21=a3+18d<0 1 a21=3 +18d<0 一5d>0,.d<0,所以数列{an}单调递减，所以选 项A正确；由题意令an=a1+(n-1)d=(n-6)d (): ≥0，∴.n≤6，所以a1,a2,…,a写>0，a6=0,a7,a8, a2十a4十a3=3a4=3a3+3d=1+3d, …,an<0,所以当n=5,n=6时S。同时达到最大 由ac(司动)可得号<1+3d<格故答 值，所以选项B正确：3=50,5武-5d+2D S=9a=9(-5d+4l= 号，所以选项C正确：S=m+"≥Dd-5d 案为：(1) 2 +nn1)d≥0，.n≤11，所以不等式S≥0的n 答秦(1) 2 12.在等差数列{an}中，a1。=23,as=一22. 的最大值为11.所以选项D错误.] (1)数列{an}前多少项和最大？ 10.一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔 (2)求{an|}的前n项和Sn 群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自 (a1+9d=23, 解：(1)由 得,50， ∴.an=a1 上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第 a1+24d=-22,(d=-3, 四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构 +(n-1)d=-3n+53. ·32· 第一章数列 五维课堂乡 令a,>0,将m号当n≤17，n∈N,时a>0: {AnBn}(n∈N+,1≤n≤5)是以a1=A,B。=6为 首项，公差为d=一1的等差数列，设数列{ABn} 当n≥18，n∈N+时，an<0,∴.{an}的前17项和 (n∈N+,1≤n≤5)的前5项和为S,因此有，S= 最大 (2)当n≤17，n∈N+时，la1|+a2+…+|an|= 5a,+7X5x4:d=5X6 2×5×4X1=20,所 a1+a2+…+an 以这五层正六边形的周长总和为6S,=6×20= =a+20gDa=号r+192。 120.故选C.] 2 2n. 14.新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符 当n≥18，n∈N+时，a1|+|a2+…+an|=a1 合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方 +a2+…十a1-a18-a19一-am 向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将 =2(a1十a2十…+a1)-(a1十a2+…十an) 达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销 2(2×1+1g2×17）-(+1g） 量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批 新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台 2 设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加 2n2+103 3 2 ,n≤17，n∈N+, 400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元. ∴Sn 3 103 (1)每台充电桩第几年开始获利？（参考数据√33 2 n+884,n≥18，n∈N+ ≈5.7) [素养培优练] (2)每台充电桩前几年的年平均利润最大（前n年 13.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、 的年平均利润= 前n年的利润总和) 塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边 年数n 形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正 解：(1)每台充电桩第n年总利润为 射影.其正六边形的边长计算方法如下：A,B,= 6400n 100a+zm-1D40】 -12800, Ao Bo-BoB,A2 B2=A B-B B2,A3 B3=A2 B2 -B,B,…,AB。=A,-1B。1-B。1B。,其中 .6400n 1 000n+ 2n(n-1)400 12800 Bn-1B。=…=B2B3=B1B2=BB1,n∈N+.根据 >0, 每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计 化简得-200(n2-28n+64)>0,即n2-28n+64 需要多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正 <0. 六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若 解得14-2√33<n<14+233, AB。=6,BB1=1.则这五层正六边形的周长总 .2.6<n<25.4. 和为 .n∈N+,∴.3≤n≤25. ∴.每台充电桩第3年开始获利 (2)每台充电桩前n年的年平均利润 6400n 000n+ 2n(n-1)400 12800 A.100 B.110 =2w[2s-(≤2[sn… C.120 D.130 2400,当且仅当n=64,即n=8时取等号，每台 解析：C[由已知得：AnBn=Am1Bn-1一Bn1Bn, Bn-1Bn=…=B2B2=B1B2=BB1=1,因此数列 充电桩前8年的年平均利润最大 ·33·