第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章数列 [素养培优练] 13.(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1十a2 十a3十..十a1=0,则下列各式一定成立的有 A.a1+a1o1>0 B.a2+a1o=0 C.a3十a1w≤0 D.a51=0 解析：BD[设等差数列{an}的公差为d,易知 d>0, ,等差数列{an}满足a1十a2十a3十..十a1o1=0, 且a1十a101=a2十a1m=..=a50十a52=2a51, .a1+a2+a3十..+a11=(a1+a1o1)+(a2十 a1oo)十..+(a50+a52）十a51=101a51=0, .a51=0,a1十a1o1=a2十a10=2a51=0,故B,D正 确，A错误】 又，a51=a1十50d=0,.a1=-50d,.a3十a1m= (a1+2d)+(a1+99d), =2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C 错误.故选：BD.] 14.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举 架结构，AA',BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平 距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑 2.2等差数 第1课时 等差数 课程标准 1.探索并掌握等差数列前n项和公式. 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 课前 [情境引入] 高斯(Gauss,1777 1855),德国数学家，近代数学 lH94l0=2 的奠基者之一，他在天文学、 大地测量学、磁学、光学等领 域都做出过杰出贡献 200多年前，高斯的算术老师 提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=? 你准备怎么算呢？ 提示：高斯的算法：(1+100)+(2+99)+…+(50+ 51)=101×50=5050. ·2 五维课堂上 屋顶截面的示意图.其中DD,,CC,BB,AA1是 举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举 步之比分别为肥=5瓷=8-： DD AA=k,已知k1,k,k,成公差为0.1的等差数 BA 列，且直线OA的斜率为0.725，则k,=( 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 解析：D[设OD1=DC,=CB1=BA1=1,则CC =k1,BB1=k2,AA1=3,依题意，有k3一0.2= DD,+CC,+BB +AA -0.1=kOD+DC,+CB BA 0.725,所以0.5+3k,-0.3 4 =0.725,故k3=0.9.] 列的前n项和 列的前n项和公式 素养解读 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽 象和逻辑推理的核心素养。 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推 理和数学运算的核心素养」 预习学案 对应学生用书P14 [知识梳理] [知识点一] 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 S n(a1十am) S,=na(n Dd 公式 2 2 ?思考 等差数列{an}中，若已知a2=7,能求出前 3项和S3吗？ [提示]S= 3(a1+a3) =3a2=21. 世五维课堂 [知识点二]等差数列的前n项和公式与二次函数 的关系 将等差数列前n项和公式S。=a,+nn。1)d 2 整理成关于n的函数可得S,=号十(a,一号)m [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 “X”) (1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项 和公式求和. () (2)数列{n}可以用等差数列的前n项和公式求其 前n项和. ( (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等 差中项的n倍 ( (4)若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n十1，则数 列{an}一定不是等差数列. 答案(1)×(2)×(3)/(4)/ 课堂。 题型一等差数列前项和的有关计算 [例1门在等差数列{an}中 1)已知a,=5.d 音a,=-是S,=-5,求n和d (2)已知a1=4,S8=172,求a8和d. [解】(1)由题意得，S=n(a,十a) 2 2 =-5,解得n=15. 又a15= +15-10d=-多d= 6.n= (2)由已知得S=8(a十a》-84+a)-=172,解 2 2 得a8=39,又：as=4+(8-1)d=39,∴.d=5.∴.a= 39,d=5. 规律方法 a1,d,n称为等差数列的三个基本量，am和 S,都可以用这三个基本量来表示，五个量a1,d, n,an,Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程（组）求解，在求解过程中要注 意整体思想的运用， 2 数学(BS)·选择性必修第二册 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18一 a,则S8等于 A.72 B.54 C.36 D.18 解析：A[由a4=18-a5,可得a4十a5=18,所以 S.=8(a十a）=4a,十a,)=4X18=72.] 3.在一个等差数列中，已知a1o=10,则S9= 解析，S。=19(a+am)_19X2a=190. 2 2 答案：190 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=10,S= 5,求S8 解：设等差数列{an}的公差为d,由已知得a1+5d =10, 5a,十5X4Xd=5,解得a,=-5,d=3, 2 所以S,=8×(-5)+8X7×3=-40+84=4. 2 互动学案 对应学生用书P15 ⊙[变式训练] 1.在等差数列{an}中， (1)已知a。=10,S,=5,求ag和S1w; (2)已知a3十a1s=40,求S17: 解，1)S=5a十2=5解得a1=-5,d=3 (a6=a1+5d=10, .ag=a6+2d=10+2×3=16, S。=10a,+10X9d=10×(-5)+5×9×3=85. 2 (2)S12 17×(a1+a1m)_17×(a3+a1s)_17×40 3 =340. 题型二等差数列前项和有关的性质问题】 [例2](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和 为100，则它的前3n项的和为 A.130 B.170 C.210 D.260 [解析]利用等差数列的性质：S。,Sm一Sn,Sm S2n成等差数列. 所以S.+(S3m-S2n)=2(S2m-Sn),即30+(S3m 100)=2(100-30), 解得S3n=210. 答案：C 第一章数列 (2)等差数列{an}共有2n+1项，所有的奇数项之和为 132,所有的偶数项之和为120，则n等于 [解析]因为等差数列共有2n十1项，所以S寺一S偶 =+1= 三即132-120=132十120，解得n 2n+1 =10. [答案]10 (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tm, b a1十ag [解析] a5 2 S9_7×9_21 65 b1+6s Ts 9+3 4 2 [答案] 21 4 [母体变式] 将本例(3)条件变为：a,:b=(2n+1):(3n-2), [解析]：(a,,亿，}均为等差数列，则=90 T。9bs 2×5+1_11 3×5-2131 [答案] 11 规律方法 1.等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 {}也是等差数列，且公差为号 n (2)若Sm,Sm,Sm分别为{am}的前m项，前2m 项，前3m项的和，则Sm,S2m一Sm,S3m一S2m也 成等差数列，公差为md. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 1哈 S2n-1 (4)若等差数列的项数为2n,则Sm=n(an十 S厘=a山 a,+1),Sg-S海=nd, an (5)若等差数列的项数为2n十1，则S2m+1=（2n十 S= 1)an+1,S所一S专=一a.+1S香n十I 2.等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式S,=n(a十a),设法求 2 出整体a1十an,再代入求解. (2)待定系数法：利用S。是关于n的二次函数，设 S,=An2十Bn(A≠0)，列出方程组求出A,B 即可，或利用受是关于m的一次函数，设子 an+b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn,Sm一S。,Sm-S2n成等差数列进行求解. ·2 五维课堂色 ◇[变式训练] 2.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=8,S8 =20,则a11十a12十a13十a14= ( A.18 B.17 C.16 D.15 解析：A[设{an}的公差为d,则a5十a6十a,十a8 =Sg-S4=12,(a5十a6十a7十ag)-S4=16d,解得 d=子an十ae十as+a4=a,+10d+a:+10d+ a3+10d+a4+10d=S4+40d=18.] (2)等差数列{an}的通项公式是an=2n十1，其前n 项和为5则数列{倍}的前10项和为 解析：因为an=2n十1，所以a1=3,所以Sn= n3+2n+D=m十2n,所以S=n十2，所以 2 {倍}是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10 项和为3×10+10X9×1=75. 2 答案：75 [当堂达标] 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=ag十 6,则S,等于 ( A.49 B.42 C.35 D.28 7 解析：B[2ag-as=a=6,S,=2(a1十a,)=7a =42.] 2.(多选)记S。为等差数列{an}的前n项和，已知Sg =72,a,=10,则 A.a=n+3 B.a.=2n-4 C.S- D.S,=n2-n 解析：AC[S,=72,a,=10, 9a,+98×d=2,解得 2 (a1+6d=10 d=1a-4+(n -1)×1=n十3，则S.=(4+n十3)=1， 7 2 故选AC.] 3.(2022·全国乙卷)记S,为等差数列{am}的前n项 和.若2S3=3S2+6,则公差d= 解析：由2S3=3S2+6可得2(a1十a2十a3)=3(a1 十a2)+6,化简得2a3=a1十a2+6,即2(a1+2d)= 2a1十d十6，解得d=2. 答案：2 4已知等差数列a,中0，=音d=一号S。=-15, 求n及a12: [解“5=…号+02D.（)-15, 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍 去)ag=2+12-10×（-2)=-4. 世五维课堂 课时。 [基础达标练] 1.已知等差数列{an}中，a2=7,a4=15,则S1。等于 ( A.100 B.210 C.380 D.400 解析：B[:d=a=15,7=4,又a十d=7, 4-2 2 a1=3..S=10a1+1029d=10×3+45×4 =210.] 2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1十a8十ag 为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是 ( A.Se B.Su C.S13 D.S12 解析：B[设等差数列{an}的公差为d,由a1十a8 +ag=a1+a1+7d+a1+8d=3(a1+5d)=3a6= 3 (a,十a)为-确定的常数，从而Sn=2(a,十 a11)×11=11a6为确定的常数.] 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=9,S6= 36,则a7十a8十ag等于 () A.63 B.45 C.36 D.27 解析：B[,a,十a8十ag=Sg一S6,而由等差数列 的性质可知，S3,S6一S3,Sg一S6构成等差数列，所 以S3+(S。-S6)=2(S6-S3),即a,+ag+a。=Sg -S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.] 4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,>0,ag<0,则 下列结论正确的是 () A.S]<Ss B.S1s<S16 C.S13>0 D.S>0 解析：C[由等差数列的性质及求和公式得S3= 13(a1+a13 2 2=13a,>0,S6=15(a,+a）=15a 2 <0.] 5.(多选)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn, 且2a1十2a3=S,下列结论中正确的是() A.S,=0 B.S13=0 C.S=So D.a,=0 解析：BCD[设等差数列{an}的公差为d.由2a1 +2a,=S,有2a,+2(a,+2d)=5a,+54,即 2 a+6d=0,所以a=0,故D正确.S,=7a,十7X6 2 d=7(a1十3d)=-21d,∴.S,≠0，故A错误.S13= a十a13×13=13a,=0,故B正确.S,-S,=ag+ 2 a8十a7+a6+a=5a7=0,所以S4=S。,故C 正确.门 ·2 数学(BS)·选择性必修第二册 素养提升 对应学生用书P8 6,设S是等差数列a,的前n项和，若二=品则 解析：由等差数列的前n项和公式可得： S1 11(a1+a1m) 11×2ae 2 2 5(a1+a5) 5X2a3 吕×会号×号1 2 答案：1 7.已知等差数列{an}中，S。为其前n项和，已知S,= 9,a4十a5十a6=7,则S。-S6= 解析：：S,S。一S,S,一S,成等差数列，而S=9, S6-S3=a4+a5十a6=7,∴.Sg-S6=5. 答案：5 8.在等差数列{an}中， (1)已知a6=10,S5=5,求a8; (2)已知a+a,=华求s 解：(1)方法一.a6=10,S=5, ·+5d-10:解得-5， 5a1+10d=5,d=3. .a8=a6+2d=16, 方法二：S,=S,+a。=15,15=6(a十a）,即 2 3(a1+10)=15. 41=-5,d=05a1=3.as=a,+2d=16. 5 (2)方法-a+a,=a十d+a十3lg.a +2d=4 .S,=5a1十10d=5(a,+2d)=5×24=24. 方法三8a十a=a1十a与a,+a,=9,S 5(a十a2=5×4s=24. 2 2 5 [能力提升练] 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,m-1=一2， Sm=0,Sm+1=3,则m= () A.3 B.4 C.5 D.6 解析：C[:a,}是等差数列，∴Sn=m(a十a 2 =0→a1=-am=-(Sm-Sm-1)=-2,又amt1 Sm+1-Sm=3,.d=am+1-am=1,3=am+1=a1十 m=-2十m→m=5,故选C.] 第一章数列 10.(多选)等差数列{a}的前n项和S。,且S。=” m S.=兴(m,∈N,m≠n,则下列各值中可以为 Sm+n的值的是 A.3 B.4 C.5 D.6 解析：CD[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所 以可设Sn=An2+Bn(A,B∈R), 因为S.=”,Sn=”(m,n∈N+,m≠n),所 m n S,=An2+Bn=”, m 以 Sn=An2+Bm=m」 n An+B=1 ' A= 1 即 解得{ mn'所以Sm+m=A(m Am+B=1 (B=0, 十n)}2=m+n+2mn=m+n+2≥2mn+2 mn mn mn 4,当且仅当m=n时等号成立，又m≠n,所以等 号不能取得，因此Sm+m>4,故CD正确，AB 错误.] 11.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶 数项之和为33，则这个数列的中间项是 项数是 解析：设等差数列{an}的项数为2n十1，S寺=a1十 a,十…+an1=a+1)g+at心=(n+1). 2 a,+1,S%=a十a4十a6十…十n=n(a,十an2 2 nm,+1,所以=0十1装，解得n=3,所以项数 S偶 n33 2n+1=7,S寺-S%=an+1,即a4=44-33=11为 所求中间项 答案：117 12.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已 知5=7,5。=75，工为数列倍}的前a项和。 求T, 解：设等差数列{an}的公差为d, 1 则S.=na十zn(n-1)d, 7a1+21d=7, 由S,=7,S1s=75,得} 15a1+105d=75, 解得4,2， d=1. ÷-a,+(m-1d=-2+3-10. ·2 五维课堂型 岩子-(2+）【+a川 .1 盘列{倍}是首项为一2公差为号的等差数列， 根据题意得T,=-2m+日nm-1D×名=n 9 九. [素养培优练] 13.(多选)已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和 为Sm,若S。=S12,则下列结论中正确的有() A.a1:d1=-17:2 B.S18=0 C.当d>0时，a6+a14>0 D.当d<0时，a6|>a14 解析：ABC[因为{a,}是等差数列，前n项和为 Sn,由Ss=S12,得S12-S6=a7十a8十ag十a1w十am 十a12=0,即3(ag十a1w)=0,即ag十a1o=0, 对于选项A:由ag十a1w=0,得2a1十17d=0,可得 a1:d=-17:2,故选项A正确； 对于选项B:Se=18(a,+a)=18(a+an》=0, 2 2 故选项B正确； 对于选项C:a6十a14=ag十a11=ag十a1w十d=d, 若d>0,则a6十a14=d>0,故选项C正确； 对于选项D:当d<0时，a6十a14=d<0,则a6< -a14,因为d<0,所以a6>0,a14<0, 所以a6<a14,故选项D不正确，故选：ABC.] 14.(2021·全国新高考卷I)已知数列{an}满足a1= am十1，n为奇数， 1,0+1= an十2，n为偶数， (1)记b。=a2m,写出b1,b2,并求数列{b}的通项 公式； (2)求{an}的前20项和. 解：(1)由题设可得b1=a2=a1十1=2，b2=a4=a +1=a2+2+1=5, 又a2+2=a2+1十1，a2s+1=a2十2，(n∈N+) 故a2k+2=a2k十3，即bn+1=bn十3，即bn+1-bn=3, 所以{bn}为等差数列，故bn=2十(n-1)×3=3n -1, (2)设{an}的前20项和为S2o,则S2=a1十a2十a3 +…十a20, 因为a1=a2-1,a3=a41,,a19=a20一1， 所以S2o=2(a2十a4十…十a18十a2o）-10 =2(b1+b2+…+b,+b。)-10=2×(10×2+ 9×10×3)-10=300. 2