20.2 勾股定理的逆定理及其应用（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 A分点训练 。夯实基础 B综合运用 0提升能力 知识点①勾股定理的逆定理 6.已知|a-5|+√b-12+(c-13)2=0,则以 1.(育才中学期末)以下列各组数为边长，能组 a,b,c为边的三角形是 成直角三角形的是 A.锐角三角形 B.直角三角形 A.2,3,4 B.10,8,4 C.钝角三角形 D.无法确定 C.7,25,24 D.7,15,12 7.(扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于 2.(南开中学月考)满足下列条件时△ABC不 勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗 是直角三角形的为 士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数 A.AB=8,BC=15,AC=17 的生成过程，也体现了中国传统数学在数论 B.AB:BC:AC=3:4:5 领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股 C.∠A:∠B:∠C=3：4:5 数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9， D.∠A+∠B=∠C 40,41.根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 3.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上. 8.如图，小正方形的边长均为1， (1)AB的长为 ,BC的长为 A,B,C是小正方形的顶点，则 AC的长为 ∠ACB的度数是 (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 9.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=13,D 是腰AB上一点，且CD=12,BD=5. (1)求∠BDC的度数； (2)求AC的长. 知识点2勾股数 4.(重庆一中月考)下列各组数中，是勾股数 的是 ( A.1,√2,3 B.1,2,3 C.5,12,13 D.10,15,20 5.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17， 则第三个数是 第二十章勾股定理29 第2课时 勾股定理逆定理的应用 A分点训练 。夯实基础 中∠A和∠DBC都应为直角，这个零件符合 知识点①勾股定理逆定理的应用 要求吗？请说明理由. 1.景区在修建岩壁栈道时，需确保栈道支架与 岩壁垂直以保障游客安全.如图，地质团队 在某段栈道施工中，测得AB=8m,BC= 15m,AC=17m,则该支架 要求 （填“符合”或“不符合”) 2.如图，村庄A,C在公路11上，村庄B在公路 L2上，连接AB,BC.若BC⊥l2,且AB= 知识点2勾股定理及其逆定理的综合运用 24m,AC=7m,BC=25m,则点C到直线 6.如图，在△ABC中，D是 AB的距离是 m. AB上一点，连接CD, AC=2√3，BC=2,BD= 1,CD=√3，则AB的长为 7.（教材P37练习T3变式)如图，学校在校园 301m (第2题图) (第3题图) 围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得 3.如图，有一块三角形空地，它的三边长分别 AB=9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD= 为30m,40m和50m,已知40m长的边为 17m,且∠ABC=90°，连接AC. 南北向，则30m长的边的方向为( (1)求AC的长； A.东西向 B.东北向 (2)求这块菜地的面积. C.东南向 D.西北向 4.新趋势数学文化我国南宋著名数学家秦九韶 的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有 沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二 里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是： 有一块三角形沙田，三边长分别为5里， 12里，13里，则这块沙田的面积为( A.30平方里 B.32.5平方里 C.60平方里 D.65平方里 5.一种机器零件的形状及工人师傅量得这个 零件各边尺寸如图所示，按规定，这个零件 30 数学八年级下册人教版 B综合运用 。提升能力 C创新拓展 ⊙发展素养 8.题题购物车某超市购物车的侧面简化示 11.某地举行无人机灯光秀吸引了近万名市民 意图如图所示，测得支架AC=80cm,BC 共同前往.如图，公路上有A,B两个观景 60cm,两轮中心的距离AB=100cm,则点 地，相距250m,在公路北面不远处的C地 C到AB的距离为 呈现灯光秀表演，已知C地与A地的距离 A.24 cm B.48 cm 为150m,与B地的距离为200m,在灯光 C.72 cm D.96 cm 秀表演过程中，为了安全起见，表演点C周 围130m范围内不得进入. (1)灯光秀表演点C与公路的垂直距离为 多少米？ )- -(B (2)灯光秀表演过程中，按照安全要求，A,B (第8题图) (第9题图) 两地之间的公路是否需要暂时封锁？ 9.如图，已知∠A=90°，AC=AB=3,CD=√2， 若需要封锁，请说明理由，并求出需要 BD=2√5，则∠ACD的度数是 封锁的公路长. 10.(沙坪坝区期未)教育部大力倡导新时代中 小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动 价值观与优秀劳动品质.某学校积极贯彻 落实，把校内如图所示的四边形ABCD空 B 地改造为“劳动乐园”.经测量，AB=6m, BC=8 m,CD=24 m,AD=26 m,/B= 90°.该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成 果展示活动. (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰 彩带将“劳动乐园”内的A,C两点连接 起来，求至少需要多少米装饰彩带 (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色 彩，在三角形ABC区域种植玫瑰，每平 方米种植5株，在三角形ACD区域种 植郁金香，每平方米种植3株.求总共 需要种植多少株花卉. 第二十章勾股定理31第3课时利用勾股定理作图与计算 分点训练 1.B2.-√13 3.解：如图， 点A即为所 -43-2-101234 求.4.C5.222√2-16.解：设AB边上的高为h. :AB=V尽+=55c=号×5认=号×3X3,解得 =号.∴△ABC中AB边上的高为号.7.248.解： AB=AC=25,AD⊥BC,BD=CD=号BC=6.在 Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√AB一BD= .∴Sm=合BC·AD=X26X厅=22I. 综合运用 9.D10.14厘1.解：1)：AD⊥AB,∠BAD= 17 90°.“∠B=30,AD=2BD.在Rt△ABD中，由勾股 定理，得AB+AD=BD,即(2)十（令BD)=BD, ∴.BD=4(负值已舍).(2)过点A作AE⊥BC于点E,则 ∠AEB=∠AEC=90.:∠B=30,AE=号AB=5.在 Rt△AEB中，由勾股定理，得BE=√AB2-AE=3.在 Rt△AEC中，由勾股定理，得CE=√AC-AE区=5.∴.BC =BE+CE=8.∴Sa=2AE·BC=2XBX8=45 创新拓展 12.解：(1)5.5(2)如图， AB=√(2a)'+(2a) =2√2a,BC=√/(2a)'+(3a)r=13a,AC=√a2+(4a) =ma,sau=3a×4a-合×aX4a-×2aX3a- ×2aX2a=5a2. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上 表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图， 点E -21十33 和点F即为所求，任务活动2：解：在Rt△ABC中，AC= √+1'=√2，同理得AD=√(W2)2十12=√，AE= √(W3)2+12=2,AF=√2+1下=5.由题意知AP=AF 参考答案第 =√5.∴点P表示的数为一5.任务活动3：解：(1)如图， 点P即为所求.(2)5-1任务 -3-2-1 123 活动4：解：(1)2一√2(2)①如图③所示.②如图④，点 A表示-3十√5，点B表示-0.5.∴.-0.5>-3十√5. A -4-3-2-1012 图③ 图④ 专题特训勾股定理中的方程思想【回归教材】 【变式题】362.解：设BD=x,则CD=14-x.在 Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB-BD=15 x2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD= 132-(14-x)2.152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 5AD=I5-g=12.Sr=合BC·AD=2X14X 12=84.3.B4.B5.号6.解：(1)由折叠的性质知 ∠EDG=∠ADG,∠GDF=号∠CDG.又：四边形 ABCD是正方形，∴.∠ADC=∠ADG十∠CDG=90°， ÷∠EDF=∠EDG+∠GDF=(∠ADG+∠CDG) 45°.(2).正方形ABCD的边长为6，，.AB=BC=AD= CD=6,∠ABC=∠C=∠ADC=∠A=90°..E为AB的 中点，.AE=BE=3.由折叠性质，得DG=AD=6,EG= AE=3,CF=FG,∠DGE=∠A=∠DGF=∠C=90°， .∠EGF=∠DGE+∠DGF=l80°.∴.E,G,F三点共线. 设CF=FG=x,则BF=6-x,EF=x十3.在Rt△BEF中， BE2+BF2=EF2,32+(6-x)2=(x十3)2，解得x=2. EF=x+3=5.SaE=2EF·DG=1i,74810 9.解：延长FC,交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1m, CG=AD=15m.设BG=xm,则BC=(26-1-x)m.在 Rt△BGC中，BG+CG=BC,.x2+152=(26-1- x)2,解得x=8.∴.BG=8m.AB=BG+AG=9m.答： AB段的长度为9m.10.解：设BE=xkm,则CE=BC BE=(16-x)km.:'AB⊥l,DC⊥l,∴.∠ABE=∠DCE= 90°.∴EA=AB十BE,ED=CD十CE.:调运站E到 A,D两个村庄的距离相等，.EA=ED.∴.AB2十BE= CD十CE,即8+x2=122+(16-x)2,解得x=10.5. .BE=10.5km.答：此时调运站E到村庄B的距离为 10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 分点训练 1.C2.C3.解：(1)2√5√55(2)△ABC是直角三 3页（共55页） 角形.理由如下：，AB=2√5，BC=5,AC=5,∴.AB十 BC=(2√5)2+(5)=25=AC.∴.△ABC是直角三角 形.4.C5.15 综合运用 6.B7.11,60,618.45°9.解：(1)BC=132=169, BD2+CD=52+122=169,.BC2=BD2+CD2...△BDC 是直角三角形，且∠BDC=90°.(2)由(1)，得∠BDC=90°， ∴.∠ADC=90°.设AB=AC=x,则AD=AB-BD=x- 5.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD十CD,x =(x-5)2+122,解得x=16.9.∴.AC=16.9. 第2课时勾股定理逆定理的应用 分点训练 1.符合2.73.A4.A5.解：这个零件符合要求.理由 如下：：BD=15=225,AD2+AB=122+9=225, AD十AB=BD.∴.△ABD是直角三角形，且∠A= 90°.同理，得BD+BC2=CD,∴.△BCD是直角三角形， 且∠DBC=90..这个零件符合要求，6.47.解： (1):∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,.AC= √/AB+BC=15m.(2):AC+CD=152+8=289, AD=172=289,.AC2+CD=AD2.△ACD是直角三 角形，且∠ACD=90°，S四边形BcD=S△ABc十S△MCD= 2AB·BC+合AC·CD=号X9X12+号×15×8= 114(m).答：这块菜地的面积为114m. 综合运用 8.B9.45°10.解：(1)连接AC.∠B=90°，∴.AC= √AB十BC=√62十8=10(m).答：至少需要10m装饰 彩带.(2).AC2=102=100,CD2=242=576,AD2=262= 676,∴.AC2十CD=AD,.△ACD是直角三角形，∠ACD =90.Sam=2AC·CD=7X10×24=120(m, Sa=号AB·BC=2×6×8=24(m),5X24+3X120 =480(株)，∴.总共需要种植480株花卉. 创新拓展 11.解：(1)过点C作CD⊥AB于点D,由题意，得AB= 250m,AC=150m,BC=200m.,AC2+BC2=2502= AB.∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴.S△ABc= 合AC:BC=合AB.CD.CD-ACBC=120m.答：灯 AB 光秀表演点C与公路的垂直距离为120m.(2)需要暂时封 锁，理由如下：由(1)可知，CD=120m<130m,∴.公路上存 在两点E,F到C地的距离为130m,公路上EF之间到表 演点C的距离均小于130m..按照安全要求，A,B两地之 间的公路EF段需要暂时封锁.以点C为圆心，130m为半 径画弧，交AB于点E,F,连接CE,CF.'CE=CF= 130m,CD⊥AB,.DE=DF.在Rt△CDE中，DE= 参考答案第 /CE-CD=50m.,.EF=2DE=100m..需要封锁的 公路长为100m. 专题突破利用勾股定理求最短路径问题 【教材拓展·通性通法】 1.D2.173./854.2√135.5√346.解：将圆柱 沿着A,B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个 长方形，如答图，过点B作BO⊥AO于O,作点A关于直线 DE的对称点A',连接AB,交DE于点C,则B→CA即 为蜘蛛爬行的最短路径.·AC=A'C,∴BC+ CA=BC十A'C=A'B.由图和题意可知： ∠B0A=90,0B=2×24=12cm,0D=15 答图 -3=12 cm,A'D AD=4 cm,.OA'=OD+A'D= 16(cm).由勾股定理，得A'B=√OA2十OB=20(cm).故 蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且 它至少要爬行20cem7.铝8.59.解：(1)作点A关于 河边所在直线的对称点A,连接AB,交直线于点P,则点 P即为水泵站的位置，此时PA十PB的值最小，即所用水 管最短.(2)连接AB,过点B作河边所在直线的垂线，过点 A作该直线的平行线，设这两线交于点C,则∠C=90°.过 点A作AE⊥BC于点E.由题意，得BE=5km,AB= 13km,∴.AE=√/AB-BE=√/13-5=12(km). ..AC=AE=12km.BC=7+2=9(km),..AB= /AC2+BC=/122+92=15(km)..PA=PA',..PA +PB=A'B=15km..4000×15=60000(元).答：最节 省铺设水管的费用为60000元，10.解：S长方形ABCD=AB ×AD=5×3=15.设△ABP的高为h. 1 :3S△PAB=S长方形BCD,S△PMB= ×15 3 =5,即令Xh×AB=5,h=2.如答图， 答图 在AD上确定点M,使AM=2,在BC上确定点N,使BN =2,连接MN,则点P在MN上.作点A关于MN的对称 点A1,连接A,B,交MV于点P,此时PA十PB最小.，点 A和点A,关于MV对称，.PA=PA1,AM=AM=2. .AA1=4..PA+PB=PA+PB=A1B.在Rt△AAB 中，由勾股定理，得AB=√A1A十AB=√4+5= √4I,∴.PA十PB的最小值为√4I. 专题特训勾股定理中常见的易错题 1.D2.(1)√34或4(2)10或2√73.D4.B5.C 6.C7.(1)③(2)没有考虑a一b=0这种可能，当a一 b=0时，△ABC是等腰三角形(3)△ABC是等腰三角 形或直角三角形8.D9.D10.C 数学活动利用勾股定理绘制图案 解：任务一：6.25任务二：：DE十EF十DF=7cm,EF= 4页（共55页）