1.1 周期变化（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 五维课堂坐 第一章 三角函数 §1.周期变化 课程标准 素养解读 1.了解周期现象 通过判断简单的实际问题的周期及简单函数的周期性，提升 2.初步了解周期函数的概念 数学抽象，逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期 日出日落，月缺月圆，寒来暑往…自然界 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按 称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果 一定规律不断重复出现的现象称为周期现象. 不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小 [知识梳理] 正周期 [知识点一] 周期现象 ?思考2.周期函数的周期是否只有一个？ 1.以相同 重复出现的变化叫作周期 现象. 3.周期函数定义中的“f(x十T)=f(x)”,只 2.要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每 有个别的x值满足f(x十T)=f(x),能不 隔相同间隔，这种变化是否会 ,若重 能说T是y=f(x)的周期？ 复出现，则为周期现象；否则不是周期现象， ?思考1.2025年10月6日再过200天是星 期几？ [预习自测] 1.下列是周期现象的为 ①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ②某超市每天的营业额； ③某地每年6月份的平均降雨量. [知识点二]周期函数 A.①③B.②③C.①D.①② 1.一般地，对于函数y=f(x),x∈D,如果存在 个非零常数T,使得对于任意的x∈D,都有 2.把化成小数，小数点后第20位是 且满足f(x+T)= ,那么函 A.1 B.2 C.4D.8 数y=f(x),x∈D称作周期函数，非零常数T 3.观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规 称作这个函数的周期， 律，则第25个数字是 课堂。互动学案 题型一 生活中的周期现象 汇思路点拨]“依据周期现象的特点逐一判断. [例1]（多选）下列变化中是周期现象的是( 尝试解答] A.太阳东升西落 规律方法 B.李明每天上午上学的时间 判断生活问题的周期现象的依据是周期 C.某高速公路每天通过的车辆数 变化的特征，即每次都以相同的间隔（比 D.天干地支表示年份的次序 如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是 无差别的重复出现. 世五维课堂 数学s)·必修第二册 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 1.钟表的分针每小时转一圈.它的变化是周期变 2.根据图中箭头指向的规律，判断从2021到 化吗？ 2022再到2023，箭头方向是 10 R 题型利用周期定义判断函数的周期 题型三利用函数的图象判断周期性 [例3]已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),证明 [例2]造父变星是一类高光度周期性脉动变星， f(x)是周期函数并求出它的一个周期， 其亮度随时间呈周期性变化.下图为一造父变 思路点拔了证明f(x)=f(x+2)即可. 星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造 父变星亮度变化的周期是 ,亮度等级 3.0 3.5 4.0 规律方法 4.5 用定义法判断周期性，关键是证明对于任意 0246810121416182022时间/天 的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x十T)= A.5.5天 B.7天 f(x). C.14天 D.20天 ◇[变式训练] [思路点拨了”“通过图象可知，每增加7的倍 3.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x十 数，其函数值不变，且这种变化是重复进行的. a)=-f(x)(a是不为零的常数)，证明：2a是 函数y=f(x)的一个周期. 尝试解答] 规律方法 观察函数图象判断周期性，关键是观察图 象是否是周而复始重复出现 随堂。步步夯实 1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12 5.函数(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),这 种动物按顺序轮流代表各年的年号，2026年 个函数是不是以6为周期的周期函数？ 是马年，那么1949年是 A.牛年 B.虎年 C.兔年 D.龙年 2.如果今天是星期五，则58天后的那一天是 星期 () A.五 B.六 C.日 D.- 3.函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3,则 f(6)等于 4.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周 C温馨提西 期为8，当x∈[一4,0]时，f(x)=x十1，则 学习至此，请完成配套训练 f(25)= ·2·世五维课堂 参芳 第一章三角函数 §1.周期变化 课前预习学案知识梳理知识点一 1.间隔2.重复出现 [思考] 1.提示：2025年10月6日是星期一，由200=28×7十4知自 2025年10月6日再过200天是星期五。 知识点二 1.x十T∈Df(x) 「思考] 2.提示：不是，例如函数f(x)=x一[x]的周期就不止一个，若 T是周期，则nT(n∈N”)一定是周期， 3.提示：不能，因为周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说. 预习自测 1.C2.C3.2 课堂互动学案 [例1][解析]AD[对于A,太阳东升西落是周期现象； 对于B,李明每天上午上学的时间会有差别，不是周期现象： 对于C,高速公路每天通过的车辆数一般不相同且随机变 化，不是周期现象；对于D,天干地支表示年份的次序，周而 复始，是周期现象.故选AD.] 变式训练 1.解：根据题意，钟表的分针每小时转一圈，即钟表的分针每小 时转一圈，分针会重复出现在同一位置，具有“周而复始”的 变化规律，符合周期变化的定义，其变化是周期变化. [例2][解析]B[由题图可以看出该造父变星的亮度每 经过7天等级相同，所以此变星亮度变化的周期是7天.] 变式训练 2.D[从0开始，每四个数一个周期，2021÷4=505…1，故 选D.] [例3][证明]因为f(x十1)=-f(x), 所以f(x十2)=-fx十1)=-[-fx)]=f(x), 所以f(x)是周期函数，所以f(x)的一个周期是2. 变式训练 3.证明：因为定义在R上的函数y=f(x)满足f(x十a)=一f(x) (a是不为零的常数)， 所以f(x十2a)=-f(x十a)=f(x), 所以2a是函数y=f(x)的一个周期. 随堂步步夯实 1.A2.C 3.解析：函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3,则f(6) =f(2十4)=f(4)=f(2十2)=f(2)=3. 答案：3 4.解析：T=8, ∴.f(25)=f(3X8+1)=f(1)=f(-1)=-1+1=0. 答案：0 5.解：因为f(x十6)=(x十6)=f(x)不恒成立，所以f(x)不 是以6为周期的周期函数. §2.任意角 课前预习学案情境引入 1.提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要 逆时针转动分针， 2.提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运 动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋 转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时 针旋转900°.显然这些角都不在0°~360°，不能用0°到360 的角表示. 知识梳理知识点 1.一条射线端点 2.起始终止 3.逆时针顺时针任何 ·21 数学s·必修第二册 答案 [思考] 1.提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量 的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定 2.提示：角的三要素是顶点、始边、终边」 3.提示：根据组成角的射线的旋转方向」 4.提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的 角不一定是零角，如360°，一360°等，角的大小不是根据始 边、终边的位置，而是根据射线的旋转， 知识点二 1.原点x终边象限角坐标轴上 4.{B3=a十k·360°，k∈Z}周角的整数倍 [思考] 5.提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相同，也 可能不同. 6.提示：3=a十2k·360°，故3与a终边相同. 7.提示：不一定，因为象限角是指的当角的始边与x轴的非负 半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限 角.如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在 任何象限内，又叫轴线角. 8.提示：当角a,3满足S={3B=a十k·360°，k∈Z}时，表示角 α与B相隔整数个周角，即角a,B终边相同， 预习自测 1.C2.A3.-190 课堂互动学案 [例1](1)[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第 二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确： ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于一100°，而一100°的角是第三象限角，故④不 正确； ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤ 不正确 [答案]② (2)[解析]D[:40÷60=号360×号=240.分 针是顺时针旋转，∴.时针走过2小时40分，分针转过的角的 度数为-2×360°一240°=一960°，故选D.] 变式训练 1.D[①-15°在第四象限； ②180°<185°<270°在第三象限； ③475°=360°+115°，而90°<115°<180°，所以475°在第二 象限； ④-350°=-360°十10°是第一象限角 所以四个结论都是正确的.门 [例2][解](1)，-1910°÷360°=-6余250°， .-1910°=-6×360°+250°， .8=250°，从而a=-6×360°十250°是第三象限角. (2)令0=250°+k·360(k∈Z), ∵-720°≤0<0°， .-720°≤250°+k·360°<0°， 即器K-器 k∈Z,.k=-1或-2 即250°+(-1)·360°=-110°， 250°+(-2)·360°=-470°. .0=-110°或0=-470°. 变式训练 2.解：(1)S={BB=-2020°+kX360°，k∈Z, ,140°=-2020°+6×360°，.140°与-2020°的终边相同. 140°是第二象限的角，，一2020°是第二象限的角. (2)S由-720°≤-2020°+kX360°0 解得3是<<5是 0