1.1 周期变化（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 第一章 三角函数 §1.周期变化 课程标准 素养解读 1.了解周期现象 通过判断简单的实际问题的周期及简单函数的 2.初步了解周期函数的概念 周期性，提升数学抽象，逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P] [情境引入] 2思考2.周期函数的周期是否只有一个？ 日出日落，月缺月圆，寒来暑往…自然界中有 提示：不是，例如函数f(x)=x一[x]的周期就 许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律 不止一个.若T是周期，则nT(n∈N*)一定是 不断重复出现的现象称为周期现象， 周期. [知识梳理] 3.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”,只有个 [知识点一]周期现象 别的x值满足f(x+T)=f(x),能不能说T是 1.以相同间隔重复出现的变化叫作周期现象， y=f(x)的周期？ 2.要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相 提示：不能，因为周期函数的定义是对定义域中 同间隔，这种变化是否会重复出现，若重复出现，则 的每一个x值来说。 为周期现象；否则不是周期现象， 预习自测 2思考1.2025年10月6日再过200天是星 1.下列是周期现象的为 ①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次： 期几？ ②某超市每天的营业额； 提示：2025年10月6日是星期一，由200=28×7+ ③某地每年6月份的平均降雨量. 4知自2025年10月6日再过200天是星期五. A.①③ b.②③ C.① D.①② [知识点二]周期函数 答案：C 1.一般地，对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个 2.把化成小数，小数点后第20位是 非零常数T,使得对于任意的x∈D,都有x十T∈D 且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x),x∈D A.1 B.2 C.4 D.8 称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. 答案：C 3.观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则 2.如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存 第25个数字是 在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数 解析：观察可知，2,0,1,7每隔四个数字重复出现 y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说 一次，具有周期性，故第25个数字为2. 明，本书所指周期均为函数的最小正周期： 答案：2 课堂。互动学案 对应学生用书P 题型二 生活中的周期现象 [解析]AD[对于A,太阳东升西落是周期现象；对 于B,李明每天上午上学的时间会有差别，不是周期现 [例1]（多选）下列变化中是周期现象的是( 象；对于C,高速公路每天通过的车辆数一般不相同且 A.太阳东升西落 随机变化，不是周期现象；对于D,天干地支表示年份 B.李明每天上午上学的时间 的次序，周而复始，是周期现象.故选AD.] C.某高速公路每天通过的车辆数 规律方法 D.天干地支表示年份的次序 判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特 征，即每次都以相同的间隔（比如时间间隔或长度 [思路点拔了依据周期现象的特点逐一判断. 间隔)出现，且现象是无差别的重复出现， 数学s·必修第二册 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 1.钟表的分针每小时转一圈.它的变化是周期变 2.根据图中箭头指向的规律，判断从2021到2022 化吗？ 再到2023，箭头方向是 解析：根据题意，钟表的分针每小时转一圈，即钟表 的分针每小时转一圈，分针会重复出现在同一位 置，具有“周而复始”的变化规律，符合周期变化的 定义，其变化是周期变化， 题型二利用函数的图象判断周期性 [例2]造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮 度随时间呈周期性变化.下图为一造父变星的亮度 解析：D[从0开始，每四个数一个周期，2021÷4 随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变 =505…1,故选D.] 化的周期是 ( 题型三利用周期定义判断函数的周期 ,亮度等级 [例3]已知函数f(x)满足f(x十1)=一f(x),证明 3.0 f(x)是周期函数并求出它的一个周期. 3.5 4.0 汇思路点拨了证明f(x)=f(2十2)即可. 4.5 [证明]因为f(x十1)=一f(x), 0246810121416182022时间/天 所以f(x十2)=-f(x十1)=-[-f(x)]=f(x), 所以f(x)是周期函数，所以f(x)的一个周期是2. A.5.5天 B.7天 规律方法 C.14天 D.20天 用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x [思路点拨]通过图象可知，每增加7的倍数，其 ∈D,都有x十T∈D且满足f(x+T)三f(x): 函数值不变，且这种变化是重复进行的. ◇[变式训练] [解]B[由题图可以看出该造父变星的亮度每 3.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x十a)= 经过7天等级相同，所以此变星亮度变化的周期是 -f(x)(a是不为零的常数)，证明：2a是函数y= 7天.] f(x)的一个周期. 规律方法 证明：因为定义在R上的函数y=f(x)满足f(x十a) =一f(x)(a是不为零的常数)， 观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是 否是周而复始重复出现. 所以f(x+2a)=-f(x十a)=f(x), 所以2a是函数y=f(x)的一个周期. 随堂。步步夯实 对应学生用书P 1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动 4.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为 物按顺序轮流代表各年的年号，2026年是马年，那 么1949年是 8,当x∈[-4,0]时，f(x)=x十1，则f(25)= A.牛年 B.虎年 C.兔年 D.龙年 解析：T=8, 答案：A 2.如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期 .f(25)=f(3×8+1)=f(1)=f(-1)=-1+1 ( =0. A.五 B.六 C.日 D.一 答案：0 答案：C 5.函数f(x)=x2满足f(一3十6)=f(一3)，这个函 3.函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3,则 f(6)等于 数是不是以6为周期的周期函数？ 解析：函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3, 解：因为f(x十6)=(x十6)2=f(x)不恒成立，所以 则f(6)=f(2十4)=f(4)=f(2十2)=f(2)=3. 答案：3 f(x)不是以6为周期的周期函数 ·2· 第一章三角函数 课后。素养提升 对应学生课时P1 基础过关 A.(1,3) B.(-1,1) JI CHU GUO GUAN C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1) 1.(多选)下列现象是周期现象的是 解析：C[若x∈[-2,0]，则-x∈[0,2]， A.日出日落 B.潮汐 .f(-x)=-x-1. C.海啸 D.地震 :f(x)是偶函数， 答案：AB .f(x)=f(-x)=-x-1, 2.如图所示是一个单摆，让摆球 即当x∈[一2,0]时，f(x)=-x-1. 从A点开始摆，最后又回到A 若x∈[2,4]，则x-4∈[-2,0]， 点，单摆所经历的时间是一个A○ OB f(x)的周期为4，f(x) 周期T,则摆球在O>B→O→ 0 =f(x-4)=-(x-4)-1 A→O的运动过程中，经历的时间是 =-x+3. 作出函数f(x)在[一2,4] T A.2T B.T c D.2 上的图象如图所示， 答案：B 则当x∈[一1,3]时，不等式xf(x)>0等价于 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x十 10,或2>0 f(x)<0(f(x)>0, 3),如图表示该函数在区间（一2,1]上的图象，则 即-1<x<0或1<x<3, f(2025)+f(2026)= ( ) 故原不等式的解集为（一1,0）U(1,3),故选C.] 7.已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+5)= f(x),且当x∈(0,2)时，f(x)=2026x2,则 f(2026)= 解析：由f(x十5)=f(x)知函数f(x)的一个周期 为5，则f(2026)=f(5×405+1)=f(1)=2026. 答案：2026 8.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+1) A.3 B.2 C.1 D.0 +f(x)=3,当x∈[0,1]时，f(x)=2一x,则 答案：B f(-2025.5)= 4.钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分 解析：由f(x+1)+f(x)=3, 钟，现在分针恰好指在2处，则100分钟后分针指 得f(x)+f(x-1)=3, 在 ( 两式相减得f(x十1)=f(x一1)， A.8处 B.10处C.11处 D.12处 所以f(x十2)=f(x). 解折：B[一个月期是60分钟，则10分钟是1号 所以f(x)是周期为2的周期函数， 所以f(-2025.5)=f(-2026+0.5)=f(0.5) 个周期，故100分钟后分针指在10处.] =2-0.5=1.5. 5.若f(.x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)= 答案：1.5 1,f(2)=2,则f(3)一f(4)等于 () 9.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x十2)= A.-1 B.1 C.-2 D.2 f,若f1)=-5,则f(f(5)的值为 1 解析：A[.函数f(x)的周期为5，.f(x+5)= 1 f(x),.f(3)=f(-2+5)=f(-2). 解析：由已知得f代x+4)=fx十2)f代x, 又，f(x)为奇函数，f(2)=2, ∴f(x)是周期为4的周期函数. ∴.f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, ∴.f(5)=f1+4)=f(1)=-5, 同理f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, .f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.] :.ff5)=f(-5)=f-1)=f-1+2 1 1 6.函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时， f(1) f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的 解集为 答案：号 ·3· 数学s,·必修第二册 10.函数fx)=(-1)是周期函数，且f0+) 13.游乐场中的摩天轮匀速旋转， 每转一圈需要12分钟，其中心 f(0),为什么子不是它的周期？ O距离地面40.5米，半径 40米.如果你从最低处登上摩 解：因为当x=时f(2)=(-1)°=1 天轮，那么你与地面的距离将 随时间的变化而变化，以你登 7777777777777777777 f(2+))=(-10-1,所以( 上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现 f(侵+)所以不是它的周翔 象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ 11.设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函 (3)你第四次距地面最高需要多少时间？ 数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称，那么函数 (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ y=f(x)为周期函数吗？ 解：(1)是周期现象. 解：由图象关于x=a对称得f(a一x)=f(a十x),可 (2)转四圈需要时间为4×12=48（分钟）. 得f(2a十x)=f(-x). 因为f(x)为偶函数，所以f(一x)=f(x),从而 (3)第1次距离地面最高高号=6（分钟），西月期 f(2a十x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的 是12分钟，所以第四次距地面最高需12X3十6= 函数。 42(分钟). 能力提升 (4)因为60÷12=5，所以转60分钟时你距离地面 NENG LI TI SHENG 与开始时刻距离地面相同，即40.5一40=0.5 12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x十 (米). 5),当x∈[-2,0)时，f(x)=-(x+2),当x∈ 素养培优 [0,3)时，f(x)=x,求f(1)+f(2)十…+ SU YANG PEI YOU f(2026)的值， 14.已知定义在N上的函数f(n)满足f(n十2)=f(n十 解：由f(x)=f(x十5)，可知f(x)的一个周期为 1)-f(n). (1)求证f()是周期函数，并求出其周期； 5,因为当x∈[-2,0)时，f(x)=一(x十2)2，当 (2)若f(2)=3,求f(2024)的值. x∈[0,3)时，f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2, 解：(1)因为f(n+2)=f(n+1)一f(n), f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)= 所以f(n+3)=f(n+2)一f(n+1) f(0)=0, =[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n), 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2, 所以f(n+6)=一f(n十3)=f(n). 所以f(1)+f(2)+…+f(2026)=f(2026)+ 所以f(n)是周期函数，周期为6. 405×[f(1)+f(2)+…+f(5)]=f(1)+2×405 (2)因为f(n)是周期为6的函数，f(2)=3, =811. 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=3. §2.任意角 课程标准 素养解读 1.了解角的概念 1.根据角的概念培养数学直观和逻辑推理素养 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义 2.通过学习终边相同的角、象限角提升数学建 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表 示这些角 模素养 课前。预习学案 对应学生用书P3 [情境引入] 2.在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻 1.当钟表慢了（或快了）一点时，我们会将分针按某个 转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少 方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针 度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？ 提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不 转动的方向是否相同？ 同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋 提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟 转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以 表快了，要逆时针转动分针. 是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角 都不在0°~360°，不能用0°到360°的角表示.