1.6.3 解三角形应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6.3　解三角形应用举例 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，我们常会碰到一些测量专有概念： 1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角 2 2.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角． 如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示) 3 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况. 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角． 方位角θ的范围是0°≤θ<360° 3.方位角 N 方位角60° 目标方向线 4 例1 如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40 °的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65 °的方向上.求C点与灯塔A的距离. 　解：在△ABC中，BC=40×　=20(km)， 　　　∠ABC=70 ° －40 ° =30 ° ，∠ACB=40 ° +65 ° =105 ° ， 　　 所以∠A=180 ° －(30 ° +105 °)=45 ° ． 由正弦定理得 因此，C点与灯塔A的距离是　　 km． 题型一 测量距离问题 已知哪些边和角，要求CA还要知道什么？应该利用哪个定理？ 解：如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°， 66 练一练 先画示意图再求解 一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是： (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形； (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解. 方法归纳 求两个不可到达的点之间的距离问题 如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m. 解：由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°， 题型二 测量高度问题 例2 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l.河边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧CD的交点为E.已知扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB顶端的仰角分别为45° ，30 °和60 °. (1)求烟囱AB的高度h； (2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长. 　　解：(1)因为∠AOB=30 ° ，∠AEB=60 ° ，∠ABO=90 ° ， 　　所以OB=　 h m，EB= h m， (1)求烟囱AB的高度h； 　又OE=　　 m，所以 ，解得h=15. 　　因此烟囱的高度为15m. (2)在△ABC中，∠ABC=90 ° ，∠ACB=45 ° ， 所以CB=AB=15m.　由(1)知，OB=　　 m. 所以在△OCE中，CE2=OC2+OE2－2OC·OEcos∠COE =300+300-600×56=100. 因此CE的长为10 m. 在△OBC中， (2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长. (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 测量高度问题的解题策略 方法归纳 2.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是( ) A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m D 练一练 13 解：在△BCD中，CD=10 m，∠BDC=45°， ∠BCD=15°+90°=105°，∠DBC=30°， 由正弦定理，得=， 故BC==10(m). 在Rt△ABC中，tan 60°=， 故AB=BC×tan 60°=10(m). 14 例3 某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(+1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向. 题型三 测量角度问题 先分析已知的边角关系 15 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD=20海里， AC=20海里. 由题意AB=20(+1) 海里， DC=20 海里， BC=(+1)×10=10(+)(海里). 在△ADC中，因为DC2=AD2+AC2， 所以∠DAC=90°，∠ADC=45°. 16 在△ABC中，由余弦定理得 cos∠BAC==. 所以∠BAC=30°，又因为B位于A的南偏东60°， 60°+30°+90°=180°，所以点D位于A的正北方向， 又因为∠ADC=45°， 所以台风移动的方向为北偏西45°. 17 一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本步骤如下： (1)明确各个角的含义. (2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图. (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解. 方法归纳 求解实际应用中的角度问题 测量角度问题画示意图的基本步骤 方法归纳 (1)不可到达的距离问题； (2)高度问题；(3)角度问题. 本节课我们解决了哪些问题？你能归纳问题解决的基本方法和思路吗？ 数学问题（画出图形） 解三角形问题 数学结论 实际问题 分析转化 检验 C 解： AB＝22×＝33(km)， ∴SB＝66(km). 由正弦定理得＝， 一船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________ km. 故在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝＝30(m). 30 D　 1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°　　　B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 故∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. A　 2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为(　　) A．2eq \r(3) km B．3eq \r(3) km C．4eq \r(3) km D．5eq \r(3) km 解析：作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2 km.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，即AB＝2eq \r(3) km. 所以A，B之间的距离为2eq \r(3) km.故选A. 在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AC＝100. ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1. 在△ADC中，＝， 3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处， 又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度 为θ，则cos θ等于( ) A. B. C.－1 D.－1 4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角． 解：依题意可得AD＝20eq \r(10)，AC＝30eq \r(5)，CD＝50， 在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq \f((30\r(5))2＋(20\r(10))2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(6 000,6 000\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. $