精品解析：山东省济南市历城区山大基础教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级（上）12月月考数学试题 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下左图是由若干个小立方块组成的几何体的主视图与俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△AOB中，∠0＝90°．AP平分∠OAB．若△AOP～△BOA，OA＝2，则OP的长为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　） A. B. 3倍 C. D. 2倍 4. 在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，的电阻值为 B. 随着水位的升高而增大 C. 当，与的关系式为 D. 的电阻值为时，水位的高度 8. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴上，正方形的顶点B和顶点D在抛物线上．若点B和点D两点的横坐标分别为m、n，其中，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 如果，那么_____． 12. 如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为_____________．（结果保留） 13. 已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中： ①； ②∽； ③∽； ④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______． 14. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______． 15. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，若，是该反比例函数图象任意两点，且满足，则________（填“”，“”或“”）． 16. 如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为_____________． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 19. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣（每人仅选一类）：A．源远流长的荆楚文化；．享誉世界的三峡文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图（均不完整）． 抽取的学生最感兴趣研学内容统计表 研学内容 人数 频率 9 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）若该校九年级共有名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人？ （3）小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率． 21. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价 元，利润 y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）x为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC（）放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当时的解集； （3）若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标． 23. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，、 （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，点D在x轴正半轴上，，连接交抛物线于点E，点P为第一象限抛物线上一点，作轴交线段于Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点F和点D关于y轴对称，连接、，点K为的中点，连接，作交的延长线于点H，连接交y轴于点G，若，求的正切值． 25. 在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． （1）如图1，用含有α的式子表示的度数； （2）如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）12月月考数学试题 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下左图是由若干个小立方块组成的几何体的主视图与俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图和俯视图将决定组合几何体的层数，列数及行数，由此即可判断． 【详解】解：由主视图可得此组合几何体有两列，左边第一列出现三层，所以左视图应该有一列是三层的，综上所述可得选项中只有B的不符合． 故选：B． 【点睛】本题考查由视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；易错点是应理解组成组合几何体的正方体的个数． 2. 如图，在△AOB中，∠0＝90°．AP平分∠OAB．若△AOP～△BOA，OA＝2，则OP的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠OAP=∠OBA，从角平分线定义可得∠OAP=∠BAP，再根据∠O＝90°可得∠OAP=∠BAP=∠OBA=30°，最后可求得OP的长． 【详解】解：∵△AOP∽△BOA， ∴∠OAP=∠OBA， ∵AP平分∠OAB， ∴∠OAP=∠BAP， ∴∠OAP=∠BAP=∠OBA， ∵∠O＝90°， ∴∠OAP+∠BAP+∠OBA=90°， ∴∠OAP=∠BAP=∠OBA=30°， ∴在Rt△AOP中，， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了解直角三角形． 3. 如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　） A. B. 3倍 C. D. 2倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 如图：先证明，再利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：如图：过O作，， ∵， ∴，， ∴，即． ∴像的长是物的长的． 故选A． 4. 在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率稳定性，当试验次数较多时，频率趋近于概率。从表格数据看，随着抽测学生数增加，比值在n较大时稳定在附近． 本题考查利用频率估算概率，熟练掌握估计思维特点是解题的关键． 【详解】解：∵ 概率是频率的稳定值，且试验次数越多，频率越接近概率， ∴ 由表格数据，当和时，比值均为， 且前期波动后趋于该值， ∴ 最合理的估计是， 故选：A． 5. 如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答． 解：∵将沿直线折叠， ， ， ，故选项A正确，不符合题意； ， ， ∵将沿直线折叠， ，，， ， ， ， ，故选项B正确，不符合题意； ， ，， ，， ， ，故选项C正确，不符合题意； 如图，过点作于点， ，， ， ，，， ， ， ， ， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键． 6. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵PA，PB是的切线， ∴， ， ， 则， 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 7. 建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，的电阻值为 B. 随着水位的升高而增大 C. 当，与的关系式为 D. 的电阻值为时，水位的高度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与实际问题，一次函数的性质，求一次函数的解析式等．掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：根据图2可得：当时，的电阻值为；故A选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：随着水位的升高而增大，故B选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：当，的增长量是固定的，符合一次函数， 故设与的关系式为， 将，，代入得， 解得：， 即与的关系式为，故C选项说法正确，不符合题意； 当的电阻值为时，将代入， 得， 解得：， 即的电阻值为时，水位的高度鱼约为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质， 先作，构造出直角三角形，再结合余弦的定义. 【详解】过点A作，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，. 故选：B． 9. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，先确定原抛物线的顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，依次进行向左平移3个单位和向下平移2个单位的变换，从而得到新抛物线的顶点式． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴上，正方形的顶点B和顶点D在抛物线上．若点B和点D两点的横坐标分别为m、n，其中，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：分别过点D和点B两点作y轴的垂线，易证可得、，进而得到、，则，最后运用因式分解求解即可． 【详解】解：如图：分别过点D和点B两点作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将D，B两点的横坐标代入函数解析式得， 点D坐标为，点B坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为_____________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点，将阴影部分合并即可得到扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键． 【详解】∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中： ①； ②∽； ③∽； ④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵∽，、分别为与的中线， ∴，故①正确； ∵，， ∴∽，故②正确； ∴与对应边上的高之比为，故④正确； 而与不相似，故③错误； ∴正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比. 14. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______． 【答案】##216度 【解析】 【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，得出母线长为5，再根据扇形的弧长公式可得答案． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥； 由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4， 则母线长为， 所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长公式． 15. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，若，是该反比例函数图象任意两点，且满足，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意得出，反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小，进而根据即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴ ∴反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小， ∵ ∴，在第三象限， ∴ 故答案为：． 16. 如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为_____________． 【答案】##12平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理；分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、M；由勾股定理求得的长，由面积关系即可求得高；由题意得，由相似三角形的性质可求得，由平行四边形面积计算公式即可求解． 【详解】解：分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、M，交于N， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及零指数的运算法则； （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数进行计算即可求解； （2）根据零指数，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）CG＝6． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF； （2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出，求出CG＝6，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 19. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，记与交点为，连接，过作于， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣（每人仅选一类）：A．源远流长的荆楚文化；．享誉世界的三峡文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图（均不完整）． 抽取的学生最感兴趣研学内容统计表 研学内容 人数 频率 9 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）若该校九年级共有名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人？ （3）小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率． 【答案】（1）； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图、表中获取正确的信息是解题的关键． （1）由题意得，调查的总人数为（人，则，选择的人数为（人，根据，求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的总人数为（人， ， 选择的人数为（人， ， 故答案为：； ． 【小问2详解】 解：由题意知，（人． 估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的约有人． 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中他们选择同一类内容的结果有4种， ∵， 他们选择同一类内容的概率为． 21. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价 元，利润 y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）x为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）为5时，利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质的应用， (1)每件涨价元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式； (2)根据函数的性质求解即可； 熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：所售件数是件，每件的利润是元， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 答：为5时，利润最大，最大利润为6250元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC（）放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当时的解集； （3）若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，正确应用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． （1）过点B作轴于点F．根据题意得，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出点B的坐标为，即可求解； （2）结合点B的坐标及图象可知在的情况下，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方即可求解； （3）分三种情况求解，①当时，②当时，则，③当时，设；结合图象利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点B作轴于点F． ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴点B的坐标为． 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得， 解得 ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：结合点B的坐标及图象可知在的情况下，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方． 所以当时，的解集为：． 【小问3详解】 解：分三种情况求解，如下图所示． ①当时 ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ②当时，则 ∴ ∴ ③当时，设． ∴ ∴ ∵ ∴ ， 解得． ∴ 综上所述，点P坐标为或或或． 23. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）在中，利用三角函数的定义求得，，根据 ，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ； 【小问2详解】 解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D． 当摆球运动至点C时，于点E， ， 在中，，， ，， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，、 （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，点D在x轴正半轴上，，连接交抛物线于点E，点P为第一象限抛物线上一点，作轴交线段于Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点F和点D关于y轴对称，连接、，点K为的中点，连接，作交的延长线于点H，连接交y轴于点G，若，求的正切值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，由题意得到 ，表示长即可； （3）过点作 于点， 于点， 延长交于点， 交轴于点， 交轴于点，利用轴对称的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质求得相应线段的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得线段，，的长度， 利用列出方程求得值，再利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用，的坐标求得直线的解析式，从而求得点坐标，进而求得线段，的长度，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；当时，利用同样的方法解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于、， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为 点P为第一象限抛物线上一点，轴，点P的横坐标为t， ，， 线段的长为d， 与t的函数关系式为 【小问3详解】 过点K作于点M，于点N，延长交于点R，交y轴于点J，交x轴于点L，如图， ， ，， ，点F和点D关于y轴对称， ， ， ， 轴，， ， 点K为的中点， ， ，，轴，， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 若， ， 或 ， 解得：或， 当时，， ， 可求得直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， 的正切值； 当时，， ， 可求得直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， 的正切值， 综上，的正切值为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键 25. 在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． （1）如图1，用含有α的式子表示的度数； （2）如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数， （2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $