周周练10 7.3 离散型随机变量的数字特征（数学人教A版选择性必修第三册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练10 7.3 离散型随机变量的数字特征 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知随机变量的分布列，则（    ）. 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解. 【详解】由分布列性质可知，， 解得， . 故选：B 2．已知离散型随机变量的分布列如下，则（   ） 0 2 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先计算，再根据公式计算得到 【详解】 故答案选B 【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力. 3．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可. 【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且，，. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 则， 故选：C. 4．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为 ξ 1 2 3 4 P m n A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案. 【详解】且，则 即 解得 故答案选A 【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键. 5．有甲、乙两名学生，经统计，他们在参加同一智力竞赛时，各自的成绩为分、分、分的概率如下表所示： 甲 乙 分数 分数 概率 概率 则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两名学生的成绩不相当，且甲的较稳定 B．甲、乙两名学生的成绩不相当，且乙的较稳定 C．甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定 D．甲、乙两名学生的成绩相当，但乙的较稳定 【答案】C 【分析】计算出、、、的值，比较与、与的大小，即可得出结论. 【详解】， ， ， ， ，， 甲与乙成绩的均值一样，甲成绩的方差较小， 因此甲．乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定． 故选：C. 6．若是离散型随机变量，，，且，若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式列出方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】解：，， 又，， ，， ． 故选：C. 7．在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则（   ） A．1.8 B．1.7 C．1.6 D．1.5 【答案】D 【分析】根据题意的取值为0，1，2，3，再利用相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识可解． 【详解】记事件A，B，C分别为甲、乙、丙能按时正确解答该题， 由题意得，，， 则，，． 由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以. 故选：D． 8．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案. 【详解】平均数是，方差是 ，的平均数为： 方差为： 故答案选B 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设随机变量的分布列为，则 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解. 【详解】随机变量的分布列为, ， 解得， 故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故答案为：A、B、C. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以， ，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC 【点睛】本题考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于基础题型. 11．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（    ） 0 1 2 P A． B．的值最大 C．随着p的增大而增大 D．当时， 【答案】AD 【分析】根据的范围可判断选项A正确； 给取特殊值验证选项B错误； 求出，根据二次函数的单调性进行判断选项C； 根据方差公式求出，从而判断选项D. 【详解】，所以A正确； 令，则，，所以B错误； 由题意得， 因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误； 当时，， ，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可. 【详解】依题意有，解得， 则. 故答案为：. 13．已知，随机变量的分布列如表． 0 1 2 若时， ；在的变化过程中，的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】利用期望和方差公式求解. 【详解】当时，． 在的变化过程中，， 则， , 所以当时，最大，最大值为， 所以． 故答案为：，2 14．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【分析】由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求，再根据期望性质求结论. 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为. (1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率： (2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，求X的分布列及期望， 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解； （2）易得随机变量的可能取值为1，2，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）解：若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件， 则. （2）随机变量的可能取值为1，2. 所以的分布列为： 1 2 16．(本小题满分15分)已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，． （1）求，的分布列；． （2）求，的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术． 【答案】（1）答案见解析 ；（2） ，，，；甲比乙的射击技术好． 【分析】（1）由题意先求出，再由随机变量，的意义得到相应的分布列； （2）由（1）中的分布列，利用期望与方差的公式求出期望与方差，结合期望与方差的含义即可求解 【详解】（1）依题意，有，解得． 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙击中7环的概率为， ，的分布列分别为 10 9 8 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得， ， ， ． 由于，说明甲平均击中的环数比乙高， 又，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定， 甲比乙的射击技术好． 17．(本小题满分15分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润. （1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用期付款”的概率； （2）求的分布列、期望和方差. 【答案】（1）（2）分布列见解析；； 【解析】（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，利用对立事件的概率之和为1，先求购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款的概率.                                                            （2）的可能取值为200元，300元，400元，根据顾客采用的付款期数的分布列依次求概率，列出分布列，再求期望和方差. 【详解】解：（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款， 设表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ∴ （2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，300元，400元.得到变量对应的事件的概率 的分布为 200 300 400 0.2 0.6 0.2 ∴ ∴ 【点睛】考查用对立事件的概率之和为1求概率、离散型随机变量的分布列、期望和方差，中档题. 18．(本小题满分16分)为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（环）；（环）；；，应选拔甲射手参加奥运会 【分析】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【详解】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 19．(本小题满分17分)第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从样本中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可； （2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练10 7.3 离散型随机变量的数字特征 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C A C C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． /0.5 13． ; 2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解； （2）易得随机变量的可能取值为1，2，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）解：若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件， 则. （2）随机变量的可能取值为1，2. 所以的分布列为： 1 2 16．（本小题满分15分）（1）答案见解析 ；（2） ，，，；甲比乙的射击技术好． 【分析】（1）由题意先求出，再由随机变量，的意义得到相应的分布列； （2）由（1）中的分布列，利用期望与方差的公式求出期望与方差，结合期望与方差的含义即可求解 【详解】（1）依题意，有，解得． 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙击中7环的概率为， ，的分布列分别为 10 9 8 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得， ， ， ． 由于，说明甲平均击中的环数比乙高， 又，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定， 甲比乙的射击技术好． 17．（本小题满分15分）（1）（2）分布列见解析；； 【解析】（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，利用对立事件的概率之和为1，先求购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款的概率.                                                            （2）的可能取值为200元，300元，400元，根据顾客采用的付款期数的分布列依次求概率，列出分布列，再求期望和方差. 【详解】解：（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款， 设表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ∴ （2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，300元，400元.得到变量对应的事件的概率 的分布为 200 300 400 0.2 0.6 0.2 ∴ ∴ 【点睛】考查用对立事件的概率之和为1求概率、离散型随机变量的分布列、期望和方差，中档题. 18．（本小题满分16分）(1)分布列见解析 (2)（环）；（环）；；，应选拔甲射手参加奥运会 【分析】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【详解】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 19．（本小题满分17分）(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可； （2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练10 7.3 离散型随机变量的数字特征 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知随机变量的分布列，则（    ）. 0 1 2 A． B． C． D． 2．已知离散型随机变量的分布列如下，则（   ） 0 2 4 A．1 B．2 C．3 D．4 3．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（    ） A．2 B．3 C． D． 4．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为 ξ 1 2 3 4 P m n A． B． C． D． 5．有甲、乙两名学生，经统计，他们在参加同一智力竞赛时，各自的成绩为分、分、分的概率如下表所示： 甲 乙 分数 分数 概率 概率 则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两名学生的成绩不相当，且甲的较稳定 B．甲、乙两名学生的成绩不相当，且乙的较稳定 C．甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定 D．甲、乙两名学生的成绩相当，但乙的较稳定 6．若是离散型随机变量，，，且，若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 7．在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则（   ） A．1.8 B．1.7 C．1.6 D．1.5 8．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设随机变量的分布列为，则 A． B． C． D． 10．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（    ） 0 1 2 P A． B．的值最大 C．随着p的增大而增大 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 13．已知，随机变量的分布列如表． 0 1 2 若时， ；在的变化过程中，的最大值为 ． 14．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为. (1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率： (2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，求X的分布列及期望， 16．已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，． （1）求，的分布列；． （2）求，的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术． 17．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润. （1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用期付款”的概率； （2）求的分布列、期望和方差. 18．为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 19．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从样本中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $