素养提升课三 竖直面内圆周运动模型及临界问题-【金版新学案】2025-2026学年高中物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教版）

本高中物理讲义聚焦竖直面内圆周运动模型及临界问题这一核心知识点，系统梳理轻绳模型（最高点临界速度、弹力方向）和轻杆模型（弹力双向性、临界速度意义）的建立过程，通过对比分析两种模型的区别，构建从模型建构到临界条件应用的学习支架。 资料以师生互动任务驱动科学探究，通过表格归纳模型特点、例题解析（如过山车安全分析）及针对练强化科学推理，助力学生掌握临界问题分析方法。课中辅助教师引导学生深化物理观念，课后学生可通过实例练习查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

素养提升课三　竖直面内圆周运动模型及临界问题 【素养目标】　1.通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法分析临界问题。　2.建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析其与轻绳模型的区别。　3.会通过分析圆周运动的临界状态，找到临界条件，解决临界问题。 提升点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型 【师生互动】　如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同，这类运动称为“轻绳模型”。重力加速度为g。 任务1：小球过最高点时，如果绳(或轨道)对小球没有作用力，小球的重力提供向心力，小球在最高点的速度是多大？ 任务2：小球过最高点的速度v＞时，小球受几个力的作用？绳(或轨道)对小球的作用力是多大？ 提示：任务1：由mg＝m得v＝。 任务2：小球受重力和绳的拉力(或轨道的弹力)两个力作用，由F弹＋mg＝m得F弹＝m－mg。 【探究归纳】 轻绳(轨道)模型的特点 项目 特点 情境图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋FT＝m，mg＋FN＝m 临界特征 FT＝0，FN＝0，即mg＝m，v＝ v＝的意义 物体能否通过最高点的临界速率 学生用书⬇第50页 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为50 N，小球的速度不能超过多大？ 答案：(1)2 m/s　(2)15 N　(3)6 m/s 解析：(1)在最高点，由牛顿第二定律得mg＋F＝m 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F≥0 联立解得v≥＝2 m/s 所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。 (2)将v1＝4 m/s代入mg＋F1＝m 解得F1＝15 N。 (3)分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得F2－mg＝m 将F2＝50 N代入解得v2＝6 m/s 即小球的速度不能超过6 m/s。 针对练1. (多选)用轻绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示。重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.小球通过最高点时，轻绳张力可以为0 B.小球通过最高点时的最小速度是0 C.小球刚好通过最高点时的速度是 D.小球通过最高点时，轻绳对小球的作用力可以与小球所受重力方向相反 答案：AC 解析：设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m。当FT＝0时，v＝；当v＜时，FT＜0，而轻绳只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力；当v＞时，FT＞0，小球能通过最高点，可知v＝是小球能通过最高点的临界条件。故选AC。 针对练2.如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时被吓得魂飞魄散。设想如下数据，轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆形轨道直径为15 m，过山车经过最高点时的速度约为18 m/s，g取10 m/s2。在这样的情况下能否保证乘客的安全？ 答案：能 解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速度为临界速度 此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有mg＝m，可得v＝≈8.7 m/s＜18 m/s，可知这样的情况下能保证乘客的安全。 提升点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型 【师生互动】　如图所示，轻杆上固定的小球和在光滑管道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 任务1：小球的速度v＞时，小球受几个力的作用？杆(或管道)对小球的作用力的方向如何？ 任务2：小球的速度v＜时，小球受几个力的作用？杆(或管道)对小球的作用力的方向如何？ 提示：任务1：小球受重力和杆的拉力(或管道外壁的弹力)两个力作用，杆的拉力(或管道的弹力)的方向指向圆心。 任务2：小球受重力和杆的支持力(或管道内壁的弹力)两个力作用，杆的支持力(或管道的弹力)的方向沿半径背离圆心。 【探究归纳】 1.轻杆(管道)模型的特点 项目 特点 情境图示 学生用书⬇第51页 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，还可能等于零 受力示意图 续表 项目 特点 动力学方程 mg±F弹＝m 临界特征 v＝0，则Fn＝0，此时F弹＝mg v＝的意义 F弹的方向是背离圆心还是指向圆心的临界速率 2.小球在最高点时轻杆(或管道)的弹力随速度的变化 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v＜时，mg＞m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的弹力F弹，重力和弹力的合力充当向心力，mg－F弹＝m，即F弹＝mg－m，v越大，F弹越小。 (3)v＞时，mg＜m，即重力小于小球所需要的向心力，小球受到向下的弹力F弹，重力和弹力的合力充当向心力，mg＋F弹＝m，即F弹＝m－mg，v越大，F弹越大。 如图所示，有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g＝10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求小球此时的速率； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； (3)当小球运动到最低点时，小球受到杆的拉力为41 N，求小球此时的速率。 答案：(1) m/s　(2)4 N，方向竖直向下　11 N，方向竖直向上　(3)6 m/s 解析：(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝m 代入数据解得v＝＝ m/s。 (2)当小球运动到最高点速率为1 m/s(小于 m/s)时，此时小球受到杆向上的支持力，根据牛顿第二定律得mg－F1＝m 代入数据解得F1＝4 N 根据牛顿第三定律可得，小球对杆的作用力大小为4 N，方向竖直向下； 当小球运动到最高点速率为4 m/s(大于 m/s)时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律得F2＋mg＝m 代入数据解得F2＝11 N 根据牛顿第三定律可得，小球对杆的作用力大小为11 N，方向竖直向上。 (3)当小球运动到最低点时，小球受到杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F3－mg＝m 代入数据解得v3＝6 m/s。 针对练1. (多选)如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一光滑端点O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速率v＝，g为重力加速度。则(　　) A.小球在最高点时对杆的压力为mg B.小球在最高点时对杆的压力为mg C.若小球运动到最高点时的速率为，小球对杆的弹力为零 D.若小球运动到最高点时的速率为2，小球对杆的拉力为2mg 答案：AC 解析：小球在最高点对杆的作用力恰好为零时，重力提供向心力，根据牛顿第二定律，有mg＝m，解得v0＝，由于v＝＜v0，故杆对球有支持力，根据牛顿第二定律，有mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＝mg，根据牛顿第三定律知，小球在最高点时对杆的压力为mg，故A、C正确，B错误；同理，若小球运动到最高点时的速率为2，小球对杆的拉力满足F＋mg＝m，解得F＝3mg，故D错误。故选AC。 针对练2.如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是(　　) A.v的最小值为 B.当v＝时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C.当v＝时，细管对小球的弹力方向竖直向下 D.当v由逐渐减小的过程中，细管对小球的弹力也逐渐减小 答案：C 解析：小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的速度最小，最小速度为零，故A错误；根据a＝可知，当v＝时，小球的加速度为a＝g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v＝时，小球需要的向心力为Fn＝m＝2mg，则可知细管对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v＜时，小球需要的向心力Fn＝m＜mg，可知，小球受细管竖直向上的弹力，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，可得FN＝mg－m，则当v由逐渐减小的过程中，细管对小球的弹力FN逐渐增大，故D错误。故选C。 学生用书⬇第52页 提升点三　圆周运动的临界问题 1.与摩擦力有关的临界问题 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Ff＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力外还有其他力提供向心力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界问题 (1)与接触面的弹力有关的临界问题：接触与脱离的临界条件为弹力F弹＝0。 (2)与绳的弹力有关的临界问题 ①绳子断与不断的临界条件为绳中张力等于它所能承受的最大张力； ②绳子松弛的临界条件为绳中张力F＝0。 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m0、m0、m0，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 答案：C 解析：A、B、C三物体角速度相同，由an＝ω2r知，物体C的向心加速度最大，A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝m0ω2R，FfC＝m0ω2·2R，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，B错误；物体恰好滑动时，有kmg＝mω2r，则ω＝，可知滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，则物体C先滑动，C正确，D错误。故选C。 　　物体恰好滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值，根据牛顿第二定律列方程，求解出相应的临界角速度。 如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为θ＝37°，小球以角速度ω绕圆锥体轴线做水平圆周运动(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g)。 (1)当ω1＝时，求细线对小球的拉力大小和小球对圆锥体的压力大小； (2)当ω2＝时，求细线对小球的拉力大小。 解题引导：(1)若要小球离开圆锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若ω＜ω0，小球没有离开圆锥面；若ω＞ω0，小球离开圆锥面。 答案：(1)　　(2)2mg 解析：(1)小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力为FN＝0 由牛顿第二定律可得mgtan θ＝mLsin θ 解得ω0＝ ＞ω1 则当ω1＝ 时，小球对圆锥体的压力不为0，对小球进行受力分析如图甲所示 根据牛顿第二定律有FT1sin θ－FN1cos θ＝mLsin θ，FT1cos θ＋FN1sin θ－mg＝0 联立解得FT1＝，FN1＝ 根据牛顿第三定律可得小球对圆锥面的压力大小为。 (2)因ω2＝ ＞ω0，可知小球离开圆锥面，对小球进行受力分析如图乙所示 设细线与竖直方向的夹角为α，由牛顿第二定律得 FT2sin α＝mLsin α 解得FT2＝2mg。 针对练1.如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是(　　) A.乙物体的向心加速度大 B.乙物体受到的静摩擦力大 C.ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度 D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动 答案：D 解析：甲、乙两个物体随旋转圆台转动时，角速度相同。根据an＝ω2r可知，乙物体的旋转半径小于甲物体的旋转半径，则乙物体的向心加速度小于甲物体的向心加速度，A错误；根据牛顿第二定律得Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝mω2R，可知甲物体受到的静摩擦力大，B错误；对甲物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，则μmg＝m·2R，解得ω甲＝，C错误；对乙物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，则μmg＝mR，解得ω乙＝，因为ω甲＜ω乙，所以当圆台转速增加时，甲物体先滑动，D正确。故选D。 学生用书⬇第53页 针对练2.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 答案：(1)　(2) 解析：(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mr，解得ω1＝。 (2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，有mgtan θ＝mr，tan θ＝，联立解得ω2＝。 学科网（北京）股份有限公司 $