5.3 实践与探索-课时3 工程问题与行程问题-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(华东师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“一元一次方程”中的工程问题与行程问题，通过直播带货包装果子、《九章算术》古题等现实情境导入，从基础公式（工作量=效率×时间、路程=速度×时间）过渡到复杂情境（追及、顺逆流、火车过桥），搭建由具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，如用直播带货案例引导学生从现实中发现数量关系；通过火车过桥分类讨论（完全过桥与完全在桥）发展数学思维，训练逻辑推理；用方程建模（设未知数、列方程）强化数学语言表达。分层训练（基础、提升、素养）助力学生提升应用意识，教师可直接使用分层素材优化教学效率。

数 学 七年级下册 HS 1 2 3 第5章 一元一次方程 4 5.3 实践与探索 课时3 工程问题与行程问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 工程问题 1.【2024四川成都期末】某班组每天生产60个零件才能刚好在规定时间内完成一 批零件生产任务，实际该班组每天比计划多生产了4个零件，结果比规定的时间提 前5天完成，若设该班组要完成的零件生产任务为 个，则可列方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可列方程为 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2.【2025河南洛阳期中】一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独 做要20天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了___天假. 3 【解析】设甲请了天假.由题意知，,解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 3.【2025四川广安期末】近年来，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农 业增效、农民增收的新业态、新模式.某地的特色水果，为方便运输并减少运输途 中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同. 已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数 比4箱多8个.甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子.甲、乙两工人共同包装 一天（8小时）可包装几箱果子？ 【解】设每箱可装个果子.由题意，得，解得 ， 所以甲工人每小时可包装的果子数为 （个），乙工人每小时可包装的 果子数为（个），所以 （箱）. 答：甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装18箱果子. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 关键点拨 间接设未知数，再表示甲、乙的工作效率，根据工作效率的关系建立方程求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 知识点2 行程问题 4. 传统文化 【2025江苏南通期末】《九章算术》中有一题为“今有甲发长 安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相 逢？”其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7 天时间可到达长安.若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与 乙相遇？设甲经过 天与乙相遇，则下列方程正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】根据题意得 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 5.【2025重庆万州区期中】一艘轮船从甲码头顺流航行 到达乙码头，又从乙码 头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是 ，则水流 的速度为________. 【解析】设水流的速度为. 这艘轮船从甲码头顺流航行 到达乙码头， 且这艘轮船在静水中的速度是， 甲码头到乙码头的路程为 . 从乙码头逆流航行返回甲码头， 乙码头到甲码头的路程为 ， 可列方程为，解得 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 6.【2025江苏盐城期末】从汽车站直达高铁站的公交线路全长13 800米.公交车在 这条线路上的平均速度为每分钟600米.某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿这条公 交线路前往高铁站接亲戚.当他们经过汽车站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出 发前往汽车站.已知轿车的平均速度为每分钟1 000米. （1）请问公交车出发后多少分钟与轿车相遇？ 【解】设公交车出发后 分钟与轿车相遇.由题意可得 ，解得 . 答：公交车出发后5.5分钟与轿车相遇. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （2）小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（等待亲戚及亲戚上车时间忽略不计） 按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 【解】设他们 分钟追上这辆公交车. 由题意可得 ， 解得 . 答：他们13.2分钟追上这辆公交车. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 提升 1.［中］甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入合作,完成剩下的工 作,设工作总量为1,工作进度如下表，则完成这项工作共需( ) 第3天 第5天 工作进度 A A.9天 B.10天 C.11天 D.12天 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解析】从表中可知，甲做3天完成,所以甲每天完成 ,因此甲做5天完成的工作 量为,乙做2天完成的工作量为,因此乙每天完成的工作量为 .设完成 这项工作共需要天,则甲做了天,乙做了天.依题意,得 ,解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2.【2025湖北孝感期末，中】已知A、B、C三站在一条东西走向的马路边，小马在 A站，小虎在B站，两人分别从A、B两站同时出发，约定在C站会面商议事宜.若小 马的行驶速度是小虎的行驶速度的 ，两人同时到达C站，且A、B两站之间的距离 为 ，则C站与A、B两站的距离之和是( ) C A. B. C.或 D.或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】由题意可知,相同的时间，小马行驶路程是小虎行驶路程的 .设小马行驶 路程为，则小虎行驶路程为 .分两种情况:如图（1）,由题意得 ，解得， 站与A、B两站之间的距离之和是 ； 图（1） 如图（2），C站与A、B两站之间的距离之和是 . 图（2） 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 3.［中］某桥长 ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥 到完全过桥共用，而整个火车在桥上的时间是 ，则火车的速度为________. 关键点拨 由于火车是匀速行驶的，所以本题的等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度 火 车完全在桥上的速度 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 识图解题 火车过桥问题 火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况.借助线段图说明如下： ①火车从上桥到完全过桥，此时火车走的路程是桥长 车长，如图（1）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 ②火车完全在桥上，此时火车走的路程是桥长-车长，如图（2）. 【解析】设火车车身长为.根据题意，得，解得 ， ， 火车的速度是.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 4.［中］甲、乙两地相距，甲地有一列慢车和一列快车,慢车以 的 速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发后，快车以 的速度从甲地匀速 驶往乙地.两车相继到达终点乙地，在整个过程中，两车恰好相距 的次数是 ___. 4 【解析】， 快车未出发，慢车出发时，两车相距 .设 快车出发时，两车相距 .快车超过慢车前，由题意得 ，解得 ；快车超过慢车后，由题意得 ，解得；快车到达乙地后，，即 ， ，解得，符合条件. 两车恰好相距 的次数 是4.故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 思路分析 利用时间路程 速度，可求出快车未出发且两车相距 的时间.设快车出发 时，两车相距 ，分快车超过慢车前、快车超过慢车后及快车到达乙地后 三种情况，根据路程速度×时间结合两车之间相距，即可得出关于 的一 元一次方程，解之即可得出 的值，进而可得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 5.【2024四川成都质检，较难】甲、乙两水管同时打开，10分钟就能注满水池.现 在先打开甲水管，9分钟后再打开乙水管，再过4分钟就注满了水池.已知甲水管比 乙水管每分钟多注入0.28立方米水，那么这个水池的容积是_____立方米. 8.4 【解析】设乙水管每分钟注入立方米水，则甲水管每分钟注入 立方米 水.由题意得 ，解得 ，所以这个水池的容积是 （立方米）， 故答案为8.4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 6.［中］有一些相同的房间需要粉刷，一天3个师傅去粉刷8个房间，结果其中有 墙面未来得及刷；同样的时间内5个徒弟粉刷了9个房间的墙面.每个师傅比 徒弟一天多刷 的墙面. （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积. 【解】设每个房间需要粉刷的墙面面积为 . 由题意得 ， 解得 . 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）张老板现有36个这样的房间需要粉刷. ①若请1个师傅带2个徒弟去，需要几天完成？ 【解】由（1）得每个师傅每天粉刷的墙面面积为 ， 每个徒弟每天粉刷的墙面面积为 ， 则1个师傅带2个徒弟粉刷36个房间需要 （天）. 答：若请1个师傅带2个徒弟去，需要6天完成. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 ②已知每个师傅、徒弟每天的工资分别是95元、75元（不足1天的工资按1天算）， 张老板要求在3天内完成36个房间的粉刷，问如何在这8个人中雇用人员最合算？ 请直接写出你的雇用方案.（被雇工人要求：他们必须同时开工，同时收工，不可 无故在工作期间辞掉某个人） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解】在这8个人中雇用2个师傅、4个徒弟最合算. 若想在3天内完成， 则每天粉刷的墙面面积最少为 若雇用3个师傅和3个徒弟，则每天粉刷的墙面面积为 ， ， （天）， 每天的费用是 （元）； 若雇用2个师傅和4个徒弟， 则每天粉刷的墙面面积为， （天）， 每天的费用是 （元）. 综上，在这8个人中雇用2个师傅、4个徒弟最合算. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 关键点拨 （2）② 个师傅粉刷的墙面需花费（元），而1个徒弟粉刷 的墙 面需花费（元）， ，故雇用师傅更合算.但雇用3个师傅，3个徒弟有浪 费（工期有不足1天的情况），故需与雇用2个师傅、4个徒弟的情况作比较. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 应用意识 【2025北京朝阳区期中，较难】甲、乙两人在同一条椭圆 形跑道上进行特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第 一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 ， 甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度比第一圈提高了 ，已知 沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条 跑道长多少米？ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解】设开始时甲的速度是，则乙的速度是 . 设跑道长是，则甲、乙第一次相遇时，按前进方向,甲距出发点的路程为 . 甲跑完第一圈，乙跑了，乙再跑余下的，甲已折返，且以 的速 度跑， 所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了，这时乙折返，并以 的 速度跑, 从这时起，甲、乙速度之比是 , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 所以在两人第二次相遇时，甲跑了余下的的 ， 而乙跑了余下的的 ， 即第二次相遇时乙距出发点 . 易知沿跑道看两次相遇点间的最短路程是 米， 即 米， 则 米. 答：这条跑道长400米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $