2.2 课时4 用公式法解一元二次方程-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册“用公式法解一元二次方程”及根的判别式，通过2025年各地调研真题导入，衔接一元二次方程一般形式，构建“公式推导-解法应用-判别式判断”的学习支架，帮助学生逐步掌握求根公式及根的三种情况。 其亮点在于融合运算能力与推理意识，如通过含根号系数方程的判别式计算培养运算严谨性，“喜鹊数”问题引导用数学语言表达数量关系。采用真题实例与易错警示结合的教学方法，学生能提升解题能力与思维品质，教师可直接利用分层习题与技巧总结优化教学。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.2 一元二次方程的解法 课时4 用公式法解一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用公式法解一元二次方程 1.【2025广东湛江调研】在用求根公式 求一元二次方程的根时，小 珺正确地代入了，，的值得到 ，则她求解的一元二次方 程是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得，，， ，所以该一元二次方程为 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025北京海淀区质检】用公式法解方程时，求得 的值是( ) D A.16 B.24 C.32 D.64 【解析】整理方程得，所以，， ， 所以 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.【2025浙江宁波调研】利用公式法解得一元二次方程 的两个 根为,，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】在方程中，,, ，所以 ，所以 .因为一元 二次方程的两个根为,，且，所以的值为 ，故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2025浙江衢州期末】已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为，（其中 ）， 若是关于的函数，且，则当时， 的取值范围为__________. 【解析】因为是关于 的一元二次方程，所以 由求根公式，得，所以或.因为， ，所以 ，，所以 .当 时，,解得，所以的取值范围为 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.用公式法解下列方程： （1）【2025辽宁锦州期中】 . 【解】，所以,, ，所以 ，所以，所以 , . （2）【2025上海静安区期末】 . 【解】，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以，所以， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 一元二次方程的根的判别式 6.【2025浙江杭州调研】下列关于 的一元二次方程有实数根的是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】A选项，对于方程 ， ，故该方程没有实数根，不符合题意；B 选项，对于方程， ，故 该方程没有实数根，不符合题意；C选项，对于方程 ，可化为 ，则 ，故该方 程没有实数根，不符合题意；D选项，对于方程 ，可化为 ，则 ，故该方程有两个相 等的实数根，符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.【2025江苏南通期末】已知关于的一元二次方程 有两 个不相等的实数根.若此方程的两根均为正整数，则正整数 的值为___. 1 【解析】由题意得且 ，所以当 且时，原方程有两个不相等的实数根,两根为 ，即 ，.因为为不等于1的正整数，所以可取的正整数 的值为1.故答案 为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.已知关于的方程．当 为何非负整数时， （1）方程只有一个实数根？ 【解】因为方程只有一个实数根， 所以，,解得 . （2）方程有两个相等的实数根？ 【解】因为方程有两个相等的实数根，所以 , ,解得 . （3）方程有两个不相等的实数根？ 【解】因为方程有两个不相等的实数根，所以 , ,解得且.因为 为非负整数，所以 或1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 技巧总结 对于一元二次方程,当 时，方程有两个不相 等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时， 方程没有实数根.上面的结论反过来也成立. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 忽略公式法的前提条件导致计算错误 9.解方程 时，有一位同学解答如下： 因为，，，所以 ,所以 ，所以， ． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题 过程． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解】有错误，错误之处在于没有先把方程化成一般形式.正确解法： 原方程整理，得 . 因为，，，所以 ， 所以，所以， . 易错警示 注意用公式法解一元二次方程时，需要先把一元二次方程化为 的一般形式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.【2024浙江杭州期中，中】定义新运算：对于两个不相等的实数， ，我们规 定符号，表示，中的较大值，如：，， ， .按照这个规定，若，，则 的值是( ) B A. B.或 C. D.1或 【解析】若，即，则，解得 （负值已舍去）； 若，即，则，解得（正值已舍去）.综上, 的值 为或 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 2.［中］若等腰三角形的边长分别为，，2，且，是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为( ) B A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 思路分析 等腰三角形分类讨论步骤 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】因为三角形是等腰三角形，所以有或，以及 两种情况. ①当或时，因为，是关于的一元二次方程 的两 个实数根，所以把代入，得 ，解 得，所以原方程为，解得， .而长为2，2，4的 线段不能组成三角形，故不符合题意.②当时，方程 有两 个相等的实数根，所以根的判别式为，解得 ，所以原 方程为，解得 .长为2，3，3的线段能组成三角形，符 合题意.综上， 的值为10. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 关键点拨 本题需分两种情况进行讨论：①当或 时； ②当 时.注意利用三角形的三边关系进行验证. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 3. 【2025四川达州质检，中】如图，在长方形 中， 以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点 为圆心， 为半径作弧与交于点.设， ，则( ) A A.线段的长是方程 的一个解 B.线段的长是方程 的一个解 C.线段的长是方程 的一个解 D.线段的长是方程 的一个解 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解析】因为四边形为长方形，所以 .因为， ， 所以.由作法得，，所以 ， .解方程得 ，故A选项符合题 意；解方程得 ，故B选项不符合题意；解方程 得，故C选项不符合题意；解方程 得 ，故D选项不符合题意.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 4.［中］若方程有实数根，则 ____. 【解析】因为方程有实数根，所以 ，化简, 得，所以 因为 ,，所以，，解得， ， 所以.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 5.【2025浙江宁波调研，中】已知点，的坐标分别为，，点 在直 线上，若为等腰三角形，则这样的 点共有___个. 5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】设.若 为等腰三角形，则有以下三种情况：①当 时，,解得 ，此时 ；②当时， ，整理得 ,解得，此时, 或 ;③当时， ，整理得 ,解得，此时,或 , .故答案为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6.【2024广东江门质检，中】若，且 ，这里 ，是有理数，则 ____. 【解析】在中，因为，， ，所以 .因为，所以.因为，所以.因为，且， 是有理数，所以 ，即，所以， ，则 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 7.【2025河南洛阳期中，中】将关于的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的， 则 ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方 法可以化简次数较高的代数式.已知，且 ，则 的值为_______. 【解析】因为，所以 ，所以 ，所以 .对于方程 ， ,,，所以.因为 ,所以方程的解为 ，所以 ，故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 刷素养 走向重高 8.核心素养 运算能力 ［较难］对于任意一个三位数，如果 满足各个数位上的 数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4 倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为 ，所以169 是“喜鹊数”． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （1）已知一个“喜鹊数”，，，其中，， 为 正整数，请直接写出，， 所满足的关系式：_____________；判断241______ （填“是”或“不是”）“喜鹊数”，并写出最小的“喜鹊数”：_____. 不是 121 【解析】因为是“喜鹊数”，所以，即 . 因为，， ，所以241不是“喜鹊数”.因为各个数位上 的数字都不为零，十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4 倍，所以十位上的数字的平方最小为4.因为， ，所以最小的 “喜鹊数”是121.故答案为 ，不是，121. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 关键点拨 理解“喜鹊数”的定义，并据此进行解题； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）利用（1）中“喜鹊数”中的，， 构造两个一元二次方程 与.② 若是方程①的一个根， 是方程②的一个根，求与 满足的关系式. 【解】因为是一元二次方程的一个根， 是一元二次方 程的一个根，所以， .将 两边同除以,得，所以可将, 看成是方 程的两个根.因为，所以方程 有两 个相等的实数根，所以，即 . 关键点拨 根据一元二次方程根的定义和根的判别式解答即可； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （3）在（2）的条件下，，请直接写出满足条件的所有 的值． 【解】满足条件的所有 的值为121，242，363，484. 因为，，所以，，所以 ，所以 .因为，所以，解得 ，所以满足条件的所有 的值为121，242，363，484. 关键点拨 结合已知和（2）求出，，从而得到, ,结合“喜鹊数” 的定义即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 $