重庆西藏中学校2025-2026学年度上学期半期考试高二数学试题卷

重庆西藏中学校2025-2026学年度上期半期考试 高二 数学试题卷 （时间：120分钟，满分150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1、已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2、点落在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 3、若直线与直线垂直，则实数的值（ ） A. 3 B. 0 C. D. 0或 4．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5.已知半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6．已知 ， 是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若， ， ，则 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8、已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 点到直线的距离是2 C. 若直线，则 D. 过点与直线平行的直线方程是 10、[2023· 新课标Ⅱ卷]（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11.已知椭圆的两个焦点分别为，，是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则的值为_  _  _  _  _  _  . 13、如图，平面平面 ，所在的平面与 ， 分别交于，，若，，，则_ _ _ _ _ _ . 14、若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ . 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1） 求圆的方程； （2） 过点的直线与圆交于，两点，若弦长，求直线的斜率；） 16．（15分）在中，角，，的对边分别是,,.已知. （1） 求角的值；（2） 若,,求的面积. 17．（15分）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点. （1） 求证：平面;（2） 设为棱的中点，求证：平面平面. 18、（17分）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程 (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 19．（17分）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥. （1） 当时，求的长； （2） 当平面 平面时，求平面和平面夹角的余弦值. ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学校2025-2026学年度上期半期考试 高二 数学试题卷（解析版） （时间：120分钟，满分150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1、已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意得，直线 的斜率，设直线 的倾斜角为 ,则,因为 ,所以 . 2、点落在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 【答案】（1） D 【解析】（1） 因为 角为第二象限角，所以，，所以点 落在第四象限内. 3、若直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 0或 【答案】D 【解析】选.因为直线 与直线 垂直，所以，整理得,解得 或. 4．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意得，圆锥的底面半径，则圆锥的高为,所以圆锥的体积为 5.已知半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意，设圆心坐标为，则圆心到直线 的距离,解得（负值已舍去）,所以该圆的标准方程为. 6．已知 ， 是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若， ， ，则 【答案】C 【解析】选.若， ，则 或 ，故 不正确；若 ， ，则 或 与 异面，故 不正确；若 ，则 与 没有公共点，又因为 ，所以 与 没有公共点，所以 ，故 正确；若， ， ，则 或 与 相交，故 不正确. 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设点，，则，因为 为 的中点，所以，即，又点 在圆 上，所以,即,即点 的轨迹方程为. 8、已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】如图，延长，，交于一点， 过点 作 平面，垂足为，与平面 交于点，连接，，易知， 因为 是正三棱台，所以三棱锥 是正三棱锥，为 的中心. 设，的面积分别为，， 则, ， 所以 . 所以. 因为，所以. 又因为，所以， 所以，所以， 因为 平面，所以 是 与平面 所成的角. ， 在 中，. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 点到直线的距离是2 C. 若直线，则 D. 过点与直线平行的直线方程是 【答案】BD 【解析】选.对于，直线，即，则其斜率，则其倾斜角是，故 错误；对于，点 到直线 的距离，故 正确；对于，直线，即，其斜率，而，故直线 与直线 不垂直，故 错误；对于，依题意，设所求直线的方程为，将 代入，得，故，则所求直线方程为，故 正确. 10、已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】选.在 中，由余弦定理得,如图，连接，易知圆锥的高，底面圆的半径. 对于,该圆锥的体积 ,故 正确；对于,该圆锥的侧面积 ，故 错误；对于，取 的中点，连接,,因为，所以，同理可得,则二面角 的平面角为 ，所以，,所以,故 正确；对于，,，故 错误. 11.已知椭圆的两个焦点分别为，，是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】选.由 得,所以,,，令，，对于，,故 错误；对于，的周长为,故 正确；对于，的最小值为,故 错误；对于，,即,当且仅当 时等号成立，故 正确. 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则的值为_  _  _  _  _  _  . 【答案】 【解析】将椭圆方程化为. 由题意，知,,所以,. 又,所以,即. 13、如图，平面平面 ，所在的平面与 ， 分别交于，，若，，，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由面面平行的性质定理得，,所以，所以. 14、若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . , 14、解析： 由圆，可得圆心，半径，如图所示，过圆心 作直线 的垂线，垂足为，延长 交圆 于点，要使得圆 上有4个点到直线 的距离为2，则满足，又由圆心 到直线 的距离，解得，即实数 的取值范围是,. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1） 求圆的方程；（5分） （2） 过点的直线与圆交于，两点，若弦长，求直线的斜率；（8分） 【答案】（1） 解：因为直线 与圆心为坐标原点的圆 相切,所以圆 的半径,所以圆 的方程为. （2） 由题知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为，则直线 的方程为,即,圆心 到直线 的距离,因为弦长，所以， 解得 或. 16．（15分）在中，角，，的对边分别是,,.已知. （1） 求角的值；（6分） （2） 若,,求的面积.（9分） 【答案】 （1） 解：在 中，由 及正弦定理，得,而,,则,又, 所以. （2） 在 中，由余弦定理得,且，因此, 又,解得,所以 的面积. 17．（15分）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点. （1） 求证：平面;（7分） （2） 设为棱的中点，求证：平面平面.（8分） 【答案】 （1） 证明：在四棱柱 中，连接，如图. 因为，分别是，的中点，所以. 又 平面, 平面,所以 平面. （2） 因为 是 的中点，是 的中点， 所以. 又 平面, 平面，所以 平面. 由（1）知 平面，又，， 平面，所以平面 平面. 18、（17分）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程；（7分） (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值.（10分） 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程. （2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可. 【解答过程】（1）由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）如图：    联立，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 19．（17分）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥. （1） 当时，求的长；（6分） （2） 当平面 平面时，求平面和平面夹角的余弦值.（11分） 【答案】 （1） 【解】由，，且,, 平面，可得 平面， 又 平面，所以. 在 中，根据勾股定理得. （2） 如图，过点 作 于点，易知，. 由平面 平面，平面 平面， 平面，得 平面. 以 为坐标原点，在平面 中，过点 作 的垂线为 轴，，所在直线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，,,，，，. 设平面 的法向量为,则 令,得,,所以 为平面 的一个法向量. 设平面 的法向量为,则 令,得,,所以 为平面 的一个法向量.记平面 和平面 的夹角为 ，则,,即平面 和平面 夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $