教考衔接十八 教材命题点探源基础卷（二）-2026届高三数学二轮复习

教考衔接十八 教材命题点探源 基础卷（二） （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·长郡模拟）已知（i为虚数单位)，则( ) A.2 B. C.4 D.8 2．（2026·秦皇岛模拟）已知集合，，若，则实数( ) A. B.1 C.2 D.，1或2 3．（2026·宜春1月检测）按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的分位数为( ) A.96 B.96.5 C.97 D.97.5 4．（2026·长沙模拟）已知，均为等差数列，且，，　　 A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 5．（2026·常德阶段检测）在中，，，，则( ) A. B. C.6 D.5 6. （2026·衡水模拟）已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为( ) A. B. C. D. 7. （2026·长沙模拟）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为( ) A.cm B.cm C.cm D.cm 8．（2026·咸阳月考）设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·成都期末）设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则( ) A. B. C.为常数 D.为等比数列 10．（2026·亳州期末）若双曲线的渐近线方程为，且与直线交于A，B两点，则( ) A. B. C.在A，B两点处的切线倾斜角互补 D.在A，B两点处的切线夹角为 11．（2026·自贡模拟）已知函数，则( ) A.若，，则有且仅有两个零点 B.若，则0为的极值点 C.当a为定值时，曲线在处的切线在y轴上的截距为定值 D.若，，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （2026·台州模拟）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点E在上，则的最小值是__________. 13. （2026·濮阳校考）已知函数在处有极大值，则_________. 14．（2026·河南信阳期末）在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·周口校考）（13分）已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 16．（2026·渭南模拟）（15分）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点. （1）求直线的斜率k的取值范围； （2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标. 17．（2026·长沙一模）（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面，，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）求证：平面DEF； （2）求二面角的正弦值. 18．（2026·苏州校考）（17分）已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求． （2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为． ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率． 参考数据：若，，，． 19．（2026·青岛期末校考）（17分）已知函数(a为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； （3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 教考衔接十八 教材命题点探源 基础卷（二） （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·长郡模拟）已知（i为虚数单位)，则( ) A.2 B. C.4 D.8 【答案】B 【解析】由复数，可得，所以. 故选B. 2．（2026·秦皇岛模拟）已知集合，，若，则实数( ) A. B.1 C.2 D.，1或2 【答案】C 【解析】由，得，所以或解得.故选C. 3．（2026·宜春1月检测）按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的分位数为( ) A.96 B.96.5 C.97 D.97.5 【答案】D 【解析】共10个数，，所以分位数为第8个，第9个数据的平均数，即，故选D. 4．（2026·长沙模拟）已知，均为等差数列，且，，　　 A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【解析】选A.由于，均为等差数列，则为等差数列，因此，， 所以的公差为1，故. 5．（2026·常德阶段检测）在中，，，，则( ) A. B. C.6 D.5 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为，所以，即，解得，故选B. 6. （2026·衡水模拟）已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】圆台的轴截面为如图所示的等腰梯形，过D，C分别作，垂直于，垂足为E，F，，，，所以圆台轴截面等腰梯形的底角为，高为，将圆台补形为圆锥GO，易知圆锥GO的轴截面是边长为12的正三角形GAB，设的内切圆半径为r，则，解得，即边长为12的正三角形内切圆半径为，，故能放入最大球半径为，其表面积为.故选A. 7. （2026·长沙模拟）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为( ) A.cm B.cm C.cm D.cm 【答案】C 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以C为笔筒对应双曲线的实轴端点， 以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴， 建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点.由题意可知，，，设，则， 设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为， 所以，所以方程可化简为，将A和B的坐标代入式可得，解得，则笔筒最细处的直径为.故选：C. 8．（2026·咸阳月考）设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】根据题意，过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，，又，所以，，从而可以求得，故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·成都期末）设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则( ) A. B. C.为常数 D.为等比数列 【答案】ACD 【解析】设公比为q，则，解得，故，则，.对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，为常数，故C正确；对D，，，，故为等比数列，故D正确；故选ACD. 10．（2026·亳州期末）若双曲线的渐近线方程为，且与直线交于A，B两点，则( ) A. B. C.在A，B两点处的切线倾斜角互补 D.在A，B两点处的切线夹角为 【答案】BCD 【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，故A错误；双曲线的方程为，当时，，故，，故，故B正确；如图，设双曲线在点处的切线方程斜率为，则切线方程为，联立，可得，则，得，故切线方程为，同理可得双曲线在点处的切线斜率为，方程为，故在A，B点处的切线倾斜角为，故C、D正确.故选BCD. 11．（2026·自贡模拟）已知函数，则( ) A.若，，则有且仅有两个零点 B.若，则0为的极值点 C.当a为定值时，曲线在处的切线在y轴上的截距为定值 D.若，，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 【答案】ACD 【解析】对于A，若，，则，有且仅有，0两个零点，故A正确； 对于B，若，则，当时，，没有极值点，故B错误； 对于C，，，又，故切线方程为，在y轴上的截距为，为定值，C正确； 对于D，曲线上存在关于直线对称的两点，即有非零实根，即，化简得有非零实根，故有非零实根，故，得，由于每步都为充要条件，故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （2026·台州模拟）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点E在上，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】如下图，， 若F为中点，且，则，则，要使其最小，只需，共线， 此时，由图知此时.故答案为：. 13. （2026·濮阳校考）已知函数在处有极大值，则_________. 【答案】3 【解析】，，因为函数在处取得极大值，所以，，得或，且，当时，，在区间和单调递增，当时，，在区间单调递减，所以当时函数取得极大值，即，得. 14．（2026·河南信阳期末）在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________. 【答案】 【解析】设三棱锥的内切球分别与面、面相切于D，E两点，易知平分，平分，易知，，取中点为Q，则M在的平分线上，同理三棱锥的内切球球心N在的角平分线上，易知面，故，同理，于是为平面与平面的夹角的平面角，设正四面体棱长为，则，，，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·周口校考）（13分）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若且，求的值． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【解析】(1)因为 ，所以的最小正周期， 令，解得， 所以的单调递增区间为； (2)由(1)可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 16．（2026·渭南模拟）（15分）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析；定点 【解析】(1)根据题意直线，的斜率均存在且不为0， 直线，分别为，， 联立，得， 由，得，则或， 同理，则， 所以k的取值范围为. (2)证明：设，， 由(1)得， 所以，则， 所以， 则，同理， 则直线的方程为， 化简整理得， 因此直线经过一个定点. 17．（2026·长沙一模）（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面，，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）求证：平面DEF； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）证明：因为底面，底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以， 因为、平面，，所以平面PCD， 又平面PCD，所以， 因为，E是PC的中点，所以， 又PC，BC是平面PBC内的两条相交直线，所以平面PBC， 又平面PBC，所以， 又，且，所以平面DEF. （2）以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，则，， 由（1）知平面DEF，所以为平面DEF的一个法向量， 设平面BDE的法向量为， 则由得取， 则， 设二面角的平面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. 18．（2026·苏州校考）（17分）已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求． （2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为． ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率． 参考数据：若，，，． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解析】(1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，可知， 则，， 则 ， (2)①由题意知， 因为，所以， ， 所以成立. ②由①可得， 所以第天元件B，C正常工作的概率均为， 当第天系统正常运行时，元件B，C至少有一个在正常工作，其对立事件第天系统不正常运行时，元件B，C都不正常工作. 则第天系统正常运行概率为. 19．（2026·青岛期末校考）（17分）已知函数(a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为. (3) 【解析】(1)证明：由题可知函数的定义域为， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以在上是增函数. (2)因为，所以，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值为， 因为，， 所以当时，函数有最大值为. (3)由得，即， 因为，所以，，所以， 且当时，所以在上恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令，， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $