20.2勾股定理的逆定理及其应用 寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

20.2勾股定理的逆定理及其应用（人教版） ☟ 预习内容速览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.巩固提升◆综合测试 ✅ 课前预习◆目标 ●深入理解勾股定理逆定理的内容，并能用文字语言和符号语言准确表述； ●掌握如何利用三角形三边的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形； ●能够熟练运用勾股定理的逆定理解决简单的几何问题和实际应用问题，例如判断三角形形状、解决航海或测量中的方位问题等； ●学会区分勾股定理与其逆定理在条件和结论上的区别，理解它们之间的内在联系，体会“数形结合”的数学思想。 ☘ 重点知识◆梳理归纳 【知识点1勾股定理的逆定理】 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形． 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是． 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） （1）如果，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果，那么这个三角形是钝角三角形； （3）如果，那么这个三角形是锐角三角形． 【重点提示】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形． 【知识点2勾股数】 1、勾股数：满足的三个正整数称为勾股数． 2、常见的勾股数：① 3、4、5；② 6、8、10；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 5、12、13；⑥ 9、12、15． 3. 勾股数的整数倍仍为勾股数：如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数； 【知识点3利用勾股定理解决实际问题】 （1） 构建几何模型（从整体到局部）； （2）标注有用信息，明确已知和所求； （3）应用数学知识求解。 💦核心考点◆精讲精练 题型1判断三边能否构成直角三角形 例1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 变式1．边长为a，，5的三角形是直角三角形，则 ． 变式2．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点 例2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 变式1．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 题型3在网格中判断直角三角形 例3．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1.如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 变式2．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 题型4利用勾股定理的逆定理求解 例4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 变式1．如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为 ． 变式2．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 题型5勾股定理逆定理的实际应用 例5．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 变式1．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ． 变式2．如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点C，河边有两个入口A、B，通过道路、可前往观景点C，．因景区改造，需要关闭通道，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点H在河边，A、H、B在同一直线上）．经测量：米，米，米． (1)判断是否为从C到河边的最近道路，并说明理由． (2)求原道路的长度． 题型6勾股定理逆定理的拓展问题 例6．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 变式1．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 变式2．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． ✍ 巩固提升综合测试 一、单选题 1．若的三个顶点，，所对的边分别为，，，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 4．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 5．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 6．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 二、填空题 7．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为 ． 8．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 9．在中，已知，，则的度数为 ． 10．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 11．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 三、解答题 12．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 15．如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 16．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 17．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用（人教版） ☟ 预习内容速览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.巩固提升◆综合测试 ✅ 课前预习◆目标 ●深入理解勾股定理逆定理的内容，并能用文字语言和符号语言准确表述； ●掌握如何利用三角形三边的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形； ●能够熟练运用勾股定理的逆定理解决简单的几何问题和实际应用问题，例如判断三角形形状、解决航海或测量中的方位问题等； ●学会区分勾股定理与其逆定理在条件和结论上的区别，理解它们之间的内在联系，体会“数形结合”的数学思想。 ☘ 重点知识◆梳理归纳 【知识点1勾股定理的逆定理】 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形． 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是． 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） （1）如果，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果，那么这个三角形是钝角三角形； （3）如果，那么这个三角形是锐角三角形． 【重点提示】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形． 【知识点2勾股数】 1、勾股数：满足的三个正整数称为勾股数． 2、常见的勾股数：① 3、4、5；② 6、8、10；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 5、12、13；⑥ 9、12、15． 3. 勾股数的整数倍仍为勾股数：如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数； 【知识点3利用勾股定理解决实际问题】 （1） 构建几何模型（从整体到局部）； （2）标注有用信息，明确已知和所求； （3）应用数学知识求解。 💦核心考点◆精讲精练 题型1判断三边能否构成直角三角形 例1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 变式1．边长为a，，5的三角形是直角三角形，则 ． 【答案】3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 变式2．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查轴对称图形点的坐标特征、勾股定理逆定理的应用，熟练掌握轴对称图形点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点A、B、C的坐标得到平面直角坐标系； （2）根据关于y轴对称的对称点横坐标互为相反数、纵坐标相同，得到点、、的坐标，依次连接得到； （3）根据题意可得，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：如上图所示，即为所求； （3）解：， ， ， 是直角三角形． 题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点 例2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 变式1．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 题型3在网格中判断直角三角形 例3．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 变式1.如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 变式2．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：找一个格点，以为腰，使，则为等腰三角形． （2）在图2中画一个格点，以为底，使，为等腰直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 题型4利用勾股定理的逆定理求解 例4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 变式1．如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，即得，进而得到是直角三角形，且，再根据绿地的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块绿地的面积， 故答案为：． 变式2．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 题型5勾股定理逆定理的实际应用 例5．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 变式1．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ． 【答案】114 【分析】连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接．在中，， ． ，，， ． 为直角三角形，且．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积． 变式2．如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点C，河边有两个入口A、B，通过道路、可前往观景点C，．因景区改造，需要关闭通道，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点H在河边，A、H、B在同一直线上）．经测量：米，米，米． (1)判断是否为从C到河边的最近道路，并说明理由． (2)求原道路的长度． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）先由勾股定理证明，再根据点到直线的距离求解即可； （2）求解，结合，可得． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是从观景点到河边的最近道路． （2）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 所以，原来的路线的长为． 题型6勾股定理逆定理的拓展问题 例6．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 变式1．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 变式2．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． ✍ 巩固提升综合测试 一、单选题 1．若的三个顶点，，所对的边分别为，，，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A选项：∵， ∴设， 则， 解得， ∴， 故不是直角三角形． B选项：∵，， ∴， 故不是直角三角形． C选项：∵， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． D选项：∵，，， ∴， 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形． 故选：D． 2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 3．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 4．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 5．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 6．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 二、填空题 7．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 9．在中，已知，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键． 由条件可得，根据勾股定理的逆定理，可知，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 10．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 11．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 三、解答题 12．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 15．如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 16．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】17100元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形和的面积之和． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 17．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $