教考衔接十七 教材命题点探源基础卷（一）-2026届高三数学二轮复习

教考衔接十七 教材命题点探源 基础卷（一） （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（2025·全国二卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．（2026·安徽合肥1月质量监测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州模拟）已知复数z满足，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 4. （2026·石家庄模拟）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径(图2中圆的半径)为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为( ) A. B. C. D. 5．（2026·河北沧州模拟）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. B.5 C.3 D. 6．（2026·山东淄博检测）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则( ) A.3 B.2 C. D. 7. （2026·全国卷预测）某新能源科技公司研发了一套动力电池容量衰减智能监测系统，通过内置算法精准追踪电池剩余可用容量。研究表明，在特定工况下，电池容量衰减过程可以用指数型函数（，为常数）来描述，其中 （单位：安时）代表 分钟末电池的剩余容量.工程师将一块初始容量为 7 安时的电池进行老化测试，系统在第 5 分钟末测得剩余容量为 3.5 安时。则（ ） A. B. C. D. 8．（2026·吉林1月检测）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国二卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则 A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 10.（2026·湖北宜昌检测）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图. 图1 图2 已知正八边形的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( ) A.若函数，则函数的最小值为 B.的最大值为 C.在方向上的投影向量为 D. 11．（2026·内蒙古通辽期末）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( ) A. B. C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·安徽阜阳检测）设曲线的图象在点处的切线斜率为2，则实数a的值为_________. 13. （2026·广东广州1月检测）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝_________. 14．（2026·河北张家口1月检测）袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·江苏镇江阶段检测）（13分）设正项数列的前n项和为，且，当时， （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前n项和. 16．（2026·辽宁丹东模拟）（15分）为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200名居民进行调查，得到如下表格： 购买倾向 合计 新能源车 燃油车 男 64 36 100 女性 46 54 t 合计 s 90 200 （1）求s，t； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？ （3）从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人，求选中男性的人数的分布列和期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（2026·河北唐山模拟）（15分）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值与最小值. 18．（2026·安徽马鞍山期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 19．（2026·贵州安顺检测训练）（17分）在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若点E在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值 学科网（北京）股份有限公司 $ 教考衔接十七 教材命题点探源 基础卷（一） （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（2025·全国二卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【解析】由样本平均数的定义易算得样本平均数为＝(2＋8＋14＋16＋20)＝12.故选C. 2．（2026·安徽合肥1月质量监测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故.故选A 3．（2026·福建福州模拟）已知复数z满足，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 【答案】D 【解析】，所以.故选D. 4.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径(图2中圆的半径)为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为竹签所在的直线方程为，设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，由两平行直线间的距离公式，可得，解得，所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.故选：D. 5．（2026·河北沧州模拟）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. B.5 C.3 D. 【答案】D 【解析】由题意得，，，因此该双曲线的一条渐近线方程为，即.又双曲线的焦点为和，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离.故选D. 6．（2026·山东淄博检测）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则( ) A.3 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】因为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，即当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，所以.故选C. 7. （2026·全国卷预测）某新能源科技公司研发了一套动力电池容量衰减智能监测系统，通过内置算法精准追踪电池剩余可用容量。研究表明，在特定工况下，电池容量衰减过程可以用指数型函数（，为常数）来描述，其中 （单位：安时）代表 分钟末电池的剩余容量.工程师将一块初始容量为 7 安时的电池进行老化测试，系统在第 5 分钟末测得剩余容量为 3.5 安时。则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，当时，，当时，，则， 则，即.故选.A. 8．（2026·吉林1月检测）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国二卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则 A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 【答案】AD 【解析】根据已知可得方程＝，整理得6q2－q－1＝0，解得q＝－(舍去)，q＝.又a3＝1，故a1＝4.因此，等比数列{an}的通项an＝23-n，Sn＝＝8－23-n. 由此可知A，D两个选项是正确的．因为a5＝23-5＝≠，所以B选项不正确．因为S5＝8－23-5＝≠8，所以C选项不正确．综上，正确结论是A，D. 10.（2026·湖北宜昌检测）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图. 图1 图2 已知正八边形的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( ) A.若函数，则函数的最小值为 B.的最大值为 C.在方向上的投影向量为 D. 【答案】AB 【解析】如图所示：以为y轴，为x轴建立直角坐标系， 设， 在中，根据余弦定理可得，，整理得到， ，，，，，， ，，设， 对选项A：，， 所以，， 所以 ， 所以当时，函数有最小值为，A正确； 对选项B：取的中点M，则，，则，，两式相减得：， 由正八边形的对称性知，当点P与点E或F重合时，最大， 又，，所以，所以，所以的最大值为，B正确； 对选项C：，，所以，即投影向量为，C错误； 对选项D：因为，，所以，又，所以，D错误.故选AB 11．（2026·内蒙古通辽期末）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( ) A. B. C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形 【答案】AC 【解析】对于A，依题意，抛物线C的焦点为，直线过点，所以，解得，故A正确. 对于B，由A可知抛物线，将直线方程与C的方程联立、整理可得.设，，则.设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义可知，，，所以，故B错误. 对于C，由B知，所以以MN为直径的圆的半径为.设MN的中点为P，因为，即点P的横坐标为，所以P到C的准线的距离为，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确. 对于D，由于，不妨设，，将代入，解得，所以，，同理可得，又，所以不是等腰三角形，故D错误.故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·安徽阜阳检测）设曲线的图象在点处的切线斜率为2，则实数a的值为_________. 【答案】3 【解析】函数，可得，所以切线的斜率为，解得. 13. （2026·广东广州1月检测）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝_________. 【答案】－15 【解析】解法一：根据等差数列性质，可知Sn＝na1＋d，其中d是公差，a1为首项．由已知，可得解得a1＝5，d＝－3.因此，所求S6＝6a1＋15d＝－15. 解法二：设等差数列{an}的公差为d，a1为首项．由已知得S3＝3a1＋3d＝6，故a2＝a1＋d＝2；同理，S5＝5a1＋10d＝－5，故a3＝a1＋2d＝－1.解得d＝－3，a1＝5.又S6＝S5＋a6＝S5＋a1＋5d＝－5＋5＋5×(－3)＝－15. 14．（2026·河北张家口1月检测）袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则_____________. 【答案】4 【解析】由题可知，X的可能取值为3，4，5，则，，，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·江苏镇江阶段检测）（13分）设正项数列的前n项和为，且，当时， （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)当时，，则， 因为为正项数列的前n项和，且， 则，，可得， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，则有， 当时，， 又也适合， 故数列的通项公式为. (2)由(1)可得， 根据的定义可知， 则， 所以. 16．（2026·辽宁丹东模拟）（15分）为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200名居民进行调查，得到如下表格： 购买倾向 合计 新能源车 燃油车 男 64 36 100 女性 46 54 t 合计 s 90 200 （1）求s，t； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？ （3）从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人，求选中男性的人数的分布列和期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)与性别有关 (3)分布列见解析， 【解析】(1)由表格数据可算得，； (2)由列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验， 故可以认为居民的购车倾向与性别有关； (3)从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，则男性有人， 女性有人，设选中男性的人数为X， 则X的取值分别为0，1，2， 所以， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 期望. 17．（2026·河北唐山模拟）（15分）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值与最小值. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间为和，单调减区间为；， 【解析】（1）当时，， ，，故， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意得，且， 故，解得，故，， 则， 令，得或；令，得， 故函数的单调增区间为和，单调减区间为. 所以的极大值为，的极小值为. 又当时，，故； 当时，，故， ，. 18．（2026·安徽马鞍山期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆C离心率为，所以，    又因为点在椭圆C上，所以，解得，，    椭圆C的标准方程为： （2）①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以，    因为，所以，    所以，解得或（舍）；    ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得，    即， 设，则，， ，，    因为，所以， 即，    代入化简得， 即，    当时，，此时方程为，过定点，舍去；    当时，，此时方程为，过定点．    综上，直线过定点．    19．（2026·贵州安顺检测训练）（17分）在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若点E在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1）平面，平面，平面平面， ，设，，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， ， 又由题意知，四边形是等腰梯形， ，同理， ，平面，平面， 平面，， 底面是菱形，， 平面，，平面， 平面，，则； 菱形的边长为2，，，， ，四边形是平行四边形， ，， ，，， 过的平面分别交，于点M，N，平面， 平面，平面平面. （2）由（1）知平面，且，以O为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， ， 由（1）知且平面，， 又在等腰梯形中，， ，平面，平面， 平面的一个法向量即为，， 设，， ，， 设直线与平面所成角为， 则， 当时取最大值，此时； （3）设，， 设平面的法向量为， ，令，， 设，，， ，，， ，， 又在上，设，即， ，， ，， 设平面的法向量为， ，令，， ， 平面与平面夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $