6.4.3.2 正弦定理 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.2正弦定理同步训练 一、单选题 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 6．在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 7．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 10．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为 . 14．已知的面积为，若，则边 . 四、解答题 15．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)若，求的值； (2)若，求. 16．在中，内角的对边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，点是的中点，且，求的值； 17．在中，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 18．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 2．C 【分析】根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 3．C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 4．A 【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 5．B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 6．D 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 7．A 【分析】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A 8．A 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 9．ABD 【分析】根据正弦定理即可判断选项. 【详解】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 10．AC 【分析】由求得，再根据求得判断A；由结合正弦定理求得，再利用余弦定理求解、判断B；根据，结合正弦定理判断C；利用面积公式求解判断D. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，所以，所以A正确； 因为，由正弦定理有：， 由余弦定理有：， 整理得：，解得或（舍），， 所以，所以B错误； ，由正弦定理有：，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选：AC. 11．AD 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 12．/ 【分析】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 13． 【分析】由题意得，结合余弦定理、基本不等式有的最大值为12，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】由题意，所以， 而，解得， 由余弦定理有， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为12，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，求得，得到为直角三角形，再由的面积为，求得，结合，且，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，所以，可得，即为直角三角形， 因为的面积为，可得，解得， 又因为，且， 可得，即，可得，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）在中，由，，利用同角三角函数的关系可求得和的值，结合题干条件即可求得，进而可得.利用三角形内角和定理及诱导公式即可求解； （2）在中，由余弦定理结合可得.结合题干条件可解得.再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，∵，，∴，. ∵，∴. 又，∴. ∴. （2）在中，∵，∴由余弦定理可得. ∵，∴，解得. ∴. 16．(1) (2)或 【分析】（1）根据数量积公式，结合正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）根据，两边平方后，利用数量积公式表示边长的关系，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，， 由正弦定理可知， 整理为， 由余弦定理可知， 因为，所以； （2）由余弦定理可知，，即，① ，即， 即②， 由①②可知，，，解得：，或，， 所以或 17．(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式，三角恒等变换求得； （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）向量，，且， 因为，，所以； （2）因为，所以，解得， 因为，， 所以， 故所求为. 18．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在三角形中，由余弦定理求解即可； （2）若选①，先求出，再由展开可求出，再由面积公式得出结果，若选②，在中由余弦定理得，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）∵，∴， ∴. ∵，， ∴由余弦定理得： ， ∴. （2）若选①： 在中，由正弦定理得 ∵，∴. 由（1）知.代入上式可得， 解得， ∵ . ∴. ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得： ∴① ∵，∴② ①-②得： ∴ ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． （2）根据余弦定理得，即， 解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得， ∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积最大值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $