专题3：反比例函数压轴题 专题突破 2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

专题3：反比例函数压轴题专题突破 (填空+解答综合压轴题) 本节课主要针对第26章反比例函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了反比例函数章节典型压轴题例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 反比例函数概念 1. 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2. 解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数． 3. 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 知识点二 反比例函数图像及性质 1.反比例函数的图像 反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2.反比例函数的性质 (1)当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． (2)当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． (3)图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 知识点三 反比例函数在实际问题中的应用 1.题意找出自变量与因变量之间的乘积关系 2.设出函数表达式 3.依题意求解函数表达式 4.根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题 知识点四 反比例函数的实际应用 常见函数关系： 1.当圆杆体的体积一定时，圆杆的底面积是高的反比例函数 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数 一．填空题（共6小题） 1．如图，反比例函数的图象与直线交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为18，则b的值为 　　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【分析】先设出A点和B点的坐标，利用反比例函数的性质，得到S△OAC+S△OBD＝18，再由阴影面积也是18，得出S△GBD＝2S△OEC，分别表示出点E、D的坐标后，将S△GBD和S△OEC表示出来，建立关于x1和x2的方程，联立与得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到x1和x2的含b的表达式，代入方程求解即可． 【解答】解：如图所示，设B（x1，y1），A（x2，y2），直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D， ∴x1•y1＝x2•y2＝﹣18，OD＝﹣x1，BD＝y1， ∴S△BOD•|x1•y1|＝9，S△OAC•|x2•y2|＝9， ∴S△OAC+S△OBD＝18， 又∵阴影部分面积为18， ∴S△GBD+（S△OBD﹣S△OEC）+（S△OAC﹣S△OEC）＝18， ∴S△GBD+（S△OBD﹣S△OEC）+（S△OAC﹣S△OEC）＝S△OAC+S△OBD， ∴S△GBD＝2S△OEC， ∵直线解析式为， 令y＝0，则x＝﹣2b， ∴G（﹣2b，0）， ∴OG＝2b， ∴S△BDG•DG•BD（2b+x1）y1， 设直线OB的解析式为：y＝mx（m≠0）， 代入B点坐标后得：， ∴， ∴OC＝﹣x2，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，可得：， 其中， ∵x1＜x2， ∴，， ∴， 化简得：， 平方后得：9Δ2+b4＝10b2Δ， 将Δ＝b2﹣36代入可得：9（b2﹣36）2+b4＝10b2（b2﹣36）， ∴9（b4﹣72b2+362）+b4＝10b4﹣360b2， 由b＞0， 解得：， ∴b的值为． 故答案为：． 2．已知过原点的一条直线l与反比例函数的图象交于A，B两点（A在B的右侧）．C是反比例函数图象上位于A点上方的一动点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．若AC＝mCD，BC＝nCE，则m﹣n＝　﹣2　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【分析】过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，所以CM∥AF∥BN，AC＝mCD，所以CM：AF：BN＝1：（1+m）：（1+m），可得CE：BE＝1：（1+m），因为BC＝nCE．所以CE：BE＝1：（n﹣1），则1+m＝n﹣1，整理即可得出结论． 【解答】解：根据题意作出图形，如图所示， 过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N， ∴CM∥AF∥BN，AC＝mCD， ∴CM：AF：BN＝1：（1+m）：（1+m）， ∴CE：BE＝1：（1+m）， ∵BC＝nCE． ∴CE：BE＝1：（n﹣1）， ∴1+m＝n﹣1， ∴m﹣n＝﹣2． 故答案为：﹣2． 3．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　　 ，点F的坐标为 　（，0）　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．版权所有 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【解答】解：如图， 方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD， ∴OI＝BI， ∴DI＝CI， ∴， ∵∠CID＝∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI＝∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD＝S△AOBS矩形AOCB， ∵S△BOE＝S△DOG3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD＝S△BOD， ∴•（a﹣b）， ∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0， ∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0， ∴a＝2b，a（舍去）， ∴D（2b，）， 即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2＝OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（）2]＝b2+（）2， ∴b， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y＝2x， ∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3， 当y＝0时，230， ∴x， ∴F（，0）， ∵OE，OF， ∴EF＝OF﹣OE， ∴， 方法二：如图，连接OD，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H， 由上知：DF∥OB， ∴S△BOF＝S△BOD， ∵S△BOE|k|＝3， ∴， 设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a， ∴BE，OG＝3a+b，DG， ∵△BOE∽△DFG， ∴， ∴， ∴a＝b，a（舍去）， ∴D（4a，）， ∵B（2a，）， ∴， ∴GH＝EG＝2a， ∵∠ODH＝90°，DG⊥OH， ∴△ODG∽△DHG， ∴， ∴， ∴a， ∴3a， ∴F（，0） 故答案为：，（，0）． 4．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则　　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【分析】如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．利用相似三角形的性质证明，设A（m，），则B（，），由BC∥x轴，EC∥y轴，推出C（2m，），E（2m，），求出直线OC，BE的解析式，构建方程组确定点F的坐标，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M． ∵AN∥BM， ∴△OBM∽△OAN， ∵S△OBM，S△AON＝2k， ∴（）2， ∴， 设A（m，），则B（，）， ∵BC∥x轴，EC∥y轴， ∴C（2m，），E（2m，）， ∴直线OC的解析式为yx，直线BE的解析式为yx， 由，解得， ∴F（，）， ∴， 解法二：可以通过求角CBE和角BCO的正切值，证明两个角相等，从而得出F为BE的中点，可得结论． 故答案为：． 5．如图，直角坐标系中，Rt△ABC的AB边在x轴上，∠CAB＝90°，sin∠ACB．将Rt△ABC沿直线BC翻折得Rt△DBC，再将Rt△DBC绕点B逆时针旋转，正好点C与坐标原点O重合，点D的对应点E落在反比例函数y（x＞0）的图象上，此时线段AC交双曲线于点F，则点F的坐标为　（3，）　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【分析】过点E作EH⊥OB于点H，由全等变换可得∠EOB＝∠ACB，由sin∠EOB，点E在反比例函数图象上可求出点E的坐标，易证△OHE∽△EHB，从而可求出HB、EB（即AB）、进而可求出AH，OE（即AC）、OB、OA即可解决问题； 【解答】解：过点E作EH⊥OB于点H，如图， 则有∠EHO＝∠BHE＝90°． 由题可得：△CAB≌△CDB≌△OEB， ∴∠ACB＝∠DCB＝∠EOB，∠CAB＝∠CDB＝∠OEB＝90°， AC＝CD＝OE，AB＝DB＝EB． ∵sin∠ACB， ∴sin∠EOB． 设EH＝a，则OE＝3a， ∴点E的坐标为（2a，a）． ∵点E在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴2a2＝4，a＞0， ∴a2＝2， ∴a， ∴OH＝4，EH． ∵∠OEB＝90°， ∴∠OEH＝90°﹣∠HEB＝∠EBH， ∴△OHE∽△EHB， ∴， ∴BH， ∴AB＝BE， ∴OA＝OB﹣BA＝3， ∴F（3，）． 故答案为（3，）． 6．如图，直线yx与双曲线y交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝　6　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OK⊥AB交BC于点K，过点K作KT⊥x轴于T，设BC交y轴于点J，连接OC，设A（m，m），则OM＝m，AMm，B（﹣m，m）．利用全等三角形的性质不熟悉点K的坐标再求出直线BK的解析式为y＝2xm，设C（n，2nm），构建方程组求出m2，可得结论． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OK⊥AB交BC于点K，过点K作KT⊥x轴于T，设BC交y轴于点J，连接OC，设A（m，m），则OM＝m，AMm，B（﹣m，m）． ∵∠ABC＝45°，OK⊥AB， ∴OK＝OB＝OA， ∵∠OTK＝∠AOK＝∠AMO＝90°， ∴∠KOT+∠AOM＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°， ∴∠KOT＝∠OAM， ∴△KTO≌△OMA（AAS）， ∴OT＝AMm，KT＝OM＝m， ∴K（m，m）， ∴直线BK的解析式为y＝2xm， 设C（n，2nm）， ∴J（0，m）， ∵S△BOC＝S△AOC， ∴S△BOJ+S△OCJ， 则有， 可得m2＝18， ∴k＝mm＝6， 二．解答题（共31小题） 7．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数在第二象限交于A（﹣1，3）、B（﹣3，m）两点，点C是x轴正半轴上一动点，连接AC，BC． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若△ABC的面积为6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D为y轴上一点，点E为坐标平面上的一点，是否存在这样的点D和点E，使得以点A、C、D、E为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）先将A（﹣1，3）、B（﹣3，m）代入中，可求得k2＝﹣3，m＝1，再将A（﹣1，3）、B（﹣3，1）代入y＝k1x+b即可解决； （2）设C（c，0），y＝x+4交x轴于M点，利用S△ACM﹣S△BCM＝S△ABC＝6，建立方程，求解即可； （3）当点A、C、D、E为顶点的四边形是矩形时，设D（0，m），E（a，b），由（1）知：A（﹣1，3）、B（﹣3，1）C（2，0）， 分四种情况：①当D、E两点都在AC上方时，②当D在AC上方，E在AC下方，③当D、E都在AC下方，④当D在AC下方，E在AC上方， 分别画出图形，根据矩形的性质，与中点坐标公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b与反比例函数在第二象限交于A（﹣1，3）、B（﹣3，m）两点， ∴k2＝﹣1×3＝﹣3×m， 解得：k2＝﹣3，m＝1， ∴反比例函数的表达式：y， ∴B（﹣3，1）， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式：y＝x+4； （2）由于点C是x轴正半轴上一动点， 设C（c，0），y＝x+4交x轴于M点， 则M（﹣4，0）， 故CM＝c+4， ∵A（﹣1，3）、B（﹣3，1）， ∴S△ACM•CM×3（c+4）， S△BCMCM×1（c+4）， ∵S△ACM﹣S△BCM＝S△ABC＝6， ∴（c+4）（c+4）＝6， 解得：c＝2， ∴C（2，0）； （3）存在E点； 理由：当点A、C、D、E为顶点的四边形是矩形时， 设D（0，m），E（a，b）， 由（1）知：A（﹣1，3）、B（﹣3，1）C（2，0）， 分四种情况： ①当D、E两点都在AC上方时，如图所示： ∵对角线CD与AE交于Q点， ∴Q为AE和CD中点， ∴，， 整理得：a＝3，m＝3+b， 则D（0，3+b），E（3，b）， 根据矩形的性质可得：AE＝DC， ∴（﹣1﹣3）2+（3﹣b）2＝（0﹣2）2+（3+b﹣0）2， 解得：b＝1， 此时E（3，1）； ②当D在AC上方，E在AC下方， 如图： ∵对角线ED与AC交于Q点， ∴Q为DE和CA中点， ∴，， 整理得：a＝1，m＝3﹣b， ∴D（0，3﹣b），E（1，b）， 根据矩形的性质可得：DE＝AC， ∴（﹣1﹣2）2+（3﹣0）2＝（0﹣1）2+（3﹣b﹣b）2， 解得：b， ∵b＜0， ∴b， 此时E（1，）； ③当D、E都在AC下方， 如图： ∵对角线AD与EC交于Q点， ∴Q为AD和CE中点， ∴，， 整理得：a＝﹣3，m＝b﹣3， ∴D（0，b﹣3），E（﹣3，b）， 根据矩形的性质可得：DA＝EC， ∴（﹣1﹣0）2+（b﹣3﹣3）2＝（﹣3﹣2）2+（b﹣0）2， 解得：b＝1， 此时E（﹣3，1）与B重合， ④当D在AC下方，E在AC上方， 如图： ∵对角线AC与ED交于Q点， ∴Q为AC和DE中点， ∴，， 整理得：a＝1，m＝3﹣b， ∴D（0，3﹣b），E（1，b）， 根据矩形的性质可得：DE＝AC， ∴（1﹣0）2+（3﹣b﹣b）2＝（﹣1﹣2）2+（3﹣0）2， 解得：b， ∵b＞0， ∴b， 此时E（1，）， 综上所述：点E的坐标（3，1）或（1，）或（﹣3，1）或（1，）． 8．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B（﹣1，0），反比例函数y的图象也经过点A，且点A横坐标是2． （1）求一次函数的解析式． （2）点C是x轴正半轴上的一点，联结AC，tan∠ACB，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象于点D、E，求点D、E的坐标． （3）在（2）的条件下，联结AD，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据反比例函数y的图象也经过点A，点A横坐标是2，求得A（2，3），解方程组即可得到结论； （2）过A作AH⊥x轴于H，则AH＝3，∠AHC＝90°，根据三角函数的定义得到CH＝4，求得C（6，0），把x＝5分别代入y和y＝k+1即可得到结论； （3）如图，设F（a，a+1），根据相似三角形的性质列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象也经过点A，点A横坐标是2， ∴y3， ∴A（2，3）， 把A（2，3），B（﹣1，0）代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）过A作AH⊥x轴于H， 则AH＝3，∠AHC＝90°， ∵tan∠ACB， ∴CH＝4， ∴C（6，0）， 把x＝6代入y得y＝1， 把x＝6代入得y＝x+1得y＝7， ∴D（6，1），E（6，7）； （3）如图，设F（a，a+1）， 当△EAD∽△EFC， ∴， ∴， 解得a或a（不合题意舍去）； 当△EAD∽△ECF，∠AED＝∠CEF， ∴， ∴， 解得a或a（不合题意舍去）， ∴点F坐标为（，）或（，）． 9．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线经过C、D两点． （1）求k的值； （2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P的坐标； （3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，请求其值．并给出你的证明． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点C（2，m﹣4），将点C、D的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）分AB是边和对角线两种情况，利用数形结合的方法，即可求解； （3）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MNHT，由此即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得：，解得：， 则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣4）， 设点D的坐标为：（n，m）， 由点E是AD的中点，由中点坐标公式得：n＝1， 则点D的坐标为：（1，m）， 由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B， 则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点C（2，m﹣4）， 将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝m＝2（m﹣4）， 解得：m＝8， 则点C、D的坐标分别为：（2，4）、（1，8）； 则k＝2×4＝8； （2）∵由（1）知k＝8， ∴反比例函数的解析式为y， ∵点P在双曲线y上，点Q在y轴上， ∴设Q（0，y），P（x，）， ①当AB为边时： 如图1所示：若ABPQ为平行四边形， ∵A（﹣1，0），B（0，﹣4），则（﹣1+x）＝0， 解得x＝1， 此时P1（1，8）； 如图2所示，若ABQP为平行四边形， ∵A（﹣1，0），B（0，﹣4），则x， 解得x＝﹣1， 此时P2（﹣1，﹣8）； ②如图3所示，当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ； ∵A（﹣1，0），B（0，﹣4）， ∴x， 解得x＝﹣1， ∴P3（﹣1，﹣8）； 故点P的坐标为：（1，8）或（﹣1，﹣8）； （3）如图4，连接NH、NT、NF， ∵MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT＝NH， ∵四边形AFBH是正方形， ∴∠ABF＝∠ABH， 在△BFN与△BHN中， ∵， ∴△BFN≌△BHN（SAS）， ∴NF＝NH＝NT， ∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 所以，∠ATN+∠AHN＝180°， 因为四边形ATNH内角和为360°， 所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°． ∴MNHT， ∴． 10．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值； （3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线yx中，可求得A（﹣2，﹣3），即可求得k＝6，解方程组，即可求出点B的坐标； （2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）分两种情况：当△BOC∽△BPD时，；当△BOC∽△BDP时；分别求出P点坐标即可． 【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线yx中， 得﹣3m， 解得：m＝﹣2， ∴A（﹣2，﹣3）， ∴k＝﹣2×（﹣3）＝6， ∴反比例函数解析式为y， 由，得或， ∴点B的坐标为（2，3）； （2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F， ∴BE∥CF， ∴△DCF∽△DBE， ∴， ∵BC＝2CD，BE＝3， ∴， ∴， ∴CF＝1， ∴C（6，1）， 作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G， 则B′C即为BG+GC的最小值， ∵B′（﹣2，3），C（6，1）， ∴B′C2， ∴BG+GC＝B′C＝2； （3）存在，理由如下： 由（1）（2）可知，B（2，3），C（6，1），D（8，0）， ∴OB，OC，BC＝2， 设P（t，t）， ∴PB，PD，BD＝3， 当△BOC∽△BPD时，，即， 解得t＝5（舍）或t＝﹣1； 当△BOC∽△BDP时，，， 解得t（舍）或t； ∴P（﹣1，）或（，）． 11．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＜0）的图象与等边△OAB相交． （1）如图1，当反比例函数的图象经过△OAB的顶点A时，若OB＝6，求反比例函数的表达式； （2）如图1，若点M是第（1）小题反比例函数图象上的一点，且满足△OAM的面积与△OAB的面积相等，求点M的坐标； （3）如图2，反比例函数的图象分别交△OAB的边OA，AB于C，D两点，连接CD并延长交x轴于点E，连接OD，当AD＝OC＝4时，求S△OCD：S△ODE的值． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）过A作AH⊥OB于H，根据△AOB是等边三角形，OB＝4，得OA＝4，可得OHOB＝3，AHOH＝3，得到A（﹣3，3），于是得到结论； （2）过B作BM∥OA交双曲线于M，则△OAM的面积与△OAB的面积相等，由（1）知，A（﹣3，3），于是得到直线OA的解析式为yx，设直线BM的解析式为yx+m，得到直线BM的解析式为yx﹣6，解方程组即可得到结论； （3）过C作CP⊥OB于P，过D作DQ⊥OB于Q，过C作CT∥OB交AB于T，如图：根据等边三角形的性质得到OA＝AB，求得C（﹣2，2），将C（﹣2，2）代入y求得k＝﹣2×24，设AC＝t，则BD＝t＝AT，AB＝AD+BD＝4+t，DT＝AD﹣AT＝4﹣t，解直角三角形得到D（﹣4t，t），列方程得到BD＝44，DT＝4﹣t＝8﹣4，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）过A作AH⊥OB于H，如图： ∵△AOB是等边三角形，OB＝6， ∴OA＝6， ∵AH⊥OB， ∴OHOB＝3，AHOH＝3， ∴A（﹣3，3）， ∴k＝﹣3×39， ∴反比例函数的表达式为y； （2）过B作BM∥OA交双曲线于M， 则△OAM的面积与△OAB的面积相等， 由（1）知，A（﹣3，3）， ∴直线OA的解析式为yx， ∵OB＝6， ∴B（﹣6，0）， ∴设直线BM的解析式为yx+m， ∴（﹣6）+m＝0， ∴m＝﹣6， ∴直线BM的解析式为yx﹣6， 解的，（不合题意舍去）， ∴M（﹣3﹣3，33）； ∵直线BM的解析式为yx+6， 解得，（不合题意舍去）， ∴M（3﹣3，33）， 综上所述，M（﹣3﹣3，33）或（3﹣3，33）； （3）过C作CP⊥OB于P，过D作DQ⊥OB于Q，过C作CT∥OB交AB于T，如图： ∵△ABC是等边三角形， ∴OA＝AB， ∵AC＝BD， ∴OA﹣AC＝AB﹣BD，即OC＝AD， ∵AD＝OC＝4， ∴OPOC＝2，CPOP＝2， ∴C（﹣2，2）， 将C（﹣2，2）代入y得： k＝﹣2×24， ∵CT∥OB， ∴∠ATC＝∠ABO＝60°， ∵∠A＝60°， ∴△ATC是等边三角形， ∴AC＝AT， 设AC＝t，则BD＝t＝AT，AB＝AD+BD＝4+t，DT＝AD﹣AT＝4﹣t， 在Rt△BDQ中，BQBDt，DQBQt， ∴OQ＝OB﹣BQ＝（4+t）t＝4t， ∴D（﹣4t，t）， ∴（﹣4t）t＝k＝﹣4， 解得t＝44或t＝﹣4﹣4（舍去）， ∴BD＝44，DT＝4﹣t＝8﹣4， ∵CT∥OB， ∴∠DEB＝∠DCT，∠DBE＝∠DTC， ∴△DEB∽△DCT， ∴， ∴S△OCD：S△ODE． 12．已知一次函数yx+b的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点． （1）若A点的横坐标为，求b的值； （2）如图，若AB＝2AC，求A、B两点的坐标； （3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点P放在反比例函数图象的AB段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点，设点P的横坐标为x0，QR的长为L．问：是否存在点P，使L的长为，存在请求出符合条件的P的坐标，不存在请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）先求出A（，4），代入yx+b，即可求得b； （2）设A（m，），B（n，），且m＞0，n＞0，如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，利用三角函数定义可得tan∠CDO，再由AE∥BF∥x轴，可得∠CAE＝∠CBF＝∠CDO，即可得出tan∠CAE＝tan∠CBF＝tan∠CDO，求得：AE＝2CE，BF＝2CF，建立方程组可得：mn＝12，再由AB＝2AC，即可求得：，进而求得答案； （3）把A（2，3）代入yx+b，可求得yx+4，进而得出C（0，4），D（8，0），利用勾股定理可得CD＝4，由题意可证得：△QPR∽△COB，得出，设P（x0，）（2≤x0≤6），则Q（x0，x0+4），建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）当x时，y4， ∴A（，4）， 把A（，4）代入yx+b，得4b， 解得：b， 故b的值为； （2）设A（m，），B（n，），且m＞0，n＞0， 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F， 则AE＝m，BF＝n，CE＝b，CF＝b， ∵yx+b， 当y＝0时，0x+b， 解得：x＝2b， 当x＝0时，y＝b， ∴C（0，b），D（2b，0）， ∴OC＝b，OD＝2b， ∴tan∠CDO， ∵AE⊥y轴，BF⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴AE∥BF∥x轴， ∴∠CAE＝∠CBF＝∠CDO， ∴tan∠CAE＝tan∠CBF＝tan∠CDO， ∴tan∠CAE，tan∠CBF， ∴AE＝2CE，BF＝2CF， ∴， 解得：（m﹣n）（mn﹣12）＝0， ∵m≠n， ∴mn＝12， ∵AB＝2AC， ∴， ∵AE∥BF， ∴△ACE∽△BCF， ∴， ∴， ∴n＝3m，代入mn＝12得：3m2＝12， ∵m＞0，n＞0， ∴m＝2，n＝6， ∴A（2，3），B（6，1）； （3）存在点P，使L的长为．理由如下： 把A（2，3）代入yx+b，得32+b， 解得：b＝4， ∴yx+4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝8， ∴C（0，4），D（8，0）， 在RtCDO中，CD4， ∵直角三角板的直角边始终与坐标轴平行， ∴∠QRP＝∠CBF，∠QPR＝∠COD＝90°， ∴△QPR∽△COB， ∴， 设P（x0，）（2≤x0≤6），则Q（x0，x0+4）， ∴PQx0+4， ∴， ∴x0+4， 解得：x0＝3或4， ∴P（3，2）或（4，）； 故存在点P（3，2）或（4，），使L的长为． 13．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为（2a，a），反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，点E，连接OD，OE，DE． （1）若△ADO的面积为3， ①当a＝3，求k的值和△ODE的面积； ②当直线DE的解析式为y＝mx，求△ODE的面积． （2）我们定义有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．若a＝3，当△ODE为“半直角三角形”时，求该反比例函数的解析式． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）①根据三角形面积得出k的值，求出E点坐标，再根据△ODE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADO的面积﹣△DBE的面积﹣△OCE的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出k的值，根据D点和E点的坐标在直线DE上，列方程组求解a的值，再根据△ODE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADO的面积﹣△DBE的面积﹣△OCE的面积计算三角形面积即可； （2）分∠DOE＝45°和∠OED＝45°两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出k的值即可． 【解答】解：（1）①∵点B的坐标为（2a，a），a＝3， ∴AB＝OC＝2a＝6，AO＝BC＝a＝3， 设反比例函数的解析式为y， 则D（，3）， ∵△ADO的面积为3， ∴3＝3， 解得k＝6， 即反比例函数解析式为y， ∴E（6，1）， ∴△ODE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADO的面积﹣△DBE的面积﹣△OCE的面积＝6×3﹣3﹣12×（6﹣2）（3﹣1）﹣12×6×1＝8， ∴k的值为6，△ODE的面积为8； ②∵D（，a），△ADO的面积为3， ∴3， ∴k＝6， ∵E（2a，），直线DE的解析式为y＝mx， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去a是负数的情况）， ∴△ODE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADO的面积﹣△DBE的面积﹣△OCE的面积＝2a×a﹣3（2a）（a）a2， 代入a的值得， ∴△ODE的面积为； （2）∵a＝3， ∴B（6，3），D（，3），E（6，）， ①当∠DOE＝45°时，作EM⊥OE，交OD延长线于点M，作MN⊥BC，交CB延长线于N， ∴△OEM是等腰直角三角形， ∴OE＝EM， ∵∠OEC+∠EOC＝90°，∠OEC+∠MEN＝90°， ∴∠EOC＝∠MEN， 又∵∠OCE＝∠ENM＝90°， ∴△OCE≌△ENM（AAS）， ∴EN＝OC，MN＝EC， ∴M（6，6）， 设直线OD的解析式为y＝gx， 则3， 解得g， ∴直线OD的解析式为yx， ∴（6）＝6， 解得k（舍去负值）， ②当∠OED＝45°时，作OG⊥OE，交ED延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H， 同理①可证△GHO≌△OCE， ∴OH＝EC，GH＝OC， ∴G（，6）， 设直线DE的解析式为y＝sx+t， ∴， 解得或， 当k＝18时，D点和E点与B点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的k值为或12， 即反比例函数解析式为y或y． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4）， （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）先求出直线AB的解析式，从而确定C点坐标，再由C点坐标求反比例函数的解析式即可； （2）由题意可知，当D点在x轴正半轴上时，E点在过D点且与AB平行的直线上，求出过D点与直线AB平行的直线解析式后，再求D点坐标即可；当D点在x中负半轴上时，D点与（2，0）关于点A对称，即D点坐标为（﹣6，0）； （3）设M（t，）（t＞0），分两种情况讨论：①当F点在直线AB上时，②点N在直线AB上时． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝mx+n， 把点A（﹣2，0），点B（0，2）分别代入上式可得： ∴， 解得：， ∴y＝x+2， 把C（a，4）代入y＝x+2中， ∴a+2＝4， 解得：a＝2， ∴C（2，4）， 把C（2，4）代入y可得： ， 解得：k＝8， ∴反比例函数解析式为y； （2）∵E（4，m）在反比例函数y图象上， ∴m＝2， ∴E（4，2）， ∵△ACE的面积与且△ACD的面积相等， 当D点在x轴的正半轴上时， 设过D点与直线AB平行的直线解析式为y＝x+b， ∴4+b＝2， 解得b＝﹣2， ∴y＝x﹣2， ∴D（2，0）； 当D点在x轴的负半轴上时，点D关于点（﹣2，0）的对称点为（﹣6，0）， 此时△ACE的面积与且△ACD的面积相等， ∴D（﹣6，0）； 综上所述：D点坐标为（2，0）或（﹣6，0）； （3）由题意得：G（4，0），设M（t，）（t＞0）， ①当F点M左侧时，过点M作QH∥x轴，过点F作FQ⊥QH交于Q点，过点G作GH⊥QH交于点H，则∠MQF＝∠MHG＝90， ， ∵四边形FNGM为正方形， ∴∠FMG＝90°，FM＝MG， ∵∠FMG＝90°， ∴∠QMF+∠HMG＝90°， ∵∠HMG+∠MGH＝90°， ∴∠QMF＝∠MGH， ∵FM＝MG， ∴△MFQ≌△GMH（AAS）， ∴MH＝QF，GH＝QM， ∴F（t，4+t）， ∴4+t＝t2， 解得t， ∴M（，3）； ②点F在M右侧时，过点M作QH∥y轴，交x轴于点Q，过点F作FH⊥QH交于点H，， 同理可得：△MFH≌△GMQ（AAS）， ∴GQ＝HM，MQ＝FH， ∴QG＝MH＝4﹣t，MQ＝FH， ∴F（t，）， 代入y＝x+2可得：， 解得：t＝1， ∴M（1，8）， 综上所述：M点坐标为：（）或（1，8）． 15．如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数y2的图象交于A，B两点，已知A点的横坐标是2． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围； （3）将直线y＝kx向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E，若，求m的值． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）设A点坐标为（2，t），把A（2，t）分别代入y＝kx和y可求出k的值，t＝2，即可求出答案； （2）先解方程组求出A，B点的坐标，再利用图象观察直线在双曲线下方对应的x的值即可得出结论； （3）根据直线y＝x向下平移a个单位长度，可得直线CD解析式为：y＝x﹣a，所以点D的坐标为（a，0），过点C作CF⊥x轴于点F，根据CF∥OE，可得，所以FDm，可得点C的坐标，然后利用反比例函数即可解决问题． 【解答】解：（1）设A点坐标为（2，t）， 把A（2，t）分别代入y＝kx和y得， 解得， ∴A点坐标为（2，2）， ∴正比例函数的表达式为y1＝x，反比例函数的表达式为y2； （2）解方程组， 解得，， 经检验，都是方程组的解， ∴A（2，2），B（﹣2，﹣2）， 观察图象可知：y1≥y2时x的取值范围为﹣2≤x＜0或x≥2； （2）∵直线y＝x向下平移m个单位长度， ∴直线CD解析式为：y＝x﹣m， 当y＝0时，x＝m， ∴点D的坐标为（m，0）， 如图，过点C作CF⊥x轴于点F， ∴CF∥OE， ∴， ∴FDm， ∴OF＝OD+FDm， ∵点C在直线CD上， ∴ym﹣mm， ∴CFm， ∴点C的坐标是（m，m）． ∵点C在反比例函数y的图象上， ∴mm＝4， 解得m（负值舍去）， ∴m． 16．如图，函数的图象过点A（n，2）和两点． （1）求n和k的值； （2）将直线OA沿x轴向左平移得直线CD，交x轴于点D，交双曲线于点C，交y轴于点E． i）若，求直线CD解析式； ii）若点A、点M关于原点对称，在直线DC上找一点N，使得△ANM与△EOD相似，求出满足条件的所有点E的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解； （2）i）先求出OA解析式，设直线CD的解析式为yx+b，由相似三角形的性质可求点C坐标，代入解析式可求解； ii）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵函数y（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（，2n﹣3）两点． ∴， 解得， （2）i）如图，过点C作CH⊥x轴于H， 由（1）知，A（4，2），反比例函数解析式为y， 设直线OA的解析式为y＝ax（a≠0），则2＝4a， ∴a， ∴直线OA的解析式为yx， ∵将直线OA沿x轴向左平移得直线CD， ∴设直线CD的解析式为yx+b， ∴点D（﹣2b，0），点E（0，b）， ∵CH∥OE， ∴△DEO∽△DCH， ∴， ∵CECD， ∴OH＝b，CHb ∴点C（b，b）， ∴， ∴b（负值舍去）， ∴直线CD的解析式为yx； ii）如图，当∠ANM＝90°时，设AN交y轴于P，MN交OD于Q， ∵△ANM∽△DOE， ∴∠NAM＝∠ODE， ∵点A、点M关于原点对称， ∴AO＝MO，点M（﹣4，﹣2）， ∵将直线OA沿x轴向左平移得直线CD， ∴OA∥DC， ∴∠ODE＝∠DOM， ∴∠NAM＝∠DOM， ∴AN∥DO， ∴∠OPN＝90°，△OMQ∽△AMN，四边形ANDO是平行四边形， ∴四边形OPNQ是矩形，，AN＝DO，OP＝2， ∴OQ＝NPANNO， ∵AN∥DO， ∴△EPN∽△EOD， ∴， ∴EP＝PO＝2， ∴点E（0，4）； 当∠AMN＝90°时，设MN交OD于Q，过点A作AR⊥x轴于R， ∵△ANM∽△DEO， ∴∠NAM＝∠ODE， ∵点A、点M关于原点对称， ∴AO＝MO，点M（﹣4，﹣2）， ∴OM＝2， ∴tan∠AOR＝tan∠MOQ， ∴QM， ∴OQ＝5， ∵将直线OA沿x轴向左平移得直线CD， ∴OA∥DC， ∴∠ODE＝∠DOM， ∴∠NAM＝∠DOM， ∴AN∥DO， ∴四边形ANDO是平行四边形， ∴AO＝DN＝OM， ∵AO∥DE， ∴∠DNQ＝∠BMO＝90°， 又∵∠DQN＝∠OQM， ∴△OQM≌△DQN（AAS）， ∴DQ＝OQ＝5， ∴DO＝10， ∵tan∠EDO＝tan∠AOP， ∴EO＝5， ∴点E（0，5）， 当∠AMN＝90°，∠ANM＝∠DEO时，同理可求点E（0，20）， 综上所述：点E的坐标为（0，5）或（0，4）或（0，20）． 17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C（m，1）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D在点C上方的反比例函数的图象上，△ABD的面积为9，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在反比例函数的图象上，若以点M，N，B，D为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）把C（m，1）代入得到C（8，1），由于点C在双曲线y上，求得k＝1×8＝8，于是得到反比例函数的解析式为y； （2）由yx﹣3可知B的坐标为（0，﹣3），得到A的坐标为（6，0），求得OA＝6，OB＝3，过D作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，设D（m，），则F（0，），E（m，0），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）设M（a，0），N（n，），根据 点坐标公式得方程：即可得到结论． 【解答】解：（1）把C（m，1）代入，得1＝m﹣3， 解得：m＝8， ∴C（8，1）， ∵点C在双曲线y上， ∴k＝1×8＝8， ∴反比例函数的解析式为y； （2）由yx﹣3可知B的坐标为（0，﹣3）， 当y＝0时，0x﹣3， ∴x＝6， ∴A的坐标为（6，0）， ∴OA＝6，OB＝3， 过D作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E， 设D（m，），则F（0，），E（m，0）， ∵△ABD的面积为9， ∴（m+6）•6×3（3）•m＝9， 解得m＝4（负值舍去）， ∴D（4，2）； （3）∵点M在x轴上，点N在反比例函数的图象上， ∴设M（a，0），N（n，）， ∵以点M，N，B，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴当以BN，DM为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：a． 即点M（，0）； 当BD，MN是对角线时，由中点坐标公式得： ，解得：a＝12， 即点M的坐标为：（12，0）， 当BM，DN是对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得a， ∴M（，0）， 综上，点M的坐标为（，0）或（12，0）或（，0）． 18．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC、AB于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D重合． （1）当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系； （2）如图2，连接CD， ①△CDE的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当CD平分∠ACO时，直接写出k的值． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）连接BC，求出E（﹣2，3），即得k＝﹣2×3＝﹣6，从而F（﹣4，），可知EF是△ABC的中位线，故EF∥BC，EF＝BC； （2）连接BC，AD，求出AF＝3，AE4，可得，从而△AFE∽△ABC，∠AFE＝∠ABC，即得EF∥BC，又A，D关于EF对称，故AD⊥EF，D在过A且与BC垂直的直线上；①△CDE的周长有最小值，根据C△CDE＝CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝CD+AC＝CD+4，知当CD⊥AD时，CD取最小值，C△CDE也取最小值，由△ACD∽△BCA，有，即可得△CDE的周长的最小值为4； ②当D'在x轴上时，由△ABD'∽△CAB，得BD'，D'（，0），可求出直线AD'解析式为yx，直线CD解析式为y＝x+3，联立，解得D（，），即得AD的中点坐标为（，），求出直线BC解析式为yx+3，设直线EF解析式为yx+m，把（，）代入得m，故F（﹣4，），k＝﹣4． 【解答】解：（1）连接BC，如图： ∵E为AC的中点， ∴E（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， 把x＝﹣4代入y得：y， ∴F（﹣4，）， ∵A（﹣4，3），B（﹣4，0）， ∴F是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EFBC； （2）连接BC，AD，如图： 将y＝3代入y得：x， 将x＝﹣4代入y得，y， ∴AF＝3，AE4， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△AFE∽△ABC， ∴∠AFE＝∠ABC， ∴EF∥BC， ∵A，D关于EF对称， ∴AD⊥EF， ∴AD⊥BC， ∴D在过A且与BC垂直的直线上； ①△CDE的周长有最小值， 如图： ∵C△CDE＝CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝CD+AC＝CD+4， ∴当CD⊥AD时，CD取最小值，C△CDE也取最小值， 此时，点D在BC上， ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝90°＝∠BAC， ∴△ACD∽△BCA， ∴，即， 解得CD， ∴△CDE的周长的最小值为4； ②当D'在x轴上时，如图： ∵AD⊥BC， ∴∠BAD'＝90°﹣∠CAD'＝∠ACB， ∵∠ABD'＝90°＝∠BAC， ∴△ABD'∽△CAB， ∴，即， ∴BD'， ∴D'（，0）， 由A（﹣4，3），D'（，0）可得直线AD'解析式为yx， 当CD平分∠ACO时，由C（0，3）可得CD与x轴的交点坐标为（﹣3，0）， ∴直线CD解析式为y＝x+3， 联立，解得， ∴D（，）， ∴AD的中点坐标为（，）， 由B（﹣4，0），C（0，3）可得直线BC解析式为yx+3，设直线EF解析式为yx+m， 把（，）代入得：（）+m， 解得m， ∴直线EF解析式为yx， 当x＝﹣4时，y， ∴F（﹣4，）， ∴k＝﹣4． 19．如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，﹣2），反比例函数y的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．版权所有 【分析】（1）先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC＝3，于是可得到C（3，﹣2），然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式； （2）设P（t，），根据三角形面积公式和正方形面积公式得到1×|t|＝3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2）， ∴AB＝1+2＝3， ∵四边形ABCD为正方形， ∴Bc＝3， ∴C（3，﹣2）， 把C（3，﹣2）代入y得k＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， 把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+1； （2）设P（t，）， ∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18， ∴P点坐标为（18，）或（﹣18，）． 20．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象与等边△ABO相交． （1）如图1，当反比例函数的图象经过△ABO的顶点A时，若OB＝4，求反比例函数的表达式； （2）反比例函数的图象分别交△ABO的边OA，AB于C，D两点， ①如图2，连接CD，当∠ACD＝90°时，若OB＝4，求点C的坐标； ②如图3，当AC＝BD时，连接CD并延长交x轴于点E，连接OD，若AD＝3，求S△ODE：S△OCD的值． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）过A作AH⊥OB于H，根据△AOB是等边三角形，OB＝4，得OA＝4，可得OHOB＝2，AHOH＝2，故A（﹣2，2），可得k＝﹣2×24，从而反比例函数的表达式为y； （2）①过C作CM⊥OB于M，过D作DN⊥OB于N，设OM＝m，可得C（﹣m，m），由∠ACD＝90°，∠A＝60°，可得D（2m﹣6，2m﹣2），故﹣m•m＝（2m﹣6）（2m﹣2），解得m＝2（此时C与A重合，舍去）或m，故C（，）； ②过C作CP⊥OB于P，过D作DQ⊥OB于Q，过C作CT∥OB交AB于T，由AC＝BD，AD＝3，可得OC＝3，C（，），即得k，根据CT∥OB，知△ATC是等边三角形，设AC＝t，则BD＝t＝AT，AB＝AD+BD＝3+t，DT＝AD﹣AT＝3﹣t，可得D（﹣3t，t），即可得（﹣3t）t＝k，解得BD＝33，DT＝＝3﹣t＝6﹣3，证明△DEB∽△DCT，有，即可得S△ODE：S△OCD的值为． 【解答】解：（1）过A作AH⊥OB于H，如图： ∵△AOB是等边三角形，OB＝4， ∴OA＝4， ∵AH⊥OB， ∴OHOB＝2，AHOH＝2， ∴A（﹣2，2）， ∴k＝﹣2×24， ∴反比例函数的表达式为y； （2）①过C作CM⊥OB于M，过D作DN⊥OB于N，如图： 设OM＝m，则CMm，OC＝2m， ∴C（﹣m，m）， ∵OB＝4＝OC， ∴AC＝4﹣2m， ∵∠ACD＝90°，∠A＝60°， ∴AD＝2AC＝8﹣4m， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣（8﹣4m）＝4m﹣4， ∵∠DBN＝60°， ∴∠BDN＝30°， ∴BNBD＝2m﹣2，DNBN＝2m﹣2， ∴ON＝OB﹣BN＝4﹣（2m﹣2）＝6﹣2m， ∴D（2m﹣6，2m﹣2）， ∴k＝﹣m•m＝（2m﹣6）（2m﹣2）， 解得m＝2（此时C与A重合，舍去）或m， ∴C（，）； ②过C作CP⊥OB于P，过D作DQ⊥OB于Q，过C作CT∥OB交AB于T，如图： ∵△ABC是等边三角形， ∴OA＝AB， ∵AC＝BD， ∴OA﹣AC＝AB﹣BD，即OC＝AD， ∵AD＝3， ∴OC＝3， ∴OPOC，CPOP， ∴C（，）， 将C（，）代入y得： k， ∵CT∥OB， ∴∠ATC＝∠ABO＝60°， ∵∠A＝60°， ∴△ATC是等边三角形， ∴AC＝AT， 设AC＝t，则BD＝t＝AT，AB＝AD+BD＝3+t，DT＝AD﹣AT＝3﹣t， 在Rt△BDQ中，BQBDt，DQBQt， ∴OQ＝OB﹣BQ＝（3+t）t＝3t， ∴D（﹣3t，t）， ∴（﹣3t）t＝k， 解得t＝33或t＝﹣33（舍去）， ∴BD＝33，DT＝3﹣t＝6﹣3， ∵CT∥OB， ∴∠DEB＝∠DCT，∠DBE＝∠DTC， ∴△DEB∽△DCT， ∴， ∴， ∴S△ODE：S△OCD的值为． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内A，B两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点． （1）若点B的坐标为（6，1），求k和b的值； （2）在（1）的条件下，是否存在x轴上一点P，使△ACP与△CDO相似，若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由； （3）过点A作AE⊥AB交y轴于点E，过点E作EF∥AB，交x轴于点F，连接AE，AB，当点E的坐标为（0，1）时恰有AB＝2EF，求△ABE的面积． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）将点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，解方程即可得出结论； （2）由（1）知一次函数的解析式为yx+4，反比例函数的解析式为y，联立可得点A（2，3），由一次函数yx+4与x轴，y轴交于C，D两点，可得C（8，0），D（0，4）；所以OC＝8，OD＝4；设P（a，0），∠COD＝90°，∠ACP＝∠DCO，根据图形可知，需要分两种情况，①当∠APC＝90°时，△APC∽△DOC，②当∠PAC＝90°时，△PAC∽△DOC，分别求解可得出结论； （3）一次函数yx+b与x轴，y轴交于C，D两点，所以C（2b，0），D（0，b），由EF∥AB，可得OE：OF＝OD：OC＝1：2，可得AB＝2EF＝2；过点E作EM∥x轴交AB于点M，过点A作AH∥y轴交EM于点H，所以∠AHE＝∠EAB＝90°，∠ABM＝∠ACO，所以△AEH∽△BMA∽△CDO，所以AH：EH＝BM：AM＝CO：DO＝2：1，所以AM＝2，BM＝4，所以AE，则S△ABE•AE•AB2． 【解答】解：（1）∵一次函数与反比例函数交于B点， ∴16+b，1， ∴b＝4，k＝6； （2）由（1）知一次函数的解析式为yx+4，反比例函数的解析式为y， 解得，， ∴A（2，3）， ∵一次函数yx+4与x轴，y轴交于C，D两点， ∴C（8，0），D（0，4）， ∴OC＝8，OD＝4， 设P（a，0）， ∵∠COD＝90°，∠ACP＝∠DCO， ①当∠APC＝90°时，△APC∽△DOC， ∵A（2，3）， ∴AP＝3，OP＝2， ∴P（2，0）； ②当∠PAC＝90°时，△PAC∽△DOC， ∴， ∵AC3，CD4，PC＝8﹣a，OC＝8， ∴， 解得a， ∴P（，0）， 综上所述，P（2，0）或（，0）； （3）∵一次函数yx+b与x轴，y轴交于C，D两点， ∴C（2b，0），D（0，b）， ∵EF∥AB， ∴OE：OF＝OD：OC＝1：2， ∵E（0，1）， ∴OE＝1， ∴OF＝2， ∴EF， ∴AB＝2EF＝2， 过点B作BM∥x轴，过点A作AM∥y轴，过点E作AH⊥AM交AM的延长线于点H， ∴∠AHE＝∠EAB＝90°，∠ABM＝∠ACO， ∴△AEH∽△BMA∽△CDO， ∴AH：EH＝BM：AM＝CO：DO＝2：1， ∴AM＝2，BM＝4， 设EH＝t，则AH＝2t， ∴A（t，2t+1），B（t+4，2t﹣1）， ∵A，B在反比例函数上， ∴k＝t（2t+1）＝（t+4）（2t﹣1）， 解得t， ∴EH，AH， ∴AE， ∴S△ABE•AE•AB2． 22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a）和点B（2，3），分别与y轴，x轴交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点E为反比例函数y（x＞0）上一点（不与点A，B重合），过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当△EFD∽△COD时，求点E坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）把点B（2，3）代入y得到反比例函数的表达式为y；解方程组得到一次函数的表达式为y＝﹣3x+9； （2）解方程得到OD＝3，OC＝9设E（a，），根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）把点B（2，3）代入y得，3， ∴m＝6， ∴反比例函数的表达式为y； 把点A（1，a）代入y得，a＝6， ∴A（1，6）， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9； （2）在y＝﹣3x+9中，令x＝0，则y＝9，令y＝0，则x＝3， ∴OD＝3，OC＝9 ∵点E为反比例函数y上一点， ∴设E（a，）， ∵EF⊥x轴， ∴∠EFD＝90°， ∴∠EFD＝∠COD＝90°， 当△EFD∽△COD时，有， ∴， 解得a（负值舍去）， ∴E（，）． 23．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（8，1）． （1）k＝　　 ；m＝　8　 ； （2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标； （3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）设C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题； （3）根据一次函数，利用方程组求出点O的坐标，即可解决问题； 【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y中，得，1＝8k﹣3，1， 解得：k，m＝8， 故答案为，8； （2）C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，）， ∴CDa+3， ∵S四边形OCAD＝24， ∴•CD•xA＝24， 即 （a+3）×8＝24， ∴a2+6a﹣16＝0， ∴a1＝﹣8，a2＝2， 经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解， ∵0＜a＜8， ∴a＝2， ∴C（2，﹣2）； （3）由平移可知：OO′∥AB， ∴直线OO′的解析式为yx， 由，解得或（舍弃）， ∴O′（4，2）， ∵把点O向右平移4个单位，向上平移2个单位得到O′， ∵D（2，4）， ∴D′（6，6）． 24．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标． （3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）先确定C点的坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论； （2）分两种情况，利用等腰三角形的性质，即可得出结论； （3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥∥x轴，交HG于H，利用△CHQ∽△QGO，且tan∠OCP＝3，得，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，可得方程OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，求出点Q的坐标，求出CQ的解析式，从而解决问题． 【解答】解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上， ∴m＝﹣（﹣2）+2， 解得：m＝4， ∴C（﹣2，4）， 将C（﹣2，4）代入y，得k＝﹣8， ∴反比例函数为y； （2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H， 在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2， ∴B（0，2）， 由（1）知，C（﹣2，4）， ∴BC2， 当BM＝BC＝2时，OM＝22， ∴M（0，22）， 当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线， ∴M（0，6）， 综上所述，点M的坐标为（0，22）或（0，6） （3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H， 则△CHQ∽△QGO， ∴， ∵tan∠OCP＝3， ∴， 设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x， ∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2， 解得x＝1， ∴Q（﹣3，3）， ∴直线CQ的解析式为y＝x+6， ∴x+6， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∵点P与C不重合， ∴P（﹣4，2）． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解； （3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b， 解得：b＝4， 即一次函数的表达式为：y＝2x+4， 当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6）， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6， 即反比例函数表达式为：y； （2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，）， 若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上， 则（2t+4）＝6， 解得：t＝1（舍去）或3， 则点M、N的坐标分别为：（3，10）、（3，2）， 则△BMN的面积MN•（xM﹣xB）（10﹣2）×（3﹣1）＝8； （3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H， ∵点M是AB的中点且MH⊥AB， 则∠PBA＝∠BAO， 由中点坐标公式得，点M（，3）， 在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA， 则直线MH表达式中的k值为， 则直线MH的表达式为：y（x）+3， 令y（x）+3＝0，则x，即点H（，0）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：yx， 联立yx和y并解得：x＝1（舍去）或， 则点P的坐标为：（，）． 26．如图，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（a，4），B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长； （3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，A，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点Q的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）将点A坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解； （3）分OA为菱形的边、OA为菱形的对角线以及OP为对角线三种情况讨论：根据菱形的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数图象相交于A（a，4），B两点， ∴﹣2a+6＝4， 解得：a＝1， ∴A（1，4）． ∴k＝1×4＝4， ∴； （2）联立一次函数和反比例函数解析式： ， 解得：或， ∴B（2，2）； 设AC与y轴的交点为D，分别过点A，C作AE⊥y轴，CF⊥y轴，垂足为E，F，连接BC，如图1， ∵AE⊥y轴，CF⊥y轴， ∴AE∥CF， ∴△AED∽△∠CFD， ∴， ①当时，， ∴CF＝2AE， ∵A（1，4）， ∴AE＝1，CF＝2， ∴点C的横坐标为：﹣2， ∵点C在双曲线上， ∴点C的纵坐标为2． ∴C（﹣2，﹣2）， ∵B（2，2）， ∴BC4； ②当时，同理可得：C（，﹣8）， BC， 综上：BC的长为或； （3）∵A（1，4）， ∴OA， ①当OA为菱形的边时，如图2， AQ＝OA，AQ∥x轴， 设Q（m，4），则：|m﹣1|， 解得：m1或m＝1（不合题意，舍去）， ∴Q（1，4）； ②当OA为菱形的对角线时，如图3，AQ∥x轴，OQ＝AQ， 设Q（m，4）， 则：OQ2＝m2+42，AQ2＝（m﹣1）2， ∴m2+42＝（m﹣1）2， ∴m， ∴Q（，4）； ③当OP为菱形的对角线时，如图4，AQ⊥OP于点M， ∴A、Q关于x轴对称， ∴点Q的坐标为（1，﹣4）， 综上，当Q点坐标为（1，4）或或（1，﹣4）时，以点O，A，P和Q为顶点的四边形为菱形． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP． （1）求k，b的值． （2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标． （3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n； （2）表示出PQ的长，根据PQ•（xA﹣xB）＝3求得t，进而得出点P的坐标； （3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得． 【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2）， ∴0+b＝﹣2， ∴b＝﹣2， ∵直线y＝x﹣2过点A（3，n）， ∴n＝3﹣2＝1， ∴A（3，1）， ∵y过点A（3，1）， ∴k＝xy＝3×1＝3； （2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2）， ∴PQ， ∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ（xA﹣xB）， ∴3＝3， ∴t， ∴P（，）； （3）如图1， ∵P（t，），Q（t，t﹣2）， ∴C（t，）， 当BC是边，点D在x轴正半轴上， 作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G， ∴∠BFC＝∠G＝90°， ∴∠FBC+∠FCB＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCG+∠FCB＝90°， ∴∠FBC＝∠DCG， ∵BC＝CD， ∴△BFC≌△CGD（AAS）， ∴CF＝DG， ∵OF＝DG， ∴OF＝CF， ∴， ∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去）， ∴P（1，3） 如图2， 当点D在x轴的负半轴上时， 由上知：BG＝DF＝2， ∴t＝2， ∴P（2，）， 当BC是对角线时， 当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时， 可得：CF＝OD，DF＝OB＝2， ∴2﹣t， ∴t＝1， ∴P（1，3）， 如图4， CG＝DF＝2，DG＝BF， ∴t+2， ∴t1＝23，t2＝﹣23（舍去）， 当t＝23时，y23， ∴P（23，23）， 综上所述：P（2，）或（1，3），（23，23）． 28．直线l1：y＝﹣x+4与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点A（m，3）、B． （1）求a的值及B的坐标； （2）在x轴上存在点D，使S△ACDS△AOC，求点D的坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1：y＝﹣x+4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝kx+4与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）将A点坐标代入l1，可得A，然后在将A代入反比例函数解析式可以得解； （2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解； （3）根据题意分析出l2是过点C的动直线，求出与y相切于点G，再借助于G、H关于点E对称，分别求出过点G、点H时的k的值，即可得解． 【解答】解：（1）∵点A（m，3）在直线l1上， ∴将点A的坐标代入直线l1，得3＝﹣m+4， ∴m＝1， ∴A（1，3）． 又∵A（1，3）在反比例函数y上， ∴将点A（1，3）代入，得a＝3． 解方程组，得或， ∴B（3，1）． （2）∵直线l1为y＝﹣x+4， ∴C（0，4）． ∵S△ACDS△AOC，S△AOCOC×1＝2． ∴S△ACD2＝3． 由题意画出图形，设D（d，0），如图有两种情形． ①如图1，D在直线AB左侧，此时可得D必在x轴负半轴，d＜0， ∴S△AOD+S△ACD＝S△COD+S△AOC． ∴（﹣d）+3＝2（﹣d）+2． ∴d＝﹣2． ∴D（﹣2，0）． ①如图2，D在直线AB右侧，d＞0， ∴S△AOD+S△ACD+S△AOC＝S△COD． ∴d+3+2＝2d． ∴d＝10． ∴D（10，0） 综上，D（﹣2，0）或（10，0）． （3）依据题意，l2：y＝kx+4过点C， l2与封闭图形有交点，l2下端与y相切于点G，上端相切于翻折后的曲线于点H， G、H关于点E对称，即有E为HG的中点． 首先求出直线CG的k及点G． 由题意，， ∴kx2+4x﹣3＝0． ∵相切， ∴Δ＝16+12k＝0． ∴k．此时，x1＝x2． ∴G（，2）． ∵GH⊥AB，直线AB为y＝﹣x+4 ∴可设直线GH为y＝x+m． 又直线GH过点G， ∴直线GH为y＝x． 又由， ∴AB与GH的交点E（，）． 又E为HG的中点，G（，2）， ∴H（2，）． 此时H在直线l2：y＝kx+4上， ∴k． 综上可得，满足题意的k的范围是：k． 29．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，3），B（3，a）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集； （2）求S△AOB． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得解析式，然后求得B的坐标，再用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）不等式kx+b的解集就是一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的x的范围； （3）首先求得AB与y轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入y得m＝﹣3， 则反比例函数的解析式是y， 当x＝3时，y＝﹣1，则B的坐标是（3，﹣1）． 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是y＝﹣x+2； （2）不等式kx+b的解集是：x＜﹣1或0＜x＜3； （3）在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2， 则S△AOB2×12×3＝4． 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标； （3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y得，求得反比例函数的表达式为y； （2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）； （3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5， ∴点A的坐标为（0，5）， 将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5， ∴a＝1， ∴B（1，4）， 将B（1，4）代入y得，4， 解得k＝4， ∴反比例函数的表达式为y； （2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N， 令y＝﹣x+5＝0得，x＝5， ∴N（5，0）， ∴OA＝ON＝5， ∵∠AON＝90°， ∴∠OAN＝45°， ∵A（0，5），B（1，4）， ∴， ∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°， ∴， ∴M（0，3）， 设直线l的解析式为y＝k1x+b1， 将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，， 解得， ∴直线l的解析式为y＝x+3， 设点C的坐标为（t，t+3）， ∵•|xB﹣xC|， 解得t＝﹣4或t＝6， 当t＝﹣4时，t+3＝﹣1， 当t＝6时，t+3＝9， ∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）； （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D， 将直线l与双曲线的解析式联立方程组， 解得，或， ∴E（﹣4，﹣1）， 画出图形如图所示， ∵△PAB∽△PDE， ∴∠PAB＝∠PDE， ∴AB∥DE， ∴直线AB与直线DE的一次项系数相等， 设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2， ∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2， ∴b2＝﹣5， ∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5， ∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点， ∴解方程组得，或， ∴D（﹣1，﹣4）， 则直线AD的解析式为y＝9x+5， 解方程组得，， ∴P（，）， ∴， ， ∴m． 31．如图，直线l经过点A（1，0）且与双曲线交于点B（2，1），经过直线l上一点P（p，p﹣1）（p＞1且p≠2）作x轴的平行线分别交曲线和于点M，N． （1）求m的值及直线l的解析式； （2）求△AMN的面积； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝2S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）把B（2，1）代入y即可得到m的值；然后利用待定系数法求出直线l的解析式； （2）由于P点坐标为（p，p﹣1）得到点P在直线l上，则点M、N的纵坐标都为p﹣1，得到M（，p﹣1），N（，p﹣1），可得MN，计算出S△AMN••（p﹣1）＝2； （3）利用S△AMN＝2S△APM，得到2•（p2﹣p﹣2）＝2，然后解方程即可． 【解答】解：（1）把点B（2，1）代入y得m＝2×1＝2， 设直线l的解析式是y＝kx+b， 把A（1，0），B（2，1）代入y＝kx+b中， 得， 解得， ∴直线l的解析式是y＝x﹣1； （2）∵P点坐标为（p，p﹣1）， ∴点P在直线l上， 而MN∥x轴， ∴点M、N的纵坐标都为p﹣1， ∴M（，p﹣1），N（，p﹣1）， ∴MN， ∴S△AMN••（p﹣1）＝2， （3）存在．理由如下： ∵S△AMN＝2S△APM， ∴当S△AMN＝2， ∴2S△APM＝1， ∵AM＝AM， ∴MPMN， ∴MN，MP， ∴P（P，P﹣1），M（，P﹣1）， ①P在M右侧时， P， P， P（P﹣1）＝4， P2﹣P﹣4＝0 P ∵P＞0， ∴P； ②P在M左边时， ∴P＝0，（舍去） ∴综上，． 32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）当四边形ABOC的面积为时，求此时点C的坐标； （3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据直线y＝2x+12与反比例函数的图象交于A（m，8），B两点，可计算m的值，并确定k的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点B的坐标； （2）根据四边形ABOC的面积为列方程可解答； （3）如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，证明∠ABG＝∠GHB，根据正切的定义可得GH＝2，可得BC的解析式为：yx+2，列方程可得点C的坐标，证明△AMC是等腰直角三角形，可得△FBG也是等腰直角三角形，则F（0，8），根据AC＝BD列方程可得结论． 【解答】解：（1）∵点A（m，8）在直线y＝2x+12上， ∴2m+12＝8， ∴m＝﹣2， ∴A（﹣2，8）， ∴k＝﹣2×8＝﹣16， ∴反比例函数的表达式为：y， 则2x+12， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∴B（﹣4，4）； （2）如图1，过点A作AP∥y轴，交OB于P， 设点C的坐标为（a，）， ∵B（﹣4，4）， ∴OB的解析式为：y＝﹣x， 当x＝﹣2时，y＝2， ∴P（﹣2，2）， 设AC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴AC的解析式为：y8， ∴OF＝8， ∵四边形ABOC的面积为， ∴S△ABP+S梯形APOF+S△COF， 即2×（8﹣2）2（6+8）（8）×a， ∴3a2﹣16a﹣12＝0， 解得：a1＝6，a2（舍）； ∴C（6，）； （3）存在， 如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M， 在y＝2x+12中，当x＝0时，y＝12， ∴OE＝12， ∵B（﹣4，4）， ∴BG＝4，EG＝12﹣4＝8， ∵四边形ABCD是“垂等四边形”， ∴AC⊥BD，AC＝BD， ∴∠BFC＝90°， ∴∠ACB+∠CBF＝90°， ∵∠ABD＝∠ACB， ∴∠ABD+∠CBF＝90°，即∠ABC＝90°， ∴∠ABG+∠HBG＝90°， ∵∠HBG+∠GHB＝90°， ∴∠ABG＝∠GHB， ∴tan∠ABG＝tan∠GHB，即， ∴， ∴GH＝2， 设直线BC的解析式为：y＝nx+2， 将点B的坐标（﹣4，4）代入得：﹣4n+2＝4， ∴n， ∴BC的解析式为：yx+2， ∴x+2， 解得：x＝8或﹣4（舍）， ∴C（8，﹣2）； ∵A（﹣2，8）， ∴AM＝CM＝10， ∴△AMC是等腰直角三角形， ∴∠CAM＝45°， ∴∠FBG＝∠CAM＝45°， ∴△FBG也是等腰直角三角形， ∴BG＝FG＝4， ∴F（0，8）， 同理得：BF的解析式为：y＝x+8， 设D（x，x+8）， ∵AC＝BD， ∴（8+2）2+（8+2）2＝（x+4）2+（x+8﹣4）2， 解得：x1＝6，x2＝﹣14（舍）， ∴D（6，14）． 33．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数y＝k+b的图象经过点B，C，反比例函数y图象也经过点B． （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0时，kx+b0的解集． （3）若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，利用AAS证明△BFC≌△COA，得CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，可知点B的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）根据图象直接可得答案； （3）分AP＝AC、PA＝PC、CA＝CP三种情形，分别画出图形，从而解决问题． 【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCF+∠ACO＝90°． 又∵∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠BCF＝∠CAO， ∵∠BFC＝∠COA＝90°，BC＝AC． ∴△BFC≌△COA（AAS）， ∴CF＝OA＝2，BF＝OC＝1， ∴点B的坐标为（﹣3，1）， 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得： ， 解得：k＝﹣3， 故可得反比例函数解析式为：； （2）结合点B的坐标及图象，可知： 当x＜0时，的解集为：﹣3＜x＜0； （3）分三种情况求解：如图， ①当AP＝AC时， ∵点P在y轴正半轴， ∴P1符合要求，P2不符合要求， ∵A（0，2），C（﹣1，0）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当AC＝CP时，P3在y轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点P与点A重合，不符合题意，故AC＝CP时，不存在； ③当AP＝CP时，设P4（0，m）， ∴P4C＝P4A＝2﹣m， 在Rt△OCP4中，由勾股定理，得 12+m2＝（2﹣m）2， 解得，， ∴， 综上所述，点P坐标为或． 34．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）设点D为反比例函数y的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y（x＞0）的图象于点Q，当，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线AC的解析式，构建方程组，利用判别式的值为0，求出k′，再构建方程组求出交点坐标即可； （3）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N．证明△PMO∽△ONQ，推出（）22，当P在D上方的图象上时，过点D作DG⊥OP于点G，过点G作GH⊥y轴于点H，过点D作DI⊥HG于点I． 由△DGI∽△GOH，可得，设IG＝4n，ID＝4m，则HO＝5n，GH＝5m，可得，推出n＝9m，可得G（﹣5m，45m），推出直线OG的解析式为y＝﹣9x，构建方程组，可得点P坐标． 【解答】解：（1）对于y，令x＝1，则a＝5， ∴A（1，5）， ∵B（6，0），直线y＝kx+b，经过A，B， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6； （2）∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵A（1，5），B（6，0）， ∴C（﹣4，0）， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， 由，得x2+4x﹣k′＝0， ∵只有唯一公共点， ∴Δ＝16+4k′＝0， ∴k′＝﹣4， ∴y， 由，得， ∴D（﹣2，2）， ∴S△AOD4×（xA﹣xD）＝6； （3）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N． ∵∠POQ＝∠PMO＝∠QNO＝90°， ∴∠POM+∠QON＝90°，∠QON+∠OQN＝90°， ∴∠POM＝∠OQN， ∴△PMO∽△ONQ， ∴（）22， 当P在D上方的图象上时，过点D作DG⊥OP于点G， ∴tan∠POD， 过点G作GH⊥y轴于点H，过点D作DI⊥HG于点I． 由△DGI∽△GOH，可得， 设IG＝4n，ID＝4m，则HO＝5n，GH＝5m， ∴， ∴n＝9m， ∴G（﹣5m，45m）， ∴直线OG的解析式为y＝﹣9x， 由，解得或（不合题意，舍去）， ∴P点坐标为（，6）． 解法二：过点D作DH⊥OC与点H，过点E作EF⊥HD交HD的延长线于点F． 利用相似三角形的性质求出点E的坐标．求出折线OE的解析式，构建方程组确定点P的坐标． 35．综合与探究 如图，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交BC于点E（﹣2，4），交AB于点F． （1）求k的值与点F的坐标； （2）在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，并求出点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若点P是y轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）直接将点E的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，再求点F的坐标即可； （2）作点F关于x轴的对称点G，连接GE与x轴交于点M，连接FM，EF，此时△EMF的周长最小，过点E作EH⊥x轴于点H，通过证明△AGM∽△HEM，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设P（0，t），有两点间距离公式分别表示出， 若EM为菱形的一边，则有两种情况，①ME＝MP，②ME＝EP，若EM为菱形的对角线，则有MP＝EP，分别建立方程求解即可． 【解答】解：（1）把（﹣2，4）代入中，得：． ∴k＝﹣8． 当x＝﹣6时，． ∴． （2）作点F关于x轴的对称点G，连接GE与x轴交于点M，连接EF，FM，此时△EMF的周长最小． 方法一： 过点E作EH⊥x轴于点H． 设M（a，0），则AM＝a+6，HM＝﹣2﹣a． ∵，点G与点F关于x轴对称， ∴． ∴． ∵E（﹣2，4）， ∴EH＝4． ∵∠GAM＝∠EHM＝90°，∠AMG＝∠HME， ∴△AGM∽△HEM． ∴． ∴． ∴a＝﹣5． ∴M（﹣5，0）． 方法二： 设EG的函数关系式为y＝ax+b． ∵，点G与点F关于x轴对称， ∴， 把E（﹣2，4），代入y＝ax+b中， 得：，解得：， ∴， 当y＝0时，x＝﹣5， ∴M（﹣5，0）． （3）设P（0，t）， ∵E（﹣2，4），M（﹣5，0）， ∴， 若EM为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下： ①ME＝MP，即， 解得t＝0， ∴P（0，0）； ②ME＝EP，即， 解得， ∴或； 若EM为菱形的对角线，则有MP＝EP， 即， 解得， ∴； 综上，点P的坐标为（0，0）或或或． 36．如图1，一次函数y＝﹣2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y（x＞0）的图象交点C（1，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）在双曲线y（x＞0）上是否存在一点D，满足，若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B作BM⊥OB交反比例函数y（x＞0）的图象于点M，点N为反比例函数y（x＞0）的图象上一点，∠ABM＝∠BAN，请直接写出点N的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）点C（1，n）代入y＝﹣2x+4，点C（1，2）代入，即可求解； （2）由一次函数解析式得出A（2，0），B（0，4），设点D坐标为（a，），根据S△OCDS△AOB，建立方程，解方程即可求解； （3）由A（2，0），B（0，4），C（1，2），三点的坐标，可得点C为线段AB的中点，延长BM交AN的延长线于点H，连接CH，根据等角对等边得到HB＝HA，再由等腰三角形三线合一的性质得出CH⊥AB，然后证明△HBC∽△BAO，可得HB＝5，从而得到点H的坐标，然后运用待定系数法即可求出直线AN的解析式，解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）点C（1，n）代入y＝﹣2x+4， 解得n＝2， 点C（1，2）代入，解得k＝2， 所以； （2）存在，理由如下， 如图，过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，则S△COE＝S△DOF， ∴S△COD＝S△COE+S梯形CEFD﹣S△ODF， 对于y＝﹣2x+4，令y＝0，则﹣2x+4＝0， 解得x＝2， 令x＝0，则y＝4， ∴A（2，0），B（0，4）， 设点D坐标为（a，）， ∵S△OCD＝S梯形CDFES△AOB， ∴（2）|a﹣1|2×4， 解得a＝1或a＝﹣1（负值舍去）， ∴点D坐标为（1，22）或（﹣1，22）； （3）解：∵A（2，0），B（0，4），C（1，2）， ∴点C为线段AB的中点，OA＝2，OB＝4， ∴， ∴， 如图，延长BM交AN的延长线于点H，连接CH， ∵∠ABM＝∠BAN， ∴HB＝HA， ∴CH⊥AB， ∵BM⊥OB，OA⊥OB ∴BM∥OA， ∴∠HBA＝∠BAO， ∵∠HCB＝∠BOA＝90°， ∴△HBC∽△BAO， ∴HB：BA＝BC：AO， ∴HB：2：2， ∴HB＝5， ∴点H（5，4）， 设直线AN的解析式为y＝mx+b（m≠0）， 把点A（2，0），H（5，4）代入得：， 解得：， ∴直线AN的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点N的坐标为． 37．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n），B两点． （1）求反比例函数的解析式与点B的坐标； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【分析】（1）把点A（﹣1，n）代入y＝2x﹣3求出n，即可得出点A的坐标，从而得k的值，联立两个函数解析式，解方程组，即可得出点B的坐标； （2）求出E的坐标，根据三角形的面积公式求出即可； （3）作辅助线，构建相似三角形，证明△BAN∽△ADM，列比例式可得a的值，从而得点D的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上， ∴n＝﹣5， ∴点A（﹣1，﹣5）， ∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣1×（﹣5）＝5， ∴； 联立， 解得：，， ∴点； （2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3）， ∴OE＝3， ∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE3×13； （3）设点， 如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN， ∴∠M＝∠N＝90°， ∴∠DAM+∠ADM＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAN+∠DAM＝90°， ∴∠BAN＝∠ADM， ∴△BAN∽△ADM， ∴，即， 解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍）， ∴． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3：反比例函数压轴题专题突破 (填空+解答综合压轴题) 本节课主要针对第26章反比例函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了反比例函数章节典型压轴题例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 反比例函数概念 1. 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2. 解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数． 3. 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 知识点二 反比例函数图像及性质 1.反比例函数的图像 反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2.反比例函数的性质 (1)当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． (2)当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． (3)图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 知识点三 反比例函数在实际问题中的应用 1.题意找出自变量与因变量之间的乘积关系 2.设出函数表达式 3.依题意求解函数表达式 4.根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题 知识点四 反比例函数的实际应用 常见函数关系： 1.当圆杆体的体积一定时，圆杆的底面积是高的反比例函数 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数 一．填空题（共6小题） 1．如图，反比例函数的图象与直线交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为18，则b的值为 　 　 ． 2．已知过原点的一条直线l与反比例函数的图象交于A，B两点（A在B的右侧）．C是反比例函数图象上位于A点上方的一动点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．若AC＝mCD，BC＝nCE，则m﹣n＝　 　 ． 3．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　 　 ，点F的坐标为 　 　 ． 4．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则　 　 ． 5．如图，直角坐标系中，Rt△ABC的AB边在x轴上，∠CAB＝90°，sin∠ACB．将Rt△ABC沿直线BC翻折得Rt△DBC，再将Rt△DBC绕点B逆时针旋转，正好点C与坐标原点O重合，点D的对应点E落在反比例函数y（x＞0）的图象上，此时线段AC交双曲线于点F，则点F的坐标为　 　 ． 6．如图，直线yx与双曲线y交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝　 　 ． 二．解答题（共31小题） 7．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数在第二象限交于A（﹣1，3）、B（﹣3，m）两点，点C是x轴正半轴上一动点，连接AC，BC． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若△ABC的面积为6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D为y轴上一点，点E为坐标平面上的一点，是否存在这样的点D和点E，使得以点A、C、D、E为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B（﹣1，0），反比例函数y的图象也经过点A，且点A横坐标是2． （1）求一次函数的解析式． （2）点C是x轴正半轴上的一点，联结AC，tan∠ACB，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象于点D、E，求点D、E的坐标． （3）在（2）的条件下，联结AD，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线经过C、D两点． （1）求k的值； （2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P的坐标； （3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，请求其值．并给出你的证明． 10．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值； （3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＜0）的图象与等边△OAB相交． （1）如图1，当反比例函数的图象经过△OAB的顶点A时，若OB＝6，求反比例函数的表达式； （2）如图1，若点M是第（1）小题反比例函数图象上的一点，且满足△OAM的面积与△OAB的面积相等，求点M的坐标； （3）如图2，反比例函数的图象分别交△OAB的边OA，AB于C，D两点，连接CD并延长交x轴于点E，连接OD，当AD＝OC＝4时，求S△OCD：S△ODE的值． 12．已知一次函数yx+b的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点． （1）若A点的横坐标为，求b的值； （2）如图，若AB＝2AC，求A、B两点的坐标； （3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点P放在反比例函数图象的AB段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点，设点P的横坐标为x0，QR的长为L．问：是否存在点P，使L的长为，存在请求出符合条件的P的坐标，不存在请说明理由． 13．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为（2a，a），反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，点E，连接OD，OE，DE． （1）若△ADO的面积为3， ①当a＝3，求k的值和△ODE的面积； ②当直线DE的解析式为y＝mx，求△ODE的面积． （2）我们定义有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．若a＝3，当△ODE为“半直角三角形”时，求该反比例函数的解析式． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4）， （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标． 15．如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数y2的图象交于A，B两点，已知A点的横坐标是2． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围； （3）将直线y＝kx向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E，若，求m的值． 16．如图，函数的图象过点A（n，2）和两点． （1）求n和k的值； （2）将直线OA沿x轴向左平移得直线CD，交x轴于点D，交双曲线于点C，交y轴于点E． i）若，求直线CD解析式； ii）若点A、点M关于原点对称，在直线DC上找一点N，使得△ANM与△EOD相似，求出满足条件的所有点E的坐标． 17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C（m，1）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D在点C上方的反比例函数的图象上，△ABD的面积为9，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在反比例函数的图象上，若以点M，N，B，D为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 18．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC、AB于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D重合． （1）当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系； （2）如图2，连接CD， ①△CDE的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当CD平分∠ACO时，直接写出k的值． 19．如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，﹣2），反比例函数y的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 20．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象与等边△ABO相交． （1）如图1，当反比例函数的图象经过△ABO的顶点A时，若OB＝4，求反比例函数的表达式； （2）反比例函数的图象分别交△ABO的边OA，AB于C，D两点， ①如图2，连接CD，当∠ACD＝90°时，若OB＝4，求点C的坐标； ②如图3，当AC＝BD时，连接CD并延长交x轴于点E，连接OD，若AD＝3，求S△ODE：S△OCD的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内A，B两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点． （1）若点B的坐标为（6，1），求k和b的值； （2）在（1）的条件下，是否存在x轴上一点P，使△ACP与△CDO相似，若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由； （3）过点A作AE⊥AB交y轴于点E，过点E作EF∥AB，交x轴于点F，连接AE，AB，当点E的坐标为（0，1）时恰有AB＝2EF，求△ABE的面积． 22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a）和点B（2，3），分别与y轴，x轴交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点E为反比例函数y（x＞0）上一点（不与点A，B重合），过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当△EFD∽△COD时，求点E坐标． 23．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（8，1）． （1）k＝　 　 ；m＝　 　 ； （2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标； （3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标． 24．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标． （3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标． 26．如图，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（a，4），B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长； （3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，A，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点Q的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP． （1）求k，b的值． （2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标． （3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标． 28．直线l1：y＝﹣x+4与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点A（m，3）、B． （1）求a的值及B的坐标； （2）在x轴上存在点D，使S△ACDS△AOC，求点D的坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1：y＝﹣x+4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝kx+4与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围． 29．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，3），B（3，a）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集； （2）求S△AOB． 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标； （3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 31．如图，直线l经过点A（1，0）且与双曲线交于点B（2，1），经过直线l上一点P（p，p﹣1）（p＞1且p≠2）作x轴的平行线分别交曲线和于点M，N． （1）求m的值及直线l的解析式； （2）求△AMN的面积； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝2S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）当四边形ABOC的面积为时，求此时点C的坐标； （3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数y＝k+b的图象经过点B，C，反比例函数y图象也经过点B． （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0时，kx+b0的解集． （3）若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标． 34．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）设点D为反比例函数y的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y（x＞0）的图象于点Q，当，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 35．综合与探究 如图，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交BC于点E（﹣2，4），交AB于点F． （1）求k的值与点F的坐标； （2）在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，并求出点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若点P是y轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图1，一次函数y＝﹣2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y（x＞0）的图象交点C（1，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）在双曲线y（x＞0）上是否存在一点D，满足，若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B作BM⊥OB交反比例函数y（x＞0）的图象于点M，点N为反比例函数y（x＞0）的图象上一点，∠ABM＝∠BAN，请直接写出点N的坐标． 37．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n），B两点． （1）求反比例函数的解析式与点B的坐标； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $