20.2勾股定理的逆定理及其应用 同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步练习 一、单选题 1．下列数据能作为直角三角形三边的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．一根长为的绳子，其端点为，绳上有两点，将绳子分成长为和的三条线段．一人握住绳子的两个端点（点和点），两人分别握住点和点，将绳子拉直，会得到一个（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．非三角形 4．如图，点是等边内一点，连接、、，，以为边作，连接，则有以下结论：①是等边三角形；②是直角三角形；③；④．其中一定正确的有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．下面的三角形中：①中，；②中，；③中，；④中，三边长分别为，，．其中，直角三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 二、填空题 7．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为 ． 8．已知△ABC的三边长分别为，，，则的形状是 ． 9．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则 10．已知的三边长为、、，且满足关系式，则的形状为 ． 11．如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 12．如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 13．海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 14．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 16．先观察下列各组数，然后回答问题： 第1组：，，，第2组：，，， 第3组：，，，第4组：，，. (1)根据各组数反映的规律，直接用含n的代数式表示第n组的三个数； (2)以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是______，请说明原因． 17．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    18． 已知：整式，且整式．、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 19．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．    (1)着火点受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？ 20．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．    (1)求的度数； (2)求取水点A到取水点D的距离． 21．据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木钉成一个三角形，其中一个角便是直角． (1)请指出古埃及人作直角的根据； (2)请根据古埃及人的做法，用尺规作图作出一个直角三角形． 22．某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路、分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． (1)求证：； (2)若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴不能作为直角三角形三边，故A不符合题意； ∵， ∴不能作为直角三角形三边，故B不符合题意； ∵， ∴不能作为直角三角形三边，故C不符合题意； ∵， ∴能作为直角三角形三边，故D符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，即可． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形，， 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，正确理解最长边等于较短两边的平方和，则最长边为斜边是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是，理解题意是解题的关键． 绳子总长，被分成、、三段，当端点和被握在一起时，绳子拉直后形成三边为、、的三角形，根据勾股定理判断形状. 【详解】解：∵ 三边长度分别为、、， 且，， ∴ ， ∴ 该三角形为直角三角形. 故选：A． 4．C 【分析】先运用全等得出，从而，得出是等边三角形，，再运用勾股定理逆定理得出，由此得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， 又， ，， ∴是等边三角形，①正确； 又∵， ∴设，则：，，， ， ， 是直角三角形，且，②正确； 又是等边三角形， ∴，， ，③错误； ∵，， ∴，④错误． 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：①中， 即 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②中，， ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②错误； ③∵中， ∴， 即是直角三角形，故③正确； ④∵中，三边长分别为，，， ∴， 即不是直角三角形，故④错误； 即正确的个数是个， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的逆定理．首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可以判断，、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 【详解】解：如下图所示，连接 、、， 又 ， 是直角三角形， 又点是的中点， ， 、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 故选：D ． 7． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求． 【详解】解：， ∴此三角形为直角三角形， 则三角形最大内角度数为． 故答案为： ． 8．等腰直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理，得出三角形是直角三角形． 【详解】解：∵的三边长分别为：，，，且， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，． 故答案为： 10．等腰直角三角形 【分析】首先根据题意可得：，，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：， ，， ，， 的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 11．18 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接、，如图， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ∴， ∴， ， 故答案为：18． 12．/150度 【分析】连接，根据，，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，从而求得． 【详解】解：如图，连接， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握等边三角形的知识和勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．北偏东 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，（海里），（海里） 又∵海里， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 则另一艘舰艇的航行方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 14． / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 15．见解析 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是掌握相关知识．先在中，求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】证明：，，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 16．(1)，， (2)直角三角形，见解析 【分析】（1）确定每组数据被开方数的规律即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：依题意得每一组的第一个被开方数为n，第二个被开方数为，第三个被开方数为， ∴第n组的三个数分别为，，； （2）解：直角三角形， ∵， 即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方. 【点睛】本题考查了二次根式的规律问题、勾股定理的逆定理．找到一般规律是解题关键． 17．够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 18．直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边长为，满足，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 19．(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)着火点C能被扑灭 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为，   ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 着火点C受洒水影响； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点    则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点C能被扑灭． 20．(1) (2)取水点A到取水点D的距离为千米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理， （1）利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即有； （2）设千米，则千米，即有千米，根据，有，解方程即可求解． 【详解】（1）∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴； （2）设千米，则千米， ∴千米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：取水点A到取水点D的距离为千米． 21．(1)勾股定理的逆定理 (2)画图见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． （1）设相邻两个结点的距离为m，再根据勾股定理的逆定理即可判断． （2）先作射线，在上依次截取，再作线段，以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，再连接，即可． 【详解】（1）解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵， ∴以、、为边长的三角形是直角三角形． ∴依据是：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；或勾股定理的逆定理 （2）解：如图，即为所求， ． 22．(1)见解析 (2)144元 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论； （2）用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米20元，列式计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵米，米，米． ∴，则， ∴是以为直角的直角三角形， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得： 米； ∵， ∴， 即， ∴（米）， ∴需花费（元） 即：修小路的最少花费144元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $