精品解析：广东广州市奥林匹克中学2026届高三第一学期期末考试数学试题

广州奥林匹克中学2025学年第一学期期末考试题 高三数学 命题人：李文芳 审题人：李慧玲 一､单选题 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法得到，根据交集概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：C 3. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可. 【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2， 方差是， 加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3， 方差是， 所以不发生变化的是平均数， 故选：A. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用降幂公式整理可得，结合图象变换运算求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确. 故选：A. 5. 如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 6. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 7. 在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解. 【详解】 如图，取的中点M，在上取一点H，使得，连接，如上图， 则，平面， 平面AEF，平面平面； 即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形， 其中， ， 故选：A. 8. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 二､多选题 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【解析】 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三棱锥体积公式求得三棱锥体积，判断A选项；通过几何关系得到外接球心，即可求得球的半径，然后得到球的表面积，判断B选项；由勾股定理得到长，即可知道点的轨迹图象，然后求得轨迹长度，判断C选项；取点关于平面的对称点，从前得到取最小值时点的位置，然后计算的最小值，判断D选项. 【详解】在正方体中平面，∵，则， ∴，A选项正确； 取中点，过作平面，∵， ∴三棱锥外接球的球心在上， ∴设为三棱锥外接球的球心，且设， ∴，则， 即，即，∴， 则球的半径， 则球的表面积，B选项正确； ∵平面，∴，∴， 即，∴， ∴点的轨迹为以为原点，为半径的圆弧， ∴点的轨迹长度为，C选项错误； 如图，延长到点，使得，连接交平面于点， 此时取最小值， ，D选项正确. 故选：ABD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出有4个解；对于B，将点关于直线的对称点为，分别代入曲线方程中判断即可；对于C，D，对函数求导，判断单调性，确定最值. 【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得， 解得，所以当时，曲线与轴有4个交点，A正确； 对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以曲线的图象关于直线对称，B对； 对于C，D选项，当时，在曲线上的一点，则， 则，其中， 令，其中，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，C错误； ， 因为，所以，则， 所以， 所以，，故，D正确. 故选：ABD. 三､填空题 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，进而可得，由双曲线性质计算即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，且， 已知双曲线，则，， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线为，所以， 则，故，， 所以双曲线的焦距为4. 故答案为：4. 13. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案为：；. 14. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 四､解答题 15. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； 【小问2详解】 易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 16. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求； （2）若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，进而求出数列的通项，再利用周期性及并项求和法求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 于是，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则，又，则由正弦定理得， 因此，函数的最小正周期为3， 因此数列是以3为周期的周期数列， ，而， 所以. 17. 如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1） 由，，， 故与全等，故， 又因为为的中点，故， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由平面，平面，故， 又为的中点，故， 即两两垂直，且， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有， 由三棱台的高为，故，故， ， 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则有，故， 设与平面所成角为， 则有， 则， 因此，与平面所成角为. 18. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 【答案】（1） （2）将代入并整理得， 则，. ∵直线：与椭圆交于不同的两点，，∴，解得， ∴直线，的斜率存在且不为零. 设直线，的斜率分别为和，只要证明. 设，， . 故原命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程； （2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立． 【详解】（1）设椭圆的方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由： 由于，所以与的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点. 不妨设的两个零点为，，的两个零点为，， 则有， 因为，得，① 所以，② 又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况： （1）当时，即，，，成等差数列，则有，③ 由②③得， 代入①得，，④ 又，⑤ 将④代入⑤式可得， 由等差数列性质及，可得，从而有， 可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在； （2）当时，即，，，成等差数列，则，③ 由②③得，同理得，，④ 又，⑥ 将④代入⑥式可得， 代入③可得，解得，， 这与④矛盾，故实数不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得答案； （2）求导，判断的单调性，求出极值，列式运算得解； （3）由，得与的零点个数相同，所以与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可. 【小问1详解】 由， 当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，. 故有两个零点，即，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州奥林匹克中学2025学年第一学期期末考试题 高三数学 命题人：李文芳 审题人：李慧玲 一､单选题 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 将函数图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 7. 在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二､多选题 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 三､填空题 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________. 13. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 14. 曲线与在上有两个不同交点，则的取值范围为______． 四､解答题 15. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 16. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求； （2）若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 17. 如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小. 18. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $