7.2.3 平行线的性质 同步练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

7.2.3平行线的性质同步练习 一、单选题 1．如果，则①，②，③，上述结论中正确的是（    ） A．只有① B．只有② C．只有③ D．①②和③ 2．如图，将含角的直角三角板与直尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一副直角三角板如图摆放，点在的延长线上，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的．如图，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 5．直线，将一副三角板如图放置，则（    ）． A． B． C． D． 6．如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，平分，过点D作，平分，连接，下列结论：①；②；③，④平分．其中正确的结论有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图1，，分别在上，．如图2，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或垂直时，的值为（　　） A．秒或秒 B．秒或6.5秒 C．2秒或6.5秒 D．2秒或秒 二、填空题 10．如图，之间是一座山，一条铁路要通过两点，为此需要在之间修一条笔直的隧道，在地测得铁路走向是北偏东，那么在地按南偏西 的方向施工，就能保证铁路准确接通． 11．如图，，点在直线上，点在直线上，过点作于，如果，那么的大小为 ． 12．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 13．如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则 ． 14．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与相交于点G，若，则 ．    15．如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 16．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 17．如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为 ．    三、解答题 18．如图，平分，，，则也是的平分线，完成下列推理过程．    证明：是的平分线（已知）， （ ）． （已知）， （ ）． （ ）． 又（已知）， （ ）． （ ）． （ ）． 19．如图，已知平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 21．已知，直线与，分别交于点，，平分与直线交于点． (1)如图1，若，则的度数是______（写出解题步骤）． (2)作平分，交于点． ①如图2，过点作，交直线于点，求证：； ②如图3，点是延长线上的一点，连接，若，直接写出与存在的数量关系（用含等号的式子表示）． 22．已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． (1)如下图，若，，求的度数； (2)如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 23．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 24．如图1，直线，点A在直线上，点B、C、D在直线上，，于点E，与的角平分线相交于点F． (1)求的度数； (2)如图2，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕着点C以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查平行线的性质．由得，即可得出答案． 【详解】解： 是由推出的，故由不能推出，进而也不能得到 故选：A． 2．C 【分析】本题考查的是平行线的性质，平角的定义，先证明，结合，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，标注字母， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 3．B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、利用平行线的性质求角的度数，由题意得，，由两直线平行，内错角相等得出，再由计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据水面与水底平行得到，再根据在水中平行的光线作答即可． 【详解】解：如图， ∵水面与水底平行， ∴， ∵， ∴， ∵在水中平行的光线， ∴． 故选：B 5．C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 标注各点，并过作，利用三角板的度数特点得到，，再利用平行线的性质进行角的等量代换运算即可． 【详解】解：标注各点，并过作，如图所示： 根据三角板的度数可得：，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了平行线的性质，由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，再根据平行线性质定理求出，再根据折叠的性质及平角定义求解即可． 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据折叠的性质得，． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，判定方法，角平分线平分角，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，；故③正确； ∴，故①错误； ∴；故②正确； 无法得到平分；故④错误； 故选B． 9．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的判定与性质，当运动时间为t秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；当与互相垂直时，由，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，综上即可得出答案． 【详解】解：当转动时间为t秒时，，， 当与互相平行时，， 即， 解得：； 当与互相垂直时，， 即， 解得， ∴当与互相平行或垂直时，t的值为秒或秒． 故选：A． 10． 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等）和方位角．解题的关键在于识别出两地南北方向平行，利用平行线内错角相等确定地施工方位角． 【详解】如图， 解：因为在地测得铁路的走向是北偏东，即， 所以在地按南偏西的方向施工，才能保证铁路准确接通， 即． 故答案为：． 11．/30度 【分析】本题考查了平行线，余角，邻补角，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质，余角与补角的定义．用平角定义求出的度数，再根据直角定义求出度数，根据平行线性质得到的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．/50度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/32度 【分析】过点G，M，H作，，，根据已知易得：，再利用锯齿模型可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进而可得，最后利用猪脚模型可得，即可解答． 本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点G，M，H分别作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 14．/度 【分析】先根据平行线的性质得∴，，再根据折叠的性质得，则，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、位置， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本图形变换-折叠问题，平行线的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 15．①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴, ∴， 故②正确； ∵的余角比大． ∴， ∵， ∴， 解得 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④ 16．/82度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得， 故答案为：． 17．/度 【分析】如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 18．角平分线的性质；两直线平行，内错角相等；，等量代换；， ， 内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 等量代换 【分析】先利用角平分线定义得到，再根据平行线的性质由得，则，接着由可判断，则利用平行线的性质得，所以，从而得到结论． 【详解】证明：是的平分线（已知）， （角平分线的性质）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 又（已知）， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）角平分线的定义，得到，进而得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 20．(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）结合三角板各个角的度数，运用角的和差求解即可； （2）由得到，结合即可求解； （3）过点F作，则，得到，，根据角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 即． 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴，． （3）解：根据题意，得，，． 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． 21．(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质即可得到，即可解题； （2）①利用角平分线性质得到，，进而得到，结合平行线判定定理，即可证明； ②根据题意得到，再利用三角形内角和定理得到，结合进行等量代换，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：． （2）证明：①平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， 理由如下：， ， ， ， ， ， ． 22．(1) (2)①， 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差，对顶角相等． （1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质得到，，两式消去，即可解答； ②过作，则，因此，，结合对顶角相等与角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴． 23．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与，之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴，， ∴；即 （3）解：如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵ ∴，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在射线上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 24．(1)； (2)； (3)2或10或12或18或30． 【分析】本题主要考查了角的计算和平行线的性质，正确的计算旋转角是本题解题的关键． （1）根据角平分线的定义，用和表示出和，再根据三角形内角和求解即可； （2）用表示出，再根据平行线的性质得出，最后根据三角形内角和求解即可； （3）根据平行两边不同分类讨论，根据平行线的性质求出旋转角，从而求得时间t． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∴ 设旋转时间为t秒，旋转角度为． ∵边，，，有共同顶点C， ∴这四条边不能互相平行， ①时，如图： ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图： ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图： ∴， ∴， 解得：； ④当时，如图： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时，如图： ∴， ∴， 解得：； 综上所述，或10或12或18或30． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $