椭圆中另两个重要性质定理的证明及应用 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

椭圆中另两个重要性质定理的证明及应用讲义 圆锥曲线有一系列的性质,解题时若能灵活地运用性质,常会起到事半功倍之效.下面再来看椭圆中另两个重要的有用结论,称之为椭圆的两个性质定理. 性质定理I:(如图1)若为椭圆的两个焦点,为椭圆上一动点,设,则当由长轴端点向短轴端点移动时,逐渐变大,反之(即由)逐渐变小;且与点重合时最小,与点重合时最大;即. 证明:不妨设椭圆方程为由椭圆的对称性,我们只需考虑点在椭圆位于第一象限(包含端点)曲线上移动时,考察的变化情况.设又设其中.由椭圆的第二定义(椭圆上的点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率)或利用两点间距离公式,易得焦半径公式为(为离心率).在中,因,由余弦定理得 ,令,易证在上为单调递增函数,而在上为减函数.即值越小,值也越小,而值就越大;反之值越大,值也越大,而值就越小.且当时,；当时,. 由以上证明易知下列推论:①当时,；②当时,；③当时,. 性质定理II: (如图2)若为椭圆长轴两端点,为椭圆上的动点,设,则点由长轴端点向短轴端点移动时,逐渐变大；且当与短轴端点重合时最大,当与长轴端点重合时可视为. 证明:不妨设椭圆方程为.⑴当与或重合时,可看作为.⑵当在其它位置时,由对称性只需考虑点在椭圆位于第一象限(仅包括短轴端点)曲线上移动时,考察的变化情况.设,且,过点作轴于.因,,则,,得 (),将代入()式化简得,故;易证在上为增函数,又因在上也是增函数,从而知角是随着上值的增大而增大；并当时,. 性质定理应用:利用上面两个性质定理的结论,在求解高考试题和模拟题中有关题目时,常会使问题化难为易、化繁为简,并能出奇制胜地迅速获解.下面结合经典实例透视这两个性质定理在解题中的应用,以供同学们参考和借鉴. 例1.(高考题)椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时,点横坐标的取值范围是 解法1:由性质定理I及其推论③,因,得,故可先考虑当时,设,求出的值.因点既在椭圆上又在以为直径的圆周上,由方程和可解出.由对称性,当为钝角时,点横坐标的取值范围是. 解法2:由性质定理I的证明过程知,其中为点横坐标;这里,又因,则有,即得,解出,故得为点横坐标的取值范围. 例2.(江西九校联考)设为椭圆上一动点,、为两焦点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 解:由性质定理I,易得,而在上为减函数,于是.故选D. 例3.(高考模拟题)已知椭圆的两焦点为、,是椭圆上任意一点,若的最大值为,则离心率为 解:由性质定理I知,当与短轴端点重合时,,则离心率. 例4.(江西南康联考)已知椭圆方程为,、分别为其两焦点,问在椭圆上是否存在一点,使?并说明你的结论. 解:由性质定理I知当与短轴端点重合时,为最大等于,显然这里;因,从而可得,故不存在点满足条件. 例5.(高考题)设是椭圆长轴的两个端点；若上存在点满足，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解:分两种情况进行讨论：(1)当椭圆的焦点在轴上时，这里，且；由性质定理II知,若点与短轴端点重合时,,故要使存在,需,即,则有，即且，解得.(2)当椭圆的焦点在轴上时，这里，且；由性质定理II同理可得，且，即得.综合可得实数的取值范围为.故选A. 例6.(高考模拟题)已知椭圆:的长轴两端点为,若上存在一点,使,求椭圆离心率的取值范围. 解:由性质定理II知:当点与短轴端点重合时,,故为了使存在,只需,即,则有,可得;故,且为所求离心率的取值范围. 总评：这类问题在高考试题和高考模拟试题中是经常出现的，特别是当试题设计为选择题或填空题时，由于求解过程不需要在答题卡上写出来，同学们若能借用本文中椭圆的两个性质定理去解决相关试题，可获取得天独厚的超强优势，能使问题既快又准地获解.利用上述两个结论，可求椭圆方程中参数的取值范围，离心率的值或取值范围，夹角的某一三角函数值的取值范围，椭圆上满足条件的点的存在性探究及点的横(纵)坐标的取值范围等. 学科网（北京）股份有限公司 $