精品解析：四川省成都市树德中学2026届高三上学期2月期末测试数学试题

树德中学高2023级高三上期期末测试 数学试题 命题人：常勇 审题人：邓连康､朱琨､刘大华 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据补集的概念即可求出. 【详解】由题意得，，解得或，故集合或， 又全集，. 故选：C. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，再根据共轭复数和虚部的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 得到，故的虚部为. 故选：A 3. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在上，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可. 【详解】因为， 而为上的无理数，所以， 因为，所以. 故选：D. 4. 已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件定义，由数列的单调性即可求解. 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知圆和圆的交点为，则下列选项不正确的是（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 四边形的面积为4 D. 分别为圆上的动点，则的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】公共弦所在直线方程，可通过两圆方程相减得到；线段的垂直平分线经过两圆的圆心；四边形的面积可根据两圆的位置关系和相关几何性质计算；的最大值为两圆的圆心距加上两圆的半径之和. 【详解】对于A，由题意得圆，圆， 将两圆方程相减可得， 整理得，所以公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆可化为，其圆心, 圆可化为，其圆心， 线段的垂直平分线就是，根据两点式可得直线的方程为， 即，所以线段的垂直平分线方程为，故B正确； 对于C，由，解得或，所以， 则由两点间距离公式得， 由点到直线的距离公式得到直线的距离， 同理可得到直线的距离， 所以四边形的面积为，故C错误； 对于D，的最大值为两圆的圆心距加上两圆的半径之和， 即，故D正确. 故选：C 6. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 7. 已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式和已知条件计算即可. 【详解】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 8. 如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出边长关系方法一：应用三点共线得出系数和计算求解；方法二：应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 数据的第60百分位数为117 B. 相关系数的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 若离散型随机变量，则 D. 若，则事件相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布的方差、独立事件的定义和公式逐项判断即可. 【详解】对于A，将数据由小到大排序得. 因为，所以第60百分位数为第3项和第4项的平均值，A错误； 对于B，相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误； 对于C，因为离散型随机变量，所以，C错误； 对于D，因为，所以，D正确. 故选：ABC. 10. （多选题）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为为坐标原点，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆和轴相切 C. 三点共线 D. 过分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理逐项分析即可. 【详解】由题意知，焦点坐标，准线方程为. 由条件知直线的斜率存在， 设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得 ，消去得. 根据韦达定理得，A错误； 以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆心到轴的距离为，等于半径，所以以为直径的圆和轴相切，B正确； ，直线的斜率，直线的斜率. 由，可得. 因为，所以，而， 所以，所以三点共线，C正确； 由，得，所以， 所以，所以， 因为，所以，因此，D正确. 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为4，点满足，其中，则（ ） A. 当时，面 B. 当时，长度最小 C. 当时，三棱锥的外接球半径为 D. 当时，过三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，法一：利用直线的方向向量和平面的法向量的位置关系证明线面平行，法二：利用面面平行得到线面平行；对于B，作，举反例说明；对于C，设球心，求出球心坐标，进而得到半径；对于D，先找到过三点的平面截正方体得到的截面，再根据相似得到截面的边长，进而求出截面的面积. 【详解】解析：建立如图所示的空间直角坐标系 则， A.法一：当时， ， 又面，所以面，正确. 法二：在取点，使得，易知面面. 又面，所以面， B.当分别为中点时，，作，则，错误. C.当时，则，设球心， 由得：，则，正确 D.连接，如图所示，过点作的平行线交的延长 线于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点， 交于点，连接并延长，交于点， 根据对称性知在直线上，连接.因为分别是的中点， 所以.又因为，所以， 所以共面，此时， 因为截面是边长为的菱形， 所以，所以.正确 故选：ACD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 13. 若正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正项数列与前项和为的关系，结合题设可得，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得， 当时，， 两式作差可得：， 则，又，所以， 当时，，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 故答案为：4051. 14. 已知函数的图象关于直线对称，，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数关于直线的对称函数求出，根据函数单调性得出的范围即可． 【详解】由图象关于直线对称， 所以, 所以, 即, 解得，则， 所以. 所以，， 可得，则， 所以， 所以， 因为， 由复合函数单调性可知，函数在R上为减函数， 则，即. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至，平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角. 【小问1详解】 连接，由，则. 又，则，即. 平面平面平面，平面平面, 平面,又平面，则, 又平面, 平面. 小问2详解】 如图：以为原点，建立空间直角坐标系，则， , , 设平面的法向量为，则，取. 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角的余弦值为 16. 已知函数，且在点处的切线与轴垂直. （1）求函数的单调区间； （2）不等式恰有两个正整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出的值，再根据导数研究函数的单调性； （2）求出的最小值，根据不等式恰有两个正整数解，确定两个正整数解的值，进而确定实数的取值范围. 【小问1详解】 . 又曲线在点处的切线与轴垂直. ，得. 又在定义域上为增函数 ∴令 的单调递减区间为，单调递增区间为 【小问2详解】 由（1）知， 又不等式恰有两个正整数解， ∴正整数解只能是1和2 ，即 17. 已知函数是的一个零点，且在区间上单调. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到一个奇函数，求所有可能的正实数对，其中. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，然后根据已知条件求出参数值即可得到函数的解析式. （2）先求出平移后的函数解析式，然后根据奇函数的性质列出等式，从而求得结果. 【小问1详解】 在区间上单调 ，又，则 是函数的一个零点. ，则.即 【小问2详解】 设平移后的函数为，则 又奇函数，， 又，，即正实数对为：或 18. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 （1）求轨迹的方程； （2）点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程； （2）①将转化为点到直线的距离，得到共线时最小，求出点坐标，进而得到直线的方程； ②设，联立直线与双曲线的方程，写出韦达定理， 法一：令，求出，得到过定点，表示出的面积；法二：求出直线的方程，设与交于，令，求出，表示出的面积；法三：写出的方程，求出到直线的距离，及，表示出的面积；法四：，得出的面积；由过的直线交的右支于两点求出的取值范围，再利用换元法以及二次函数的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 由，则 两边平方整理得： 【小问2详解】 ① 共线时取等. ，即； ②易知斜率不为0，设，则. 由，则 ， 法一：由，直线，由对称性，直线若过定点必在轴上， 令，则， 解得 又，所以，则 过定点 又过的直线交的右支于两点 解得 令，则 又，则，当时取等号. 的最小值为. 法二：，设与交于，令 ，其它同法一. 法三：， 设点到直线的距离为，则， 而， ，其它同法一. 法四： ，其它同法一 19. 错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定. （1）直接写出的值； （2）设，证明数列是等比数列； （3）在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整､语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合分类加法和分步乘法计数原理及组合知识即可求解； （2）根据题意，分析可得，进而得到，即可求证； （3）由题意得，分别求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望. 【小问1详解】 可以排在上，有种排法， 当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法， 所以． 可以排在上，有种排法， 不妨设排在上，接下来讨论， 当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）； 当不排在上时，可以排在上，有种情况； 若排在上，剩下两个元素只有1种排法； 所以． 【小问2详解】 当时，对于，不妨从1号球开始放置， 设1号球放在号盒子中，有种放法，接下来讨论号球： ①当号球放在1号盒子中时，剩下， 共个球分别不在号盒子中，共有种放法. ②当号球不放在1号盒子中时， 因为号球分别不在号盒子中， 所以共个小球分别不在号盒子中， 共有种放法. ， 即， ， ， 又满足上式，数列首项为1，公比为的等比数列. 【小问3详解】 由题意知. ，， ， ， ， 法一：不妨设第1到5位置正确答案为， 表示不在对应位置不在对应位置不在对应位置不在对应位置不在对应位置5，分三类： 1）若填入答案不含，则此时有，则共有44种； 2）若填入答案只含中的一个，即从中选4个，共有种选法， 不妨设选的是，先考虑的放置情况.如果填在位置5，此时有； 如果不填在位置5，此时有，则共有种； 3）若填入答案同时含有，即从中选3个，共有种选法， 不妨设选是，考虑的在位置4和不在位置4.如果填在位置4， 再考虑是否在位置5，若是在位置5，此时有； 若是不在位置5，此时有. 如果不填在位置4，再考虑是否在位置5，若是在位置5，此时有； 若是不在位置5，此时有. 则共有种， 时，即“七选五”全部选错的排列数为种， ， 法二：， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2023级高三上期期末测试 数学试题 命题人：常勇 审题人：邓连康､朱琨､刘大华 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在上，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆和圆的交点为，则下列选项不正确的是（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 四边形面积为4 D. 分别为圆上的动点，则的最大值为 6. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 7. 已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 数据的第60百分位数为117 B. 相关系数的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C 若离散型随机变量，则 D. 若，则事件相互独立 10. （多选题）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为为坐标原点，则下列命题中正确的是（ ） A B. 以为直径的圆和轴相切 C. 三点共线 D. 过分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则 11. 如图，正方体的棱长为4，点满足，其中，则（ ） A. 当时，面 B. 当时，长度最小 C. 当时，三棱锥的外接球半径为 D. 当时，过三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 13. 若正项数列的前项和为，且，则__________. 14. 已知函数图象关于直线对称，，若，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至，平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 16. 已知函数，且在点处的切线与轴垂直. （1）求函数的单调区间； （2）不等式恰有两个正整数解，求实数取值范围. 17. 已知函数是的一个零点，且在区间上单调. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到一个奇函数，求所有可能的正实数对，其中. 18. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 （1）求轨迹的方程； （2）点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 19. 错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定. （1）直接写出的值； （2）设，证明数列是等比数列； （3）在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整､语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $